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Theorem nofulllem4 30665
Description: Lemma for nofull (future) . Show a particular abstraction is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
nofulllem4.1  |-  M  = 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }
Assertion
Ref Expression
nofulllem4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  M  e.  On )
Distinct variable groups:    x, L, y, a    x, R, y, a    x, W, y   
x, V, y
Allowed substitution hints:    M( x, y, a)    V( a)    W( a)

Proof of Theorem nofulllem4
StepHypRef Expression
1 nofulllem4.1 . 2  |-  M  = 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }
2 unexg 6611 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( L  u.  R
)  e.  _V )
3 nobndlem1 30652 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  u.  R )  e.  _V  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On )
4 sucelon 6663 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On  <->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
53, 4sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( L  u.  R )  e.  _V  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
62, 5syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On )
76ad2ant2l 760 . . . . 5  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
873adant3 1050 . . . 4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
9 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  R  C_  No )
10 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  ->  y  e.  R )
11 ssel2 3413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R )  ->  y  e.  No )
129, 10, 11syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  y  e.  No )
13 sltirr 30630 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  No  ->  -.  y <s y )
14 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x <s y  <-> 
y <s y ) )
1514notbid 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x <s y  <->  -.  y <s y ) )
1615biimprcd 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y <s y  ->  ( x  =  y  ->  -.  x <s y ) )
1716necon2ad 2658 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y <s y  ->  ( x <s y  ->  x  =/=  y ) )
1812, 13, 173syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  (
x <s y  ->  x  =/=  y
) )
1918impr 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  x  =/=  y
)
20 simpll 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  L  C_  No )
21 simpll 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R
)  /\  x <s y )  ->  x  e.  L )
22 ssun1 3588 . . . . . . . . . 10  |-  L  C_  ( L  u.  R
)
23 nofulllem3 30664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  C_  No  /\  x  e.  L  /\  L  C_  ( L  u.  R
) )  ->  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  x )
2422, 23mp3an3 1379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  C_  No  /\  x  e.  L )  ->  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  x )
2520, 21, 24syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =  x )
26 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R
)  /\  x <s y )  ->  y  e.  R )
27 ssun2 3589 . . . . . . . . . 10  |-  R  C_  ( L  u.  R
)
28 nofulllem3 30664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R  /\  R  C_  ( L  u.  R
) )  ->  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  y )
2927, 28mp3an3 1379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R )  ->  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  y )
309, 26, 29syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =  y )
3119, 25, 303netr4d 2720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
3231expr 626 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  (
x <s y  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
3332ralimdvva 2807 . . . . 5  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  ( A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y  ->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =/=  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
34333impia 1228 . . . 4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
35 reseq2 5106 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( x  |`  a
)  =  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )
36 reseq2 5106 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( y  |`  a
)  =  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )
3735, 36neeq12d 2704 . . . . . 6  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
38372ralbidv 2832 . . . . 5  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
3938rspcev 3136 . . . 4  |-  ( ( U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =/=  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )  ->  E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) )
408, 34, 39syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a ) )
41 onintrab2 6648 . . 3  |-  ( E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
)  <->  |^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a ) }  e.  On )
4240, 41sylib 201 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  |^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) }  e.  On )
431, 42syl5eqel 2553 1  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  M  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   U.cuni 4190   |^|cint 4226   class class class wbr 4395    |` cres 4841   "cima 4842   Oncon0 5430   suc csuc 5432   Nocsur 30598   <scslt 30599   bdaycbday 30600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-1o 7200  df-2o 7201  df-no 30601  df-slt 30602  df-bday 30603
This theorem is referenced by:  nofulllem5  30666
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