MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nominpos Structured version   Unicode version

Theorem nominpos 10566
Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nominpos  |-  -.  E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  ( 0  <  y  /\  y  <  x ) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nominpos
StepHypRef Expression
1 rehalfcl 10556 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  /  2 )  e.  RR )
2 2re 10396 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3 2pos 10418 . . . . . . 7  |-  0  <  2
4 divgt0 10202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( x  /  2 ) )
52, 3, 4mpanr12 685 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  -> 
0  <  ( x  /  2 ) )
65ex 434 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  0  <  ( x  / 
2 ) ) )
7 halfpos 10560 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  <->  ( x  /  2 )  < 
x ) )
87biimpd 207 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  ( x  /  2 )  <  x ) )
96, 8jcad 533 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  ( 0  <  ( x  /  2 )  /\  ( x  /  2
)  <  x )
) )
10 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
0  <  y  <->  0  <  ( x  /  2 ) ) )
11 breq1 4300 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
y  <  x  <->  ( x  /  2 )  < 
x ) )
1210, 11anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( 0  <  y  /\  y  <  x )  <-> 
( 0  <  (
x  /  2 )  /\  ( x  / 
2 )  <  x
) ) )
1312rspcev 3078 . . . 4  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR  /\  ( 0  <  (
x  /  2 )  /\  ( x  / 
2 )  <  x
) )  ->  E. y  e.  RR  ( 0  < 
y  /\  y  <  x ) )
141, 9, 13syl6an 545 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  E. y  e.  RR  (
0  <  y  /\  y  <  x ) ) )
15 iman 424 . . 3  |-  ( ( 0  <  x  ->  E. y  e.  RR  ( 0  <  y  /\  y  <  x ) )  <->  -.  ( 0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  (
0  <  y  /\  y  <  x ) ) )
1614, 15sylib 196 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  ( 0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  ( 0  < 
y  /\  y  <  x ) ) )
1716nrex 2823 1  |-  -.  E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  ( 0  <  y  /\  y  <  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287    < clt 9423    / cdiv 9998   2c2 10376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-2 10385
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator