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Theorem nofulllem2 29438
Description: Lemma for nofull (future) . The full statement of the axiom when  L is empty. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
nofulllem2  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z    z, L    x, L    y, R, z
Allowed substitution hints:    R( x)    L( y)    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem nofulllem2
StepHypRef Expression
1 nobnddown 29436 . . 3  |-  ( ( R  C_  No  /\  R  e.  W )  ->  E. z  e.  No  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " R
) ) )
213ad2ant2 1019 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " R
) ) )
3 rzal 3916 . . . . . 6  |-  ( L  =  (/)  ->  A. x  e.  L  x <s z )
43biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( L  =  (/)  ->  ( A. y  e.  R  z
<s y  <->  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z
<s y ) ) )
5 uneq1 3636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  ( (/)  u.  R
) )
6 uncom 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u.  R )  =  ( R  u.  (/) )
7 un0 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  u.  (/) )  =  R
86, 7eqtri 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  u.  R )  =  R
95, 8syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  R )
109imaeq2d 5327 . . . . . . . . 9  |-  ( L  =  (/)  ->  ( bday " ( L  u.  R ) )  =  ( bday " R
) )
1110unieqd 4244 . . . . . . . 8  |-  ( L  =  (/)  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  = 
U. ( bday " R
) )
12 suceq 4933 . . . . . . . 8  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  U. ( bday " R )  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  =  suc  U. ( bday " R ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( L  =  (/)  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  suc  U. ( bday " R ) )
1413sseq2d 3517 . . . . . 6  |-  ( L  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " R ) ) )
1514bicomd 201 . . . . 5  |-  ( L  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
164, 15anbi12d 710 . . . 4  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
) )  <->  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y )  /\  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) ) )
17 df-3an 976 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y )  /\  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) ) ) )
1816, 17syl6bbr 263 . . 3  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
) )  <->  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z
<s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1918rexbidv 2954 . 2  |-  ( L  =  (/)  ->  ( E. z  e.  No  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " R
) )  <->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
202, 19syl5ib 219 1  |-  ( L  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3770   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   suc csuc 4870   "cima 4992   ` cfv 5578   Nocsur 29375   <scslt 29376   bdaycbday 29377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-1o 7132  df-2o 7133  df-no 29378  df-slt 29379  df-bday 29380
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