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Theorem nofulllem1 25570
Description: Lemma for nofull (future) . The full statement of the axiom when  R is empty. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
nofulllem1  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, L    y, R    z, R
Allowed substitution hints:    R( x)    L( y)    V( x, y, z)    W( x, y, z)

Proof of Theorem nofulllem1
StepHypRef Expression
1 nobndup 25568 . . 3  |-  ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
213ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
3 raleq 2864 . . . . . . 7  |-  ( R  =  (/)  ->  ( A. y  e.  R  z
< s y  <->  A. y  e.  (/)  z < s
y ) )
4 uneq2 3455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  ( L  u.  (/) ) )
5 un0 3612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  u.  (/) )  =  L
64, 5syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  =  (/)  ->  ( L  u.  R )  =  L )
76imaeq2d 5162 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  =  (/)  ->  ( bday " ( L  u.  R ) )  =  ( bday " L
) )
87unieqd 3986 . . . . . . . . 9  |-  ( R  =  (/)  ->  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  = 
U. ( bday " L
) )
9 suceq 4606 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  U. ( bday " L )  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  =  suc  U. ( bday " L ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  (/)  ->  suc  U. ( bday " ( L  u.  R ) )  =  suc  U. ( bday " L ) )
1110sseq2d 3336 . . . . . . 7  |-  ( R  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
)  <->  ( bday `  z
)  C_  suc  U. ( bday " L ) ) )
123, 11anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( A. y  e.  (/)  z <
s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) ) )
13 ral0 3692 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  (/)  z < s
y
1413biantrur 493 . . . . . 6  |-  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
)  <->  ( A. y  e.  (/)  z < s
y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " L
) ) )
1512, 14syl6rbbr 256 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  ->  ( (
bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
)  <->  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1615anbi2d 685 . . . 4  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) ) )
17 3anass 940 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) )  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1816, 17syl6bbr 255 . . 3  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z
< s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
1918rexbidv 2687 . 2  |-  ( R  =  (/)  ->  ( E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  ( bday `  z )  C_ 
suc  U. ( bday " L
) )  <->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
202, 19syl5ib 211 1  |-  ( R  =  (/)  ->  ( ( ( L  C_  No  /\  L  e.  V )  /\  ( R  C_  No  /\  R  e.  W
)  /\  A. x  e.  L  A. y  e.  R  x < s y )  ->  E. z  e.  No  ( A. x  e.  L  x < s z  /\  A. y  e.  R  z < s y  /\  ( bday `  z )  C_  suc  U. ( bday " ( L  u.  R )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    u. cun 3278    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   suc csuc 4543   "cima 4840   ` cfv 5413   Nocsur 25508   < scslt 25509   bdaycbday 25510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-1o 6683  df-2o 6684  df-no 25511  df-slt 25512  df-bday 25513
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