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Theorem nofulllem1 24426
Description: Lemma for nofull (future) . The full statement of the axiom when  R is empty. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
nofulllem1  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, L    y, R    z, R
Allowed substitution hints:    R( x)    L( y)    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem nofulllem1
StepHypRef Expression
1 nobndup 24424 . . 3  |-  ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
213ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
3 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( R  =  (/)  ->  ( A. y  e.  R  z
< s y  <->  A. y  e.  (/)  z < s
y ) )
4 uneq2 3336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  ( L  u.  (/) ) )
5 un0 3492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  u.  (/) )  =  L
64, 5syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  L )
76imaeq2d 5028 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  (/)  ->  ( bday " ( L  u.  R ) )  =  ( bday " L
) )
87unieqd 3854 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  (/)  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  = 
U. ( bday " L
) )
9 suceq 4473 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  U. ( bday " L )  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  =  suc  U. ( bday " L ) )
108, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  (/)  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  suc  U. ( bday " L ) )
1110sseq2d 3219 . . . . . . 7  |-  ( R  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " L ) ) )
123, 11anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( A. y  e.  (/)  z <
s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) ) )
13 ral0 3571 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  z < s
y
1413biantrur 492 . . . . . 6  |-  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
)  <->  ( A. y  e.  (/)  z < s
y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
1512, 14syl6rbbr 255 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
)  <->  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1615anbi2d 684 . . . 4  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) ) )
17 3anass 938 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1816, 17syl6bbr 254 . . 3  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z
< s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1918rexbidv 2577 . 2  |-  ( R  =  (/)  ->  ( E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
202, 19syl5ib 210 1  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   suc csuc 4410   "cima 4708   ` cfv 5271   Nocsur 24364   < scslt 24365   bdaycbday 24366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-2o 6496  df-no 24367  df-slt 24368  df-bday 24369
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