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Theorem nofulllem1 27690
Description: Lemma for nofull (future) . The full statement of the axiom when  R is empty. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
nofulllem1  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, L    y, R    z, R
Allowed substitution hints:    R( x)    L( y)    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem nofulllem1
StepHypRef Expression
1 nobndup 27688 . . 3  |-  ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
213ad2ant1 1002 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
3 raleq 2907 . . . . . . 7  |-  ( R  =  (/)  ->  ( A. y  e.  R  z
<s y  <->  A. y  e.  (/)  z <s
y ) )
4 uneq2 3492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  ( L  u.  (/) ) )
5 un0 3650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  u.  (/) )  =  L
64, 5syl6eq 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  L )
76imaeq2d 5157 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  (/)  ->  ( bday " ( L  u.  R ) )  =  ( bday " L
) )
87unieqd 4089 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  (/)  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  = 
U. ( bday " L
) )
9 suceq 4771 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  U. ( bday " L )  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  =  suc  U. ( bday " L ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  (/)  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  suc  U. ( bday " L ) )
1110sseq2d 3372 . . . . . . 7  |-  ( R  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " L ) ) )
123, 11anbi12d 703 . . . . . 6  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( A. y  e.  (/)  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) ) )
13 ral0 3772 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  z <s
y
1413biantrur 503 . . . . . 6  |-  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
)  <->  ( A. y  e.  (/)  z <s
y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
1512, 14syl6rbbr 264 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
)  <->  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1615anbi2d 696 . . . 4  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) ) )
17 3anass 962 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1816, 17syl6bbr 263 . . 3  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z
<s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1918rexbidv 2726 . 2  |-  ( R  =  (/)  ->  ( E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
202, 19syl5ib 219 1  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x <s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x <s z  /\  A. y  e.  R  z <s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706    u. cun 3314    C_ wss 3316   (/)c0 3625   U.cuni 4079   class class class wbr 4280   suc csuc 4708   "cima 4830   ` cfv 5406   Nocsur 27628   <scslt 27629   bdaycbday 27630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-1o 6908  df-2o 6909  df-no 27631  df-slt 27632  df-bday 27633
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