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Theorem nofulllem1 29025
Description: Lemma for nofull (future) . The full statement of the axiom when  R is empty. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
nofulllem1  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, L    y, R    z, R
Allowed substitution hints:    R( x)    L( y)    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem nofulllem1
StepHypRef Expression
1 nobndup 29023 . . 3  |-  ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
213ad2ant1 1012 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
3 raleq 3051 . . . . . . 7  |-  ( R  =  (/)  ->  ( A. y  e.  R  z
<s y  <->  A. y  e.  (/)  z <s
y ) )
4 uneq2 3645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  ( L  u.  (/) ) )
5 un0 3803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  u.  (/) )  =  L
64, 5syl6eq 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  L )
76imaeq2d 5328 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  (/)  ->  ( bday " ( L  u.  R ) )  =  ( bday " L
) )
87unieqd 4248 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  (/)  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  = 
U. ( bday " L
) )
9 suceq 4936 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  U. ( bday " L )  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  =  suc  U. ( bday " L ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  (/)  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  suc  U. ( bday " L ) )
1110sseq2d 3525 . . . . . . 7  |-  ( R  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " L ) ) )
123, 11anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( A. y  e.  (/)  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) ) )
13 ral0 3925 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  z <s
y
1413biantrur 506 . . . . . 6  |-  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
)  <->  ( A. y  e.  (/)  z <s
y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
1512, 14syl6rbbr 264 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
)  <->  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1615anbi2d 703 . . . 4  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) ) )
17 3anass 972 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1816, 17syl6bbr 263 . . 3  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z
<s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1918rexbidv 2966 . 2  |-  ( R  =  (/)  ->  ( E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
202, 19syl5ib 219 1  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    u. cun 3467    C_ wss 3469   (/)c0 3778   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   suc csuc 4873   "cima 4995   ` cfv 5579   Nocsur 28963   <scslt 28964   bdaycbday 28965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-1o 7120  df-2o 7121  df-no 28966  df-slt 28967  df-bday 28968
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