Theorem nordeq 3677

Description: A member of an ordinal class is not equal to it.

Assertion

Ref	Expression
nordeq	|- ((Ord A /\ B e. A) -> A =/= B)

Proof of Theorem nordeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . . 5 |- (A = B -> (A e. A <-> B e. A))
2	1	notbid 673	. . . 4 |- (A = B -> (-. A e. A <-> -. B e. A))
3		ordirr 3676	. . . 4 |- (Ord A -> -. A e. A)
4	2, 3	syl5cbi 226	. . 3 |- (Ord A -> (A = B -> -. B e. A))
5	4	necon2ad 2055	. 2 |- (Ord A -> (B e. A -> A =/= B))
6	5	imp 377	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> A =/= B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  Ord word 3656

This theorem is referenced by:  ac6sfilem3 5508  phplem1 5602  php 5607

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660

Copyright terms: Public domain