Theorem nonbooli 11231

Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ((H i^i F) vH (H i^i G)) = 0H but (H i^i (F vH G)) =/= 0H. The antecedent specifies that the vectors A and B are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to F, G, and H.

Hypotheses

Ref	Expression
nonbool.1	|- A e. ~H
nonbool.2	|- B e. ~H
nonbool.3	|- F = (span` {A})
nonbool.4	|- G = (span` {B})
nonbool.5	|- H = (span` {(A +h B)})

Assertion

Ref	Expression
nonbooli	|- (-. (A e. G \/ B e. F) -> (H i^i (F vH G)) =/= ((H i^i F) vH (H i^i G)))

Proof of Theorem nonbooli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 2786	. . . . . . . . . 10 |- ((A +h B) e. (H i^i (F vH G)) <-> ((A +h B) e. H /\ (A +h B) e. (F vH G)))
2		nonbool.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. ~H
3		nonbool.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. ~H
4	2, 3	hvaddcli 10520	. . . . . . . . . . . 12 |- (A +h B) e. ~H
5		spansnid 11119	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A +h B) e. ~H -> (A +h B) e. (span` {(A +h B)}))
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- (A +h B) e. (span` {(A +h B)})
7		nonbool.5	. . . . . . . . . . 11 |- H = (span` {(A +h B)})
8	6, 7	eleqtrri 1970	. . . . . . . . . 10 |- (A +h B) e. H
9		nonbool.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = (span` {A})
10	2	spansnchi 11118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (span` {A}) e. CH
11	10	chshii 10730	. . . . . . . . . . . . 13 |- (span` {A}) e. SH
12	9, 11	eqeltri 1967	. . . . . . . . . . . 12 |- F e. SH
13		nonbool.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = (span` {B})
14	3	spansnchi 11118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (span` {B}) e. CH
15	14	chshii 10730	. . . . . . . . . . . . 13 |- (span` {B}) e. SH
16	13, 15	eqeltri 1967	. . . . . . . . . . . 12 |- G e. SH
17	12, 16	shsleji 10971	. . . . . . . . . . 11 |- (F +H G) C_ (F vH G)
18		spansnid 11119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. ~H -> A e. (span` {A}))
19	2, 18	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. (span` {A})
20	19, 9	eleqtrri 1970	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. F
21		spansnid 11119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. ~H -> B e. (span` {B}))
22	3, 21	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. (span` {B})
23	22, 13	eleqtrri 1970	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. G
24	12, 16	shsvai 10966	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. F /\ B e. G) -> (A +h B) e. (F +H G))
25	20, 23, 24	mp2an 761	. . . . . . . . . . 11 |- (A +h B) e. (F +H G)
26	17, 25	sselii 2618	. . . . . . . . . 10 |- (A +h B) e. (F vH G)
27	1, 8, 26	mpbir2an 800	. . . . . . . . 9 |- (A +h B) e. (H i^i (F vH G))
28		eleq2 1958	. . . . . . . . 9 |- ((H i^i (F vH G)) = 0H -> ((A +h B) e. (H i^i (F vH G)) <-> (A +h B) e. 0H))
29	27, 28	mpbii 210	. . . . . . . 8 |- ((H i^i (F vH G)) = 0H -> (A +h B) e. 0H)
30		elch0 10759	. . . . . . . 8 |- ((A +h B) e. 0H <-> (A +h B) = 0h)
31	29, 30	sylib 215	. . . . . . 7 |- ((H i^i (F vH G)) = 0H -> (A +h B) = 0h)
32		ch0 10731	. . . . . . . 8 |- ((span` {A}) e. CH -> 0h e. (span` {A}))
33	10, 32	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- 0h e. (span` {A})
34	31, 33	syl6eqel 1979	. . . . . 6 |- ((H i^i (F vH G)) = 0H -> (A +h B) e. (span` {A}))
35	9	eleq2i 1961	. . . . . . 7 |- (B e. F <-> B e. (span` {A}))
36		sumspansn 11229	. . . . . . . 8 |- ((A e. ~H /\ B e. ~H) -> ((A +h B) e. (span` {A}) <-> B e. (span` {A})))
37	2, 3, 36	mp2an 761	. . . . . . 7 |- ((A +h B) e. (span` {A}) <-> B e. (span` {A}))
38	35, 37	bitr4i 193	. . . . . 6 |- (B e. F <-> (A +h B) e. (span` {A}))
39	34, 38	sylibr 217	. . . . 5 |- ((H i^i (F vH G)) = 0H -> B e. F)
40	39	con3i 114	. . . 4 |- (-. B e. F -> -. (H i^i (F vH G)) = 0H)
41	40	adantl 424	. . 3 |- ((-. A e. G /\ -. B e. F) -> -. (H i^i (F vH G)) = 0H)
42	4, 2	spansnm0i 11230	. . . . . 6 |- (-. (A +h B) e. (span` {A}) -> ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {A})) = 0H)
43	38	notbii 204	. . . . . 6 |- (-. B e. F <-> -. (A +h B) e. (span` {A}))
44	7, 9	ineq12i 2794	. . . . . . 7 |- (H i^i F) = ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {A}))
45	44	eqeq1i 1891	. . . . . 6 |- ((H i^i F) = 0H <-> ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {A})) = 0H)
46	42, 43, 45	3imtr4i 236	. . . . 5 |- (-. B e. F -> (H i^i F) = 0H)
47	4, 3	spansnm0i 11230	. . . . . 6 |- (-. (A +h B) e. (span` {B}) -> ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {B})) = 0H)
48		sumspansn 11229	. . . . . . . . 9 |- ((B e. ~H /\ A e. ~H) -> ((B +h A) e. (span` {B}) <-> A e. (span` {B})))
49	3, 2, 48	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- ((B +h A) e. (span` {B}) <-> A e. (span` {B}))
50	2, 3	hvcomi 10521	. . . . . . . . 9 |- (A +h B) = (B +h A)
51	50	eleq1i 1960	. . . . . . . 8 |- ((A +h B) e. (span` {B}) <-> (B +h A) e. (span` {B}))
52	13	eleq2i 1961	. . . . . . . 8 |- (A e. G <-> A e. (span` {B}))
53	49, 51, 52	3bitr4ri 201	. . . . . . 7 |- (A e. G <-> (A +h B) e. (span` {B}))
54	53	notbii 204	. . . . . 6 |- (-. A e. G <-> -. (A +h B) e. (span` {B}))
55	7, 13	ineq12i 2794	. . . . . . 7 |- (H i^i G) = ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {B}))
56	55	eqeq1i 1891	. . . . . 6 |- ((H i^i G) = 0H <-> ((span` {(A +h B)}) i^i (span` {B})) = 0H)
57	47, 54, 56	3imtr4i 236	. . . . 5 |- (-. A e. G -> (H i^i G) = 0H)
58	46, 57	opreqan12rd 4903	. . . 4 |- ((-. A e. G /\ -. B e. F) -> ((H i^i F) vH (H i^i G)) = (0H vH 0H))
59		h0elch 10760	. . . . 5 |- 0H e. CH
60	59	chj0i 11011	. . . 4 |- (0H vH 0H) = 0H
61	58, 60	syl6eq 1944	. . 3 |- ((-. A e. G /\ -. B e. F) -> ((H i^i F) vH (H i^i G)) = 0H)
62		eqeq2 1893	. . . . 5 |- (((H i^i F) vH (H i^i G)) = 0H -> ((H i^i (F vH G)) = ((H i^i F) vH (H i^i G)) <-> (H i^i (F vH G)) = 0H))
63	62	notbid 673	. . . 4 |- (((H i^i F) vH (H i^i G)) = 0H -> (-. (H i^i (F vH G)) = ((H i^i F) vH (H i^i G)) <-> -. (H i^i (F vH G)) = 0H))
64	63	biimparc 463	. . 3 |- ((-. (H i^i (F vH G)) = 0H /\ ((H i^i F) vH (H i^i G)) = 0H) -> -. (H i^i (F vH G)) = ((H i^i F) vH (H i^i G)))
65	41, 61, 64	syl11anc 524	. 2 |- ((-. A e. G /\ -. B e. F) -> -. (H i^i (F vH G)) = ((H i^i F) vH (H i^i G)))
66		ioran 331	. 2 |- (-. (A e. G \/ B e. F) <-> (-. A e. G /\ -. B e. F))
67		df-ne 2019	. 2 |- ((H i^i (F vH G)) =/= ((H i^i F) vH (H i^i G)) <-> -. (H i^i (F vH G)) = ((H i^i F) vH (H i^i G)))
68	65, 66, 67	3imtr4i 236	1 |- (-. (A e. G \/ B e. F) -> (H i^i (F vH G)) =/= ((H i^i F) vH (H i^i G)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   i^i cin 2592  {csn 3044  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  0hc0v 10423  SHcsh 10429  CHcch 10430   +H cph 10432  spancspn 10433   vH chj 10434  0Hc0h 10436

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-shsum 10906  df-span 10907  df-chj 10908

Copyright terms: Public domain