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Theorem nobnddown 25569
Description: Any set of surreals is bounded below by a surreal with a birthday no greater than the successor of their maximum birthday. (Contributed by Scott Fenton, 10-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
nobnddown  |-  ( ( A  C_  No  /\  A  e.  V )  ->  E. x  e.  No  ( A. y  e.  A  x < s y  /\  ( bday `  x )  C_  suc  U. ( bday " A
) ) )
Distinct variable group:    x, A, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem nobnddown
Dummy variables  a 
b  c  d  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2924 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 1on 6690 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
32elexi 2925 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
43prid1 3872 . . . . 5  |-  1o  e.  { 1o ,  2o }
5 eqid 2404 . . . . 5  |-  |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  =  |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }
64, 5nobndlem2 25561 . . . 4  |-  ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  ->  |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  e.  On )
7 noxp1o 25534 . . . 4  |-  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  e.  On  ->  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } )  e.  No )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  ->  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } )  e.  No )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } )  e.  No )
10 ssel2 3303 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  No  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  No )
1110adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  No )
124nobndlem4 25563 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  No  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  e.  On )
1310, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  No  /\  y  e.  A )  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  e.  On )
1413adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  e.  On )
156adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  e.  On )
164, 5nobndlem6 25565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  No  /\  y  e.  A )  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  e.  |^|
{ a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }
)
1716adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  e.  |^|
{ a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }
)
18 onelss 4583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  e.  On  ->  ( |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }  e.  |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  ( n `  b )  =/=  1o }  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o }  C_  |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o } ) )
1915, 17, 18sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  |^|
{ a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }
)
2019sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  d  e.  |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  ( n `  b )  =/=  1o } )
213fvconst2 5906 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  ( n `  b )  =/=  1o }  ->  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 d )  =  1o )
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  (
( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  ( n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o }
) `  d )  =  1o )
2314adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  e.  On )
24 onss 4730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }  e.  On  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  On )
2514, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  On )
2625sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  d  e.  On )
27 ontri1 4575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
|^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  e.  On  /\  d  e.  On )  ->  ( |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  d  <->  -.  d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } ) )
2823, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  ( |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  d  <->  -.  d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } ) )
2928biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  ( |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  d  ->  -.  d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } ) )
3029con2d 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  (
d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  ->  -. 
|^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  d ) )
3130ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o }  ->  (
d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  ->  -. 
|^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  d ) ) )
3231pm2.43d 46 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o }  ->  -.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  d ) )
3332imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  -.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  d )
34 intss1 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o }  ->  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  C_  d )
3533, 34nsyl 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  -.  d  e.  { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } )
36 df-ne 2569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y `  d )  =/=  1o  <->  -.  (
y `  d )  =  1o )
37 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  d  ->  (
y `  k )  =  ( y `  d ) )
3837neeq1d 2580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  d  ->  (
( y `  k
)  =/=  1o  <->  ( y `  d )  =/=  1o ) )
3938elrab3 3053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  On  ->  (
d  e.  { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  <->  ( y `  d )  =/=  1o ) )
4039biimprd 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  On  ->  (
( y `  d
)  =/=  1o  ->  d  e.  { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } ) )
4126, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  (
( y `  d
)  =/=  1o  ->  d  e.  { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } ) )
4236, 41syl5bir 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  ( -.  ( y `  d
)  =  1o  ->  d  e.  { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } ) )
4335, 42mt3d 119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  (
y `  d )  =  1o )
4422, 43eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  /\  d  e.  |^|
{ k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  ->  (
( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  ( n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o }
) `  d )  =  ( y `  d ) )
4544ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  A. d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o }  ( (
|^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 d )  =  ( y `  d
) )
463fvconst2 5906 . . . . . . . 8  |-  ( |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }  e.  |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  ( n `  b )  =/=  1o }  ->  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } )  =  1o )
4717, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } )  =  1o )
484nobndlem5 25564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  No  ->  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =/=  1o )
4911, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } )  =/= 
1o )
5049neneqd 2583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  1o )
51 nofv 25525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  No  ->  (
( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  =  (/)  \/  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  1o  \/  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) )
5211, 51syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  (/)  \/  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  1o  \/  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) )
53 3orel2 25118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  =  1o  ->  ( ( ( y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  (/)  \/  ( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  =  1o  \/  ( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  =  2o )  ->  ( ( y `
 |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } )  =  (/)  \/  ( y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) ) )
5450, 52, 53sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  (/)  \/  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) )
55 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  1o
5654, 55jctil 524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( 1o  =  1o  /\  (
( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  =  (/)  \/  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) ) )
5756ex-natded9.20 21678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( 1o  =  1o  /\  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  (/) )  \/  ( 1o  =  1o  /\  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) ) )
5857orcd 382 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
( 1o  =  1o 
/\  ( y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  (/) )  \/  ( 1o  =  1o  /\  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) )  \/  ( 1o  =  (/) 
/\  ( y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) ) )
59 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `
 |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } )  e. 
_V
603, 59brtp 25320 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o { <. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/) ,  2o >. }  ( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  <->  ( ( 1o  =  1o  /\  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  (/) )  \/  ( 1o  =  1o  /\  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o )  \/  ( 1o  =  (/)  /\  ( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  =  2o ) ) )
61 df-3or 937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1o  =  1o 
/\  ( y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  (/) )  \/  ( 1o  =  1o  /\  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o )  \/  ( 1o  =  (/)  /\  ( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  =  2o ) )  <->  ( ( ( 1o  =  1o  /\  ( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  =  (/) )  \/  ( 1o  =  1o 
/\  ( y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) )  \/  ( 1o  =  (/)  /\  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) ) )
6260, 61bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( 1o { <. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/) ,  2o >. }  ( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  <->  ( ( ( 1o  =  1o  /\  ( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
)  =  (/) )  \/  ( 1o  =  1o 
/\  ( y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) )  \/  ( 1o  =  (/)  /\  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } )  =  2o ) ) )
6358, 62sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  1o { <. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/) ,  2o >. }  ( y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } ) )
6447, 63eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } ) {
<. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/)
,  2o >. }  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } ) )
65 raleq 2864 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  ->  ( A. d  e.  c  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `  d
)  =  ( y `
 d )  <->  A. d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o }  ( (
|^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 d )  =  ( y `  d
) ) )
66 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  ->  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `  c
)  =  ( (
|^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } ) )
67 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  ->  ( y `  c )  =  ( y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } ) )
6866, 67breq12d 4185 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  ->  ( ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `  c
) { <. 1o ,  (/)
>. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/) ,  2o >. }  ( y `  c )  <->  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } ) {
<. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/)
,  2o >. }  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } ) ) )
6965, 68anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( c  =  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  ->  ( ( A. d  e.  c  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 d )  =  ( y `  d
)  /\  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 c ) {
<. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/)
,  2o >. }  (
y `  c )
)  <->  ( A. d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o }  ( (
|^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 d )  =  ( y `  d
)  /\  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 |^| { k  e.  On  |  ( y `
 k )  =/= 
1o } ) {
<. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/)
,  2o >. }  (
y `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } ) ) ) )
7069rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( (
|^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  e.  On  /\  ( A. d  e.  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o }  (
( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  ( n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o }
) `  d )  =  ( y `  d )  /\  (
( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  ( n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o }
) `  |^| { k  e.  On  |  ( y `  k )  =/=  1o } ) { <. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/) ,  2o >. }  ( y `  |^| { k  e.  On  | 
( y `  k
)  =/=  1o }
) ) )  ->  E. c  e.  On  ( A. d  e.  c  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `  d
)  =  ( y `
 d )  /\  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `  c
) { <. 1o ,  (/)
>. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/) ,  2o >. }  ( y `  c ) ) )
7114, 45, 64, 70syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  E. c  e.  On  ( A. d  e.  c  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 d )  =  ( y `  d
)  /\  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 c ) {
<. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/)
,  2o >. }  (
y `  c )
) )
72 sltval 25515 . . . . . 6  |-  ( ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } )  e.  No  /\  y  e.  No )  ->  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) < s y  <->  E. c  e.  On  ( A. d  e.  c  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 d )  =  ( y `  d
)  /\  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 c ) {
<. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/)
,  2o >. }  (
y `  c )
) ) )
7372biimpar 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } )  e.  No  /\  y  e.  No )  /\  E. c  e.  On  ( A. d  e.  c  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 d )  =  ( y `  d
)  /\  ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) `
 c ) {
<. 1o ,  (/) >. ,  <. 1o ,  2o >. ,  <. (/)
,  2o >. }  (
y `  c )
) )  ->  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) < s y )
749, 11, 71, 73syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  /\  y  e.  A
)  ->  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) < s y )
7574ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  ->  A. y  e.  A  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) < s y )
764, 5nobndlem8 25567 . . 3  |-  ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  ->  ( bday `  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } ) )  C_  suc  U. ( bday " A
) )
77 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } )  ->  (
x < s y  <-> 
( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  ( n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o }
) < s y ) )
7877ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( x  =  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } )  ->  ( A. y  e.  A  x < s y  <->  A. y  e.  A  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) < s y ) )
79 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } )  ->  ( bday `  x )  =  ( bday `  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
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8079sseq1d 3335 . . . . 5  |-  ( x  =  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } )  ->  (
( bday `  x )  C_ 
suc  U. ( bday " A
)  <->  ( bday `  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
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8178, 80anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } )  ->  (
( A. y  e.  A  x < s
y  /\  ( bday `  x )  C_  suc  U. ( bday " A
) )  <->  ( A. y  e.  A  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a 
( n `  b
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( n `  b
)  =/=  1o }  X.  { 1o } ) )  C_  suc  U. ( bday " A ) ) ) )
8281rspcev 3012 . . 3  |-  ( ( ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } )  e.  No  /\  ( A. y  e.  A  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } ) < s
y  /\  ( bday `  ( |^| { a  e.  On  |  A. n  e.  A  E. b  e.  a  (
n `  b )  =/=  1o }  X.  { 1o } ) )  C_  suc  U. ( bday " A
) ) )  ->  E. x  e.  No  ( A. y  e.  A  x < s y  /\  ( bday `  x )  C_ 
suc  U. ( bday " A
) ) )
838, 75, 76, 82syl12anc 1182 . 2  |-  ( ( A  C_  No  /\  A  e.  _V )  ->  E. x  e.  No  ( A. y  e.  A  x < s y  /\  ( bday `  x )  C_  suc  U. ( bday " A
) ) )
841, 83sylan2 461 1  |-  ( ( A  C_  No  /\  A  e.  V )  ->  E. x  e.  No  ( A. y  e.  A  x < s y  /\  ( bday `  x )  C_  suc  U. ( bday " A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   {ctp 3776   <.cop 3777   U.cuni 3975   |^|cint 4010   class class class wbr 4172   Oncon0 4541   suc csuc 4543    X. cxp 4835   "cima 4840   ` cfv 5413   1oc1o 6676   2oc2o 6677   Nocsur 25508   < scslt 25509   bdaycbday 25510
This theorem is referenced by:  nofulllem2  25571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-1o 6683  df-2o 6684  df-no 25511  df-slt 25512  df-bday 25513
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