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Theorem nofulllem4 27985
Description: Lemma for nofull (future) . Show a particular abstraction is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
nofulllem4.1  |-  M  = 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }
Assertion
Ref Expression
nofulllem4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  M  e.  On )
Distinct variable groups:    x, L, y, a    x, R, y, a    x, W, y   
x, V, y
Allowed substitution hints:    M( x, y, a)    V( a)    W( a)

Proof of Theorem nofulllem4
StepHypRef Expression
1 nofulllem4.1 . 2  |-  M  = 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }
2 unexg 6486 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( L  u.  R
)  e.  _V )
3 nobndlem1 27972 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  u.  R )  e.  _V  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On )
4 sucelon 6533 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On  <->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
53, 4sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( L  u.  R )  e.  _V  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
62, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On )
76ad2ant2l 745 . . . . 5  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
873adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
9 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  R  C_  No )
10 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  ->  y  e.  R )
11 ssel2 3454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R )  ->  y  e.  No )
129, 10, 11syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  y  e.  No )
13 sltirr 27950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  No  ->  -.  y <s y )
14 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x <s y  <-> 
y <s y ) )
1514notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x <s y  <->  -.  y <s y ) )
1615biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y <s y  ->  ( x  =  y  ->  -.  x <s y ) )
1716necon2ad 2662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y <s y  ->  ( x <s y  ->  x  =/=  y ) )
1812, 13, 173syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  (
x <s y  ->  x  =/=  y
) )
1918impr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  x  =/=  y
)
20 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  L  C_  No )
21 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R
)  /\  x <s y )  ->  x  e.  L )
22 ssun1 3622 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  C_  ( L  u.  R
)
23 nofulllem3 27984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  C_  No  /\  x  e.  L  /\  L  C_  ( L  u.  R
) )  ->  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  x )
2422, 23mp3an3 1304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  C_  No  /\  x  e.  L )  ->  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  x )
2520, 21, 24syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =  x )
26 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R
)  /\  x <s y )  ->  y  e.  R )
27 ssun2 3623 . . . . . . . . . . . 12  |-  R  C_  ( L  u.  R
)
28 nofulllem3 27984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R  /\  R  C_  ( L  u.  R
) )  ->  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  y )
2927, 28mp3an3 1304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R )  ->  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  y )
309, 26, 29syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =  y )
3119, 25, 303netr4d 2754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
3231expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  (
x <s y  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
3332anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  x  e.  L )  /\  y  e.  R
)  ->  ( x <s y  ->  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =/=  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
3433ralimdva 2829 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  x  e.  L )  ->  ( A. y  e.  R  x <s
y  ->  A. y  e.  R  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
3534ralimdva 2829 . . . . 5  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  ( A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y  ->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =/=  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
36353impia 1185 . . . 4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
37 reseq2 5208 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( x  |`  a
)  =  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )
38 reseq2 5208 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( y  |`  a
)  =  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )
3937, 38neeq12d 2728 . . . . . 6  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
40392ralbidv 2873 . . . . 5  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
4140rspcev 3173 . . . 4  |-  ( ( U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =/=  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )  ->  E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) )
428, 36, 41syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a ) )
43 onintrab2 6518 . . 3  |-  ( E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
)  <->  |^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a ) }  e.  On )
4442, 43sylib 196 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  |^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) }  e.  On )
451, 44syl5eqel 2544 1  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  M  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   {crab 2800   _Vcvv 3072    u. cun 3429    C_ wss 3431   U.cuni 4194   |^|cint 4231   class class class wbr 4395   Oncon0 4822   suc csuc 4824    |` cres 4945   "cima 4946   Nocsur 27920   <scslt 27921   bdaycbday 27922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-1o 7025  df-2o 7026  df-no 27923  df-slt 27924  df-bday 27925
This theorem is referenced by:  nofulllem5  27986
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