Theorem noreson 14001

Description: The restriction of a surreal to an ordinal is still a surreal.

Assertion

Ref	Expression
noreson	|- ((A e. No /\ B e. On) -> (A |` B) e. No )

Proof of Theorem noreson

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an23 543	. . . . . 6 |- (((x e. On /\ A:x-->{1o, 2o}) /\ B e. On) <-> ((x e. On /\ B e. On) /\ A:x-->{1o, 2o}))
2		onin 3690	. . . . . . . 8 |- ((x e. On /\ B e. On) -> (x i^i B) e. On)
3	2	adantr 425	. . . . . . 7 |- (((x e. On /\ B e. On) /\ A:x-->{1o, 2o}) -> (x i^i B) e. On)
4		fresin 13840	. . . . . . . 8 |- (A:x-->{1o, 2o} -> (A |` B):(x i^i B)-->{1o, 2o})
5	4	adantl 424	. . . . . . 7 |- (((x e. On /\ B e. On) /\ A:x-->{1o, 2o}) -> (A |` B):(x i^i B)-->{1o, 2o})
6		feq2 4552	. . . . . . . 8 |- (y = (x i^i B) -> ((A |` B):y-->{1o, 2o} <-> (A |` B):(x i^i B)-->{1o, 2o}))
7	6	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- (((x i^i B) e. On /\ (A |` B):(x i^i B)-->{1o, 2o}) -> E.y e. On (A |` B):y-->{1o, 2o})
8	3, 5, 7	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (((x e. On /\ B e. On) /\ A:x-->{1o, 2o}) -> E.y e. On (A |` B):y-->{1o, 2o})
9	1, 8	sylbi 216	. . . . 5 |- (((x e. On /\ A:x-->{1o, 2o}) /\ B e. On) -> E.y e. On (A |` B):y-->{1o, 2o})
10	9	ex 402	. . . 4 |- ((x e. On /\ A:x-->{1o, 2o}) -> (B e. On -> E.y e. On (A |` B):y-->{1o, 2o}))
11	10	r19.23aiva 2212	. . 3 |- (E.x e. On A:x-->{1o, 2o} -> (B e. On -> E.y e. On (A |` B):y-->{1o, 2o}))
12	11	imp 377	. 2 |- ((E.x e. On A:x-->{1o, 2o} /\ B e. On) -> E.y e. On (A |` B):y-->{1o, 2o})
13		elno 13987	. . 3 |- (A e. No <-> E.x e. On A:x-->{1o, 2o})
14	13	anbi1i 539	. 2 |- ((A e. No /\ B e. On) <-> (E.x e. On A:x-->{1o, 2o} /\ B e. On))
15		elno 13987	. 2 |- ((A |` B) e. No <-> E.y e. On (A |` B):y-->{1o, 2o})
16	12, 14, 15	3imtr4i 236	1 |- ((A e. No /\ B e. On) -> (A |` B) e. No )

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wrex 2106   i^i cin 2592  {cpr 3045  Oncon0 3657   |` cres 3988  -->wf 3994  1oc1o 5172  2oc2o 5173   No csur 13981

This theorem is referenced by:  axfelem12 14042  axfelem14 14044  axfelem16 14046  axfelem17 14047

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-no 13984

Copyright terms: Public domain