Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nofulllem4 Structured version   Unicode version

Theorem nofulllem4 29708
Description: Lemma for nofull (future) . Show a particular abstraction is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
nofulllem4.1  |-  M  = 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }
Assertion
Ref Expression
nofulllem4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  M  e.  On )
Distinct variable groups:    x, L, y, a    x, R, y, a    x, W, y   
x, V, y
Allowed substitution hints:    M( x, y, a)    V( a)    W( a)

Proof of Theorem nofulllem4
StepHypRef Expression
1 nofulllem4.1 . 2  |-  M  = 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }
2 unexg 6574 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( L  u.  R
)  e.  _V )
3 nobndlem1 29695 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  u.  R )  e.  _V  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On )
4 sucelon 6625 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On  <->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
53, 4sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( L  u.  R )  e.  _V  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
62, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On )
76ad2ant2l 743 . . . . 5  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
873adant3 1014 . . . 4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
9 simprl 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  R  C_  No )
10 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  ->  y  e.  R )
11 ssel2 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R )  ->  y  e.  No )
129, 10, 11syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  y  e.  No )
13 sltirr 29673 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  No  ->  -.  y <s y )
14 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
x <s y  <-> 
y <s y ) )
1514notbid 292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x <s y  <->  -.  y <s y ) )
1615biimprcd 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y <s y  ->  ( x  =  y  ->  -.  x <s y ) )
1716necon2ad 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y <s y  ->  ( x <s y  ->  x  =/=  y ) )
1812, 13, 173syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  (
x <s y  ->  x  =/=  y
) )
1918impr 617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  x  =/=  y
)
20 simpll 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  L  C_  No )
21 simpll 751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R
)  /\  x <s y )  ->  x  e.  L )
22 ssun1 3653 . . . . . . . . . 10  |-  L  C_  ( L  u.  R
)
23 nofulllem3 29707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  C_  No  /\  x  e.  L  /\  L  C_  ( L  u.  R
) )  ->  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  x )
2422, 23mp3an3 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  C_  No  /\  x  e.  L )  ->  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  x )
2520, 21, 24syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =  x )
26 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R
)  /\  x <s y )  ->  y  e.  R )
27 ssun2 3654 . . . . . . . . . 10  |-  R  C_  ( L  u.  R
)
28 nofulllem3 29707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R  /\  R  C_  ( L  u.  R
) )  ->  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  y )
2927, 28mp3an3 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R )  ->  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  y )
309, 26, 29syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =  y )
3119, 25, 303netr4d 2759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
3231expr 613 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  (
x <s y  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
3332ralimdvva 2865 . . . . 5  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  ( A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y  ->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =/=  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
34333impia 1191 . . . 4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
35 reseq2 5257 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( x  |`  a
)  =  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )
36 reseq2 5257 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( y  |`  a
)  =  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )
3735, 36neeq12d 2733 . . . . . 6  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
38372ralbidv 2898 . . . . 5  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
3938rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =/=  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )  ->  E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) )
408, 34, 39syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a ) )
41 onintrab2 6610 . . 3  |-  ( E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
)  <->  |^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a ) }  e.  On )
4240, 41sylib 196 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  |^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) }  e.  On )
431, 42syl5eqel 2546 1  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  M  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    u. cun 3459    C_ wss 3461   U.cuni 4235   |^|cint 4271   class class class wbr 4439   Oncon0 4867   suc csuc 4869    |` cres 4990   "cima 4991   Nocsur 29643   <scslt 29644   bdaycbday 29645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-1o 7122  df-2o 7123  df-no 29646  df-slt 29647  df-bday 29648
This theorem is referenced by:  nofulllem5  29709
  Copyright terms: Public domain W3C validator