MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nominpos Structured version   Unicode version

Theorem nominpos 10856
Description: There is no smallest positive real number. (Contributed by NM, 28-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
nominpos  |-  -.  E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  ( 0  <  y  /\  y  <  x ) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nominpos
StepHypRef Expression
1 rehalfcl 10846 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  /  2 )  e.  RR )
2 2re 10686 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
3 2pos 10708 . . . . . . 7  |-  0  <  2
4 divgt0 10480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <  ( x  /  2 ) )
52, 3, 4mpanr12 689 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  -> 
0  <  ( x  /  2 ) )
65ex 435 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  0  <  ( x  / 
2 ) ) )
7 halfpos 10850 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  <->  ( x  /  2 )  < 
x ) )
87biimpd 210 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  ( x  /  2 )  <  x ) )
96, 8jcad 535 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  ( 0  <  ( x  /  2 )  /\  ( x  /  2
)  <  x )
) )
10 breq2 4427 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
0  <  y  <->  0  <  ( x  /  2 ) ) )
11 breq1 4426 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
y  <  x  <->  ( x  /  2 )  < 
x ) )
1210, 11anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( y  =  ( x  / 
2 )  ->  (
( 0  <  y  /\  y  <  x )  <-> 
( 0  <  (
x  /  2 )  /\  ( x  / 
2 )  <  x
) ) )
1312rspcev 3182 . . . 4  |-  ( ( ( x  /  2
)  e.  RR  /\  ( 0  <  (
x  /  2 )  /\  ( x  / 
2 )  <  x
) )  ->  E. y  e.  RR  ( 0  < 
y  /\  y  <  x ) )
141, 9, 13syl6an 547 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <  x  ->  E. y  e.  RR  (
0  <  y  /\  y  <  x ) ) )
15 iman 425 . . 3  |-  ( ( 0  <  x  ->  E. y  e.  RR  ( 0  <  y  /\  y  <  x ) )  <->  -.  ( 0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  (
0  <  y  /\  y  <  x ) ) )
1614, 15sylib 199 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  ( 0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  ( 0  < 
y  /\  y  <  x ) ) )
1716nrex 2877 1  |-  -.  E. x  e.  RR  (
0  <  x  /\  -.  E. y  e.  RR  ( 0  <  y  /\  y  <  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   E.wrex 2772   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546    < clt 9682    / cdiv 10276   2c2 10666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-2 10675
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator