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Theorem nocvxminlem 29377
Description: Lemma for nocvxmin 29378. Given two birthday-minimal elements of a convex class of surreals, they are not comparable. (Contributed by Scott Fenton, 30-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nocvxminlem  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x <s
z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  -.  X <s Y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, X, y, z    y, Y, z
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem nocvxminlem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
x <s z  <-> 
X <s z ) )
21anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( x <s
z  /\  z <s y )  <->  ( X <s z  /\  z
<s y ) ) )
32imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
)  <->  ( ( X <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
) ) )
43ralbidv 2906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
)  <->  A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
) ) )
5 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
z <s y  <-> 
z <s Y ) )
65anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X <s
z  /\  z <s y )  <->  ( X <s z  /\  z
<s Y ) ) )
76imbi1d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
)  <->  ( ( X <s z  /\  z <s Y )  ->  z  e.  A
) ) )
87ralbidv 2906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
)  <->  A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s Y )  ->  z  e.  A
) ) )
94, 8rspc2v 3228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
)  ->  A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z <s Y )  ->  z  e.  A
) ) )
10 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  ( X <s z  <->  X <s w ) )
11 breq1 4456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  (
z <s Y  <-> 
w <s Y ) )
1210, 11anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
( X <s
z  /\  z <s Y )  <->  ( X <s w  /\  w <s Y ) ) )
13 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
z  e.  A  <->  w  e.  A ) )
1412, 13imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  (
( ( X <s z  /\  z
<s Y )  ->  z  e.  A
)  <->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  w  e.  A
) ) )
1514rspcv 3215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s Y )  ->  z  e.  A
)  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  w  e.  A
) ) )
16 bdaydm 29365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  bday  =  No
1716sseq2i 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  dom  bday  <->  A  C_  No )
18 bdayfun 29363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  Fun  bday
19 funfvima2 6147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  bday  /\  A  C_  dom  bday )  ->  (
w  e.  A  -> 
( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2018, 19mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  dom  bday  ->  (
w  e.  A  -> 
( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2117, 20sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  ( bday `  w )  e.  ( bday " A
) ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( bday `  w )  e.  ( bday " A
) )
23 intss1 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
bday `  w )  e.  ( bday " A
)  ->  |^| ( bday " A )  C_  ( bday `  w ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  |^| ( bday " A )  C_  ( bday `  w )
)
25 imassrn 5354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( bday " A )  C_  ran  bday
26 bdayrn 29364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  bday  =  On
2725, 26sseqtri 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( bday " A )  C_  On
28 ne0i 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
bday `  w )  e.  ( bday " A
)  ->  ( bday " A )  =/=  (/) )
2922, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( bday " A )  =/=  (/) )
30 oninton 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( bday " A
)  C_  On  /\  ( bday " A )  =/=  (/) )  ->  |^| ( bday " A )  e.  On )
3127, 29, 30sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  |^| ( bday " A )  e.  On )
32 bdayelon 29367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( bday `  w )  e.  On
33 ontri1 4918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
|^| ( bday " A
)  e.  On  /\  ( bday `  w )  e.  On )  ->  ( |^| ( bday " A
)  C_  ( bday `  w )  <->  -.  ( bday `  w )  e. 
|^| ( bday " A
) ) )
3431, 32, 33sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  ( |^| ( bday " A
)  C_  ( bday `  w )  <->  -.  ( bday `  w )  e. 
|^| ( bday " A
) ) )
3524, 34mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  No  /\  w  e.  A )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A
) )
3635ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A
) ) )
37 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  <->  ( bday `  w
)  e.  |^| ( bday " A ) ) )
3837notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  <->  -.  ( bday `  w )  e.  |^| ( bday " A ) ) )
3938biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( bday `  w
)  e.  |^| ( bday " A )  -> 
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  ->  -.  ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X ) ) )
4036, 39syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  No  ->  ( w  e.  A  ->  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4140com3l 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  A  ->  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4241adantrd 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  A  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) )
4315, 42syl8 70 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s Y )  ->  z  e.  A
)  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  ( ( (
bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( A  C_  No  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
4443com35 90 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  No  ->  ( A. z  e.  No  ( ( X <s z  /\  z
<s Y )  ->  z  e.  A
)  ->  ( A  C_  No  ->  ( (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) )
4544com4l 84 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  No  (
( X <s
z  /\  z <s Y )  ->  z  e.  A )  ->  ( A  C_  No  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  (
w  e.  No  ->  ( ( X <s
w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
469, 45syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
)  ->  ( A  C_  No  ->  ( (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( w  e.  No  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) ) )
4746com3l 81 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x <s
z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A )  ->  ( A  C_  No  ->  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) )  ->  ( w  e.  No  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )
) ) ) ) ) )
4847impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x <s
z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  (
( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  (
w  e.  No  ->  ( ( X <s
w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
) ) ) ) ) )
4948imp42 594 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  ( ( X <s w  /\  w <s Y )  ->  -.  ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X ) ) )
5049con2d 115 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  ->  -.  ( X <s w  /\  w <s
Y ) ) )
51 3anass 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y )  <->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X <s w  /\  w <s Y ) ) )
5251notbii 296 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y )  <->  -.  (
( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X <s w  /\  w <s Y ) ) )
53 imnan 422 . . . . . 6  |-  ( ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  ->  -.  ( X <s w  /\  w <s
Y ) )  <->  -.  (
( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  /\  ( X <s w  /\  w <s Y ) ) )
5452, 53bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y )  <->  ( ( bday `  w )  e.  ( bday `  X
)  ->  -.  ( X <s w  /\  w <s Y ) ) )
5550, 54sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  w  e.  No )  ->  -.  ( ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s
Y ) )
5655nrexdv 2923 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  ->  -.  E. w  e.  No  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y ) )
57 ssel 3503 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  No  ->  ( X  e.  A  ->  X  e.  No ) )
58 ssel 3503 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  No  ->  ( Y  e.  A  ->  Y  e.  No ) )
5957, 58anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  No  ->  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( X  e.  No  /\  Y  e.  No ) ) )
6059imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  No  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )
)  ->  ( X  e.  No  /\  Y  e.  No ) )
61 eqtr3 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( bday `  X
)  =  |^| ( bday " A )  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A
) )  ->  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) )
6260, 61anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  ( X  e.  A  /\  Y  e.  A
) )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  (
( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X
)  =  ( bday `  Y ) ) )
6362anasss 647 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  No  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  -> 
( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) ) )
6463adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  -> 
( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) ) )
65 nodense 29376 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( ( bday `  X )  =  (
bday `  Y )  /\  X <s Y ) )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w )  e.  (
bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s
Y ) )
6665anassrs 648 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  No  /\  Y  e.  No )  /\  ( bday `  X )  =  ( bday `  Y
) )  /\  X <s Y )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y ) )
6764, 66sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  /\  X <s Y )  ->  E. w  e.  No  ( ( bday `  w
)  e.  ( bday `  X )  /\  X <s w  /\  w <s Y ) )
6856, 67mtand 659 . 2  |-  ( ( ( A  C_  No  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  ( ( x <s z  /\  z
<s y )  ->  z  e.  A
) )  /\  (
( X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( ( bday `  X )  = 
|^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) ) )  ->  -.  X <s Y )
6968ex 434 1  |-  ( ( A  C_  No  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  No  (
( x <s
z  /\  z <s y )  ->  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  A )  /\  (
( bday `  X )  =  |^| ( bday " A
)  /\  ( bday `  Y )  =  |^| ( bday " A ) ) )  ->  -.  X <s Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   (/)c0 3790   |^|cint 4288   class class class wbr 4453   Oncon0 4884   dom cdm 5005   ran crn 5006   "cima 5008   Fun wfun 5588   ` cfv 5594   Nocsur 29327   <scslt 29328   bdaycbday 29329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-1o 7142  df-2o 7143  df-no 29330  df-slt 29331  df-bday 29332
This theorem is referenced by:  nocvxmin  29378
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