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Theorem nofulllem4 27759
Description: Lemma for nofull (future) . Show a particular abstraction is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
nofulllem4.1  |-  M  = 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }
Assertion
Ref Expression
nofulllem4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  M  e.  On )
Distinct variable groups:    x, L, y, a    x, R, y, a    x, W, y   
x, V, y
Allowed substitution hints:    M( x, y, a)    V( a)    W( a)

Proof of Theorem nofulllem4
StepHypRef Expression
1 nofulllem4.1 . 2  |-  M  = 
|^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a ) }
2 unexg 6380 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  ( L  u.  R
)  e.  _V )
3 nobndlem1 27746 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  u.  R )  e.  _V  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On )
4 sucelon 6427 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On  <->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
53, 4sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( L  u.  R )  e.  _V  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
62, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  V  /\  R  e.  W )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On )
76ad2ant2l 740 . . . . 5  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
873adant3 1003 . . . 4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  e.  On )
9 simprl 750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  R  C_  No )
10 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  ->  y  e.  R )
11 ssel2 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R )  ->  y  e.  No )
129, 10, 11syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  y  e.  No )
13 sltirr 27724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  No  ->  -.  y <s y )
14 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
x <s y  <-> 
y <s y ) )
1514notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x <s y  <->  -.  y <s y ) )
1615biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y <s y  ->  ( x  =  y  ->  -.  x <s y ) )
1716necon2ad 2657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y <s y  ->  ( x <s y  ->  x  =/=  y ) )
1812, 13, 173syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  (
x <s y  ->  x  =/=  y
) )
1918impr 616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  x  =/=  y
)
20 simpll 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  L  C_  No )
21 simpll 748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R
)  /\  x <s y )  ->  x  e.  L )
22 ssun1 3516 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  C_  ( L  u.  R
)
23 nofulllem3 27758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  C_  No  /\  x  e.  L  /\  L  C_  ( L  u.  R
) )  ->  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  x )
2422, 23mp3an3 1298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  C_  No  /\  x  e.  L )  ->  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  x )
2520, 21, 24syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =  x )
26 simplr 749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R
)  /\  x <s y )  ->  y  e.  R )
27 ssun2 3517 . . . . . . . . . . . 12  |-  R  C_  ( L  u.  R
)
28 nofulllem3 27758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R  /\  R  C_  ( L  u.  R
) )  ->  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  y )
2927, 28mp3an3 1298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  C_  No  /\  y  e.  R )  ->  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =  y )
309, 26, 29syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =  y )
3119, 25, 303netr4d 2633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( ( x  e.  L  /\  y  e.  R )  /\  x <s y ) )  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
3231expr 612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  ( x  e.  L  /\  y  e.  R
) )  ->  (
x <s y  ->  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
3332anassrs 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( L 
C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  x  e.  L )  /\  y  e.  R
)  ->  ( x <s y  ->  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =/=  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
3433ralimdva 2792 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V
)  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W ) )  /\  x  e.  L )  ->  ( A. y  e.  R  x <s
y  ->  A. y  e.  R  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
3534ralimdva 2792 . . . . 5  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
) )  ->  ( A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y  ->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =/=  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
36353impia 1179 . . . 4  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
37 reseq2 5101 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( x  |`  a
)  =  ( x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )
38 reseq2 5101 . . . . . . 7  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( y  |`  a
)  =  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )
3937, 38neeq12d 2621 . . . . . 6  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
40392ralbidv 2755 . . . . 5  |-  ( a  =  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  -> 
( A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a )  <->  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |` 
U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  =/=  (
y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
4140rspcev 3070 . . . 4  |-  ( ( U. ( bday " ( L  u.  R )
)  e.  On  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) )  =/=  ( y  |`  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) )  ->  E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) )
428, 36, 41syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a ) )
43 onintrab2 6412 . . 3  |-  ( E. a  e.  On  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
)  <->  |^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  ( x  |`  a )  =/=  (
y  |`  a ) }  e.  On )
4442, 43sylib 196 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  |^| { a  e.  On  |  A. x  e.  L  A. y  e.  R  (
x  |`  a )  =/=  ( y  |`  a
) }  e.  On )
451, 44syl5eqel 2525 1  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  M  e.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    u. cun 3323    C_ wss 3325   U.cuni 4088   |^|cint 4125   class class class wbr 4289   Oncon0 4715   suc csuc 4717    |` cres 4838   "cima 4839   Nocsur 27694   <scslt 27695   bdaycbday 27696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-1o 6916  df-2o 6917  df-no 27697  df-slt 27698  df-bday 27699
This theorem is referenced by:  nofulllem5  27760
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