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Theorem nofulllem5 30666
 Description: Lemma for nofull (future) . Here, we introduce a new surreal number . Eventually, we will show that either or a related surreal number has the required properties for the final theorem. We begin by calculating the domain of . (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
nofulllem5.1
nofulllem5.2
nofulllem5.3
Assertion
Ref Expression
nofulllem5
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,)   (,)   (,,,,,)

Proof of Theorem nofulllem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nofulllem5.3 . . . 4
21dmeqi 5041 . . 3
3 dmuni 5050 . . 3
42, 3eqtri 2493 . 2
5 iunss 4310 . . . . 5
6 vex 3034 . . . . . . 7
7 eqeq2 2482 . . . . . . . . . 10
8 eqeq2 2482 . . . . . . . . . 10
97, 8anbi12d 725 . . . . . . . . 9
109rexbidv 2892 . . . . . . . 8
11102rexbidv 2897 . . . . . . 7
12 nofulllem5.2 . . . . . . 7
136, 11, 12elab2 3176 . . . . . 6
14 inss1 3643 . . . . . . . . . . . 12
15 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15syl5ss 3429 . . . . . . . . . . 11
17 dmres 5131 . . . . . . . . . . . . 13
18 dmeq 5040 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . 12
2019sseq1d 3445 . . . . . . . . . . 11
2116, 20syl5ibcom 228 . . . . . . . . . 10
2221adantrd 475 . . . . . . . . 9
2322rexlimiv 2867 . . . . . . . 8
2423a1i 11 . . . . . . 7
2524rexlimivv 2876 . . . . . 6
2613, 25sylbi 200 . . . . 5
275, 26mprgbir 2771 . . . 4
2827a1i 11 . . 3
29 nofulllem5.1 . . . . . . . . 9
3029nofulllem4 30665 . . . . . . . 8
31 eloni 5440 . . . . . . . 8
3230, 31syl 17 . . . . . . 7
33 ordsucuniel 6670 . . . . . . 7
3432, 33syl 17 . . . . . 6
35 simpr 468 . . . . . . . 8
36 onss 6636 . . . . . . . . . . . . 13
3730, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12
3837sselda 3418 . . . . . . . . . . 11
39 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40 onnmin 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4139, 40mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4329eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4442, 43sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645con2d 119 . . . . . . . . . . . . . 14
4746imp 436 . . . . . . . . . . . . 13
48 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
49 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5048, 49neeq12d 2704 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51502ralbidv 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 reseq1 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 reseq1 5105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5554neeq2d 2703 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5653, 55cbvral2v 3013 . . . . . . . . . . . . . . 15
5751, 56syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . 14
5857elrab 3184 . . . . . . . . . . . . 13
5947, 58sylnib 311 . . . . . . . . . . . 12
60 imnan 429 . . . . . . . . . . . 12
6159, 60sylibr 217 . . . . . . . . . . 11
6238, 61mpd 15 . . . . . . . . . 10
63 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463con2bii 339 . . . . . . . . . . . . . 14
6564rexbii 2881 . . . . . . . . . . . . 13
66 rexnal 2836 . . . . . . . . . . . . 13
6765, 66bitri 257 . . . . . . . . . . . 12
6867rexbii 2881 . . . . . . . . . . 11
69 rexnal 2836 . . . . . . . . . . 11
7068, 69bitri 257 . . . . . . . . . 10
7162, 70sylibr 217 . . . . . . . . 9
72 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
74 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7573, 74rspc2v 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7672, 75mpan9 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7776adantrl 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
78 simp1l 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8178, 79, 80syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
82 sltirr 30630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8584biimprcd 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8685con3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8777, 83, 86sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
89 ioran 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 simp2l 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
91 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
92 ssel2 3413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9390, 91, 92syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9493adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
95 nofun 30607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
96 funrel 5606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9794, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9832adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
99 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
100 ordelon 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10198, 99, 100syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
102 sucelon 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
103101, 102sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
104 eloni 5440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
106 nodmord 30611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10793, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
108 ordtri2or 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
109105, 107, 108syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
110109orcanai 927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
111 sssucid 5507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
112110, 111syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
113 relssres 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11497, 112, 113syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115114ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11681adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
117 nofun 30607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
118 funrel 5606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
119116, 117, 1183syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
120 nodmord 30611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12181, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
122 ordtri2or 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
123105, 121, 122syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
124123orcanai 927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
125124, 111syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
126 relssres 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
127119, 125, 126syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
128127ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
129115, 128anim12d 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
130129ancomsd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
131 eqeq12 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
132131biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133132ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134130, 133syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135134com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136135imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13789, 136syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13888, 137mt3d 130 . . . . . . . . . . . . . . 15
139138ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14
140139anassrs 660 . . . . . . . . . . . . 13
141140anassrs 660 . . . . . . . . . . . 12
142141ancld 562 . . . . . . . . . . 11
143142reximdva 2858 . . . . . . . . . 10
144143reximdva 2858 . . . . . . . . 9
14571, 144mpd 15 . . . . . . . 8
146 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . 13
147 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . 13
148146, 147eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . 12
149 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . 12
150148, 1493anbi13d 1367 . . . . . . . . . . 11
151 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13
152151sucid 5509 . . . . . . . . . . . 12
153 df-3an 1009 . . . . . . . . . . . 12
154152, 153mpbiran2 933 . . . . . . . . . . 11
155150, 154syl6bb 269 . . . . . . . . . 10
1561552rexbidv 2897 . . . . . . . . 9
157156rspcev 3136 . . . . . . . 8
15835, 145, 157syl2anc 673 . . . . . . 7
159158ex 441 . . . . . 6
16034, 159sylbid 223 . . . . 5
161 eliun 4274 . . . . . 6
16212rexeqi 2978 . . . . . 6
163 r19.41vv 2930 . . . . . . . . . 10
164163rexbii 2881 . . . . . . . . 9
165 r19.41v 2928 . . . . . . . . 9
166164, 165bitri 257 . . . . . . . 8
167166exbii 1726 . . . . . . 7
168 rexcom 2938 . . . . . . . . 9
169 rexcom 2938 . . . . . . . . . 10
170169rexbii 2881 . . . . . . . . 9
171168, 170bitri 257 . . . . . . . 8
172 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
173172resex 5154 . . . . . . . . . . . . . . 15
174 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175 dmeq 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
176175eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177174, 176anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
178173, 177ceqsexv 3070 . . . . . . . . . . . . . 14
179 an12 814 . . . . . . . . . . . . . . . 16
180 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181180anbi1i 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182 anass 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
183179, 181, 1823bitr4i 285 . . . . . . . . . . . . . . 15
184183exbii 1726 . . . . . . . . . . . . . 14
185 dmeq 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
186185eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
187186orbi1d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
188 oridm 523 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
189187, 188syl6rbb 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
190 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
19117, 190eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
192191elin2 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
193 dmres 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
194 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
195193, 194eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
196195elin2 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
197192, 196orbi12i 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
198 andir 885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
199197, 198bitr4i 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
200189, 199syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . 16
201200pm5.32i 649 . . . . . . . . . . . . . . 15
202 3anass 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15
203201, 202bitr4i 260 . . . . . . . . . . . . . 14
204178, 184, 2033bitr3ri 284 . . . . . . . . . . . . 13
205204rexbii 2881 . . . . . . . . . . . 12
206 rexcom4 3053 . . . . . . . . . . . 12
207205, 206bitri 257 . . . . . . . . . . 11
208207rexbii 2881 . . . . . . . . . 10
209 rexcom4 3053 . . . . . . . . . 10
210208, 209bitri 257 . . . . . . . . 9
211210rexbii 2881 . . . . . . . 8
212 rexcom4 3053 . . . . . . . 8
213171, 211, 2123bitri 279 . . . . . . 7
21411rexab 3189 . . . . . . 7
215167, 213, 2143bitr4ri 286 . . . . . 6
216161, 162, 2153bitri 279 . . . . 5
217160, 216syl6ibr 235 . . . 4
218217ssrdv 3424 . . 3
21928, 218eqssd 3435 . 2
2204, 219syl5eq 2517 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cin 3389   wss 3390  cuni 4190  cint 4226  ciun 4269   class class class wbr 4395   cdm 4839   cres 4841   wrel 4844   word 5429  con0 5430   csuc 5432   wfun 5583  csur 30598  cslt 30599 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-1o 7200  df-2o 7201  df-no 30601  df-slt 30602  df-bday 30603 This theorem is referenced by: (None)
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