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Theorem nocvxminlem 27836
Description: Lemma for nocvxmin 27837. Given two birthday-minimal elements of a convex class of surreals, they are not comparable. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nocvxminlem  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x <s
z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  -.  X <s Y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, X, y, z    y, Y, z
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem nocvxminlem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
x <s z  <-> 
X <s z ) )
21anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( x <s
z  /\  z <s y )  <->  ( X <s z  /\  z
<s y ) ) )
32imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
)  <->  ( ( X <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
) ) )
43ralbidv 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
)  <->  A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
) ) )
5 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
z <s y  <-> 
z <s Y ) )
65anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X <s
z  /\  z <s y )  <->  ( X <s z  /\  z
<s Y ) ) )
76imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
)  <->  ( ( X <s z  /\  z <s Y )  ->  z  e.  A
) ) )
87ralbidv 2740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
)  <->  A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s Y )  ->  z  e.  A
) ) )
94, 8rspc2v 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
)  ->  A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z <s Y )  ->  z  e.  A
) ) )
10 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  ( X <s z  <->  X <s w ) )
11 breq1 4300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  (
z <s Y  <-> 
w <s Y ) )
1210, 11anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
( X <s
z  /\  z <s Y )  <->  ( X <s w  /\  w <s Y ) ) )
13 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  A  <->  w  e.  A ) )
1412, 13imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( X <s z  /\  z
<s Y )  ->  z  e.  A
)  <->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  w  e.  A
) ) )
1514rspcv 3074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s Y )  ->  z  e.  A
)  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  w  e.  A
) ) )
16 bdaydm 27824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  bday  =  No
1716sseq2i 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  dom  bday  <->  A  C_  No )
18 bdayfun 27822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Fun  bday
19 funfvima2 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  bday  /\  A  C_  dom  bday )  ->  (
w  e.  A  -> 
( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2018, 19mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  dom  bday  ->  (
w  e.  A  -> 
( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2117, 20sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  ( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( bday `  w )  e.  ( bday " A
) )
23 intss1 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
bday `  w )  e.  ( bday " A
)  ->  |^| ( bday " A )  C_  ( bday `  w ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  |^| ( bday " A )  C_  ( bday `  w )
)
25 imassrn 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( bday " A )  C_  ran  bday
26 bdayrn 27823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  bday  =  On
2725, 26sseqtri 3393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( bday " A )  C_  On
28 ne0i 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
bday `  w )  e.  ( bday " A
)  ->  ( bday " A )  =/=  (/) )
2922, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( bday " A )  =/=  (/) )
30 oninton 6416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( bday " A
)  C_  On  /\  ( bday " A )  =/=  (/) )  ->  |^| ( bday " A )  e.  On )
3127, 29, 30sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  |^| ( bday " A )  e.  On )
32 bdayelon 27826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( bday `  w )  e.  On
33 ontri1 4758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
|^| ( bday " A
)  e.  On  /\  ( bday `  w )  e.  On )  ->  ( |^| ( bday " A
)  C_  ( bday `  w )  <->  -.  ( bday `  w )  e. 
|^| ( bday " A
) ) )
3431, 32, 33sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( |^| ( bday " A
)  C_  ( bday `  w )  <->  -.  ( bday `  w )  e. 
|^| ( bday " A
) ) )
3524, 34mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A
) )
3635ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A
) ) )
37 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  <->  ( bday `  w
)  e.  |^| ( bday " A ) ) )
3837notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  <->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A ) ) )
3938biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( bday `  w
)  e.  |^| ( bday " A )  -> 
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  ->  -.  ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X ) ) )
4036, 39syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4140com3l 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  A  ->  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4241adantrd 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4315, 42syl8 70 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s Y )  ->  z  e.  A
)  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  ( ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
4443com35 90 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s Y )  ->  z  e.  A
)  ->  ( A  C_  No  ->  ( (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) )
4544com4l 84 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  No  (
( X <s
z  /\  z <s Y )  ->  z  e.  A )  ->  ( A  C_  No  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  (
w  e.  No  ->  ( ( X <s
w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
469, 45syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
)  ->  ( A  C_  No  ->  ( (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( w  e.  No  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) ) )
4746com3l 81 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x <s
z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A )  ->  ( A  C_  No  ->  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( w  e.  No  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) ) )
4847impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x <s
z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  (
w  e.  No  ->  ( ( X <s
w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
4948imp42 594 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X ) ) )
5049con2d 115 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  ->  -.  ( X <s w  /\  w <s
Y ) ) )
51 3anass 969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y )  <->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X <s w  /\  w <s Y ) ) )
5251notbii 296 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y )  <->  -.  (
( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X <s w  /\  w <s Y ) ) )
53 imnan 422 . . . . . 6  |-  ( ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  ->  -.  ( X <s w  /\  w <s
Y ) )  <->  -.  (
( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X <s w  /\  w <s Y ) ) )
5452, 53bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y )  <->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  ->  -.  ( X <s w  /\  w <s Y ) ) )
5550, 54sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  -.  ( ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s
Y ) )
5655nrexdv 2824 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  ->  -.  E. w  e.  No  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y ) )
57 ssel 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  No  ->  ( X  e.  A  ->  X  e.  No ) )
58 ssel 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  No  ->  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  No ) )
5957, 58anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  No  ->  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  e.  No  /\  Y  e.  No ) ) )
6059imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  No  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )
)  ->  ( X  e.  No  /\  Y  e.  No ) )
61 eqtr3 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) )
6260, 61anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A
) )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  (
( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X
)  =  ( bday `  Y ) ) )
6362anasss 647 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  No  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  -> 
( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) ) )
6463adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  -> 
( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) ) )
65 nodense 27835 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( ( bday `  X )  =  (
bday `  Y )  /\  X <s Y ) )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s
Y ) )
6665anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) )  /\  X <s Y )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y ) )
6764, 66sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  X <s Y )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y ) )
6856, 67mtand 659 . 2  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  ->  -.  X <s Y )
6968ex 434 1  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x <s
z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  -.  X <s Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   (/)c0 3642   |^|cint 4133   class class class wbr 4297   Oncon0 4724   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   Fun wfun 5417   ` cfv 5423   Nocsur 27786   <scslt 27787   bdaycbday 27788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-1o 6925  df-2o 6926  df-no 27789  df-slt 27790  df-bday 27791
This theorem is referenced by:  nocvxmin  27837
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