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Theorem nofulllem2 29706
Description: Lemma for nofull (future) . The full statement of the axiom when  L is empty. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
nofulllem2  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z    z, L    x, L    y, R, z
Allowed substitution hints:    R( x)    L( y)    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem nofulllem2
StepHypRef Expression
1 nobnddown 29704 . . 3  |-  ( ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  ->  E. z  e.  No  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " R
) ) )
213ad2ant2 1016 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " R
) ) )
3 rzal 3919 . . . . . 6  |-  ( L  =  (/)  ->  A. x  e.  L  x <s z )
43biantrurd 506 . . . . 5  |-  ( L  =  (/)  ->  ( A. y  e.  R  z
<s y  <->  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z
<s y ) ) )
5 uneq1 3637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  ( (/)  u.  R
) )
6 uncom 3634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u.  R )  =  ( R  u.  (/) )
7 un0 3809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  u.  (/) )  =  R
86, 7eqtri 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  u.  R )  =  R
95, 8syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  R )
109imaeq2d 5325 . . . . . . . . 9  |-  ( L  =  (/)  ->  ( bday " ( L  u.  R ) )  =  ( bday " R
) )
1110unieqd 4245 . . . . . . . 8  |-  ( L  =  (/)  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  = 
U. ( bday " R
) )
12 suceq 4932 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  U. ( bday " R )  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  =  suc  U. ( bday " R ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( L  =  (/)  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  suc  U. ( bday " R ) )
1413sseq2d 3517 . . . . . 6  |-  ( L  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " R ) ) )
1514bicomd 201 . . . . 5  |-  ( L  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
164, 15anbi12d 708 . . . 4  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
) )  <->  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y )  /\  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
17 df-3an 973 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y )  /\  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
1816, 17syl6bbr 263 . . 3  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
) )  <->  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z
<s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1918rexbidv 2965 . 2  |-  ( L  =  (/)  ->  ( E. z  e.  No  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
) )  <->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
202, 19syl5ib 219 1  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3783   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   suc csuc 4869   "cima 4991   ` cfv 5570   Nocsur 29643   <scslt 29644   bdaycbday 29645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-1o 7122  df-2o 7123  df-no 29646  df-slt 29647  df-bday 29648
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