MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzd Structured version   Unicode version

Theorem nnzd 10989
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnzd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnzd
StepHypRef Expression
1 nnzd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
21nnnn0d 10873 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
32nn0zd 10988 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1819   NNcn 10556   ZZcz 10885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12211  expmulz  12214  expmulnbnd  12300  facndiv  12368  bcval5  12398  bcpasc  12401  hashf1  12509  isercolllem1  13498  isercolllem2  13499  o1fsum  13638  bcxmas  13658  climcndslem2  13673  climcnds  13674  mertenslem1  13704  fprodser  13767  eftlub  13855  eirrlem  13948  rpnnen2lem7  13965  rpnnen2lem9  13967  rpnnen2lem11  13969  sqr2irrlem  13992  dvdsfac  14052  dvdsmod  14054  bitsfzolem  14095  bitsmod  14097  bitsfi  14098  bitscmp  14099  bitsinv1  14103  sadadd3  14122  sadaddlem  14127  bitsuz  14135  bitsshft  14136  gcd1  14181  bezoutlem3  14189  bezoutlem4  14190  mulgcd  14195  gcdmultiplez  14200  rplpwr  14205  rppwr  14206  sqgcd  14207  dvdssq  14209  prmz  14232  prmind2  14239  isprm6  14261  prmexpb  14269  prmfac1  14270  divgcdodd  14271  rpexp  14272  rpdvds  14276  numdensq  14298  hashdvds  14316  phiprmpw  14317  crt  14319  phimullem  14320  eulerthlem1  14322  eulerthlem2  14323  prmdivdiv  14328  odzdvds  14333  pythagtriplem4  14354  pythagtriplem6  14356  pythagtriplem7  14357  pythagtriplem11  14360  pythagtriplem13  14362  pythagtriplem19  14368  pclem  14373  pcprendvds2  14376  pcpre1  14377  pcpremul  14378  pceulem  14380  pcqmul  14388  pcdvdsb  14403  pcidlem  14406  pcdvdstr  14410  pcgcd1  14411  pc2dvds  14413  pcprmpw2  14416  pcaddlem  14418  pcadd  14419  pcmpt2  14423  pcmptdvds  14424  pcfac  14429  pcbc  14430  qexpz  14431  prmpwdvds  14433  pockthlem  14434  pockthg  14435  prmreclem2  14446  prmreclem3  14447  prmreclem4  14448  prmreclem5  14449  prmreclem6  14450  4sqlem5  14471  4sqlem8  14474  4sqlem9  14475  4sqlem10  14476  4sqlem12  14485  4sqlem14  14487  4sqlem16  14489  4sqlem17  14490  vdwlem1  14510  vdwlem2  14511  vdwlem3  14512  vdwlem6  14515  vdwlem9  14518  vdwlem10  14519  vdwnnlem3  14526  gsumwsubmcl  16132  gsumccat  16135  gsumwmhm  16139  mulgneg  16286  mulgnndir  16290  psgnunilem4  16648  odlem2  16689  mndodconglem  16691  odmod  16696  gexlem2  16728  gexcl3  16733  gexcl2  16735  sylow1lem1  16744  sylow1lem3  16746  sylow1lem5  16748  pgpfi  16751  fislw  16771  sylow3lem4  16776  gexexlem  16984  ablfacrplem  17242  ablfacrp  17243  ablfacrp2  17244  ablfac1lem  17245  ablfac1b  17247  ablfac1eu  17250  pgpfac1lem3a  17253  ablfaclem3  17264  znrrg  18730  cayhamlem1  19493  caublcls  21872  ovolicc2lem4  22056  iundisj2  22084  volsup  22091  uniioombllem3  22119  mbfi1fseqlem3  22249  mbfi1fseqlem4  22250  elqaalem2  22841  aalioulem1  22853  aalioulem4  22856  aalioulem5  22857  aalioulem6  22858  aaliou  22859  aaliou3lem1  22863  aaliou3lem2  22864  aaliou3lem3  22865  aaliou3lem8  22866  aaliou3lem5  22868  aaliou3lem6  22869  aaliou3lem7  22870  taylthlem2  22894  cxpeq  23256  amgmlem  23444  wilthlem2  23468  wilth  23470  ftalem5  23475  basellem2  23480  basellem3  23481  basellem4  23482  basellem5  23483  muval1  23532  dvdssqf  23537  sgmnncl  23546  efchtdvds  23558  mumullem2  23579  mumul  23580  sqff1o  23581  fsumdvdsdiaglem  23584  dvdsppwf1o  23587  dvdsflf1o  23588  muinv  23594  dvdsmulf1o  23595  chtublem  23611  fsumvma2  23614  vmasum  23616  chpchtsum  23619  logfacubnd  23621  mersenne  23627  perfect1  23628  perfectlem1  23629  perfectlem2  23630  perfect  23631  dchrelbas4  23643  dchrfi  23655  bcmono  23677  bcp1ctr  23679  bclbnd  23680  bposlem1  23684  bposlem3  23686  bposlem5  23688  bposlem6  23689  bposlem9  23692  lgsmod  23721  lgsdir  23730  lgsdilem2  23731  lgsne0  23733  lgsqrlem2  23742  lgsqr  23746  lgseisenlem1  23749  lgseisenlem2  23750  lgseisenlem3  23751  lgseisenlem4  23752  lgsquadlem1  23754  lgsquadlem2  23755  lgsquadlem3  23756  lgsquad2lem1  23758  lgsquad2lem2  23759  lgsquad2  23760  m1lgs  23762  2sqlem3  23766  2sqlem4  23767  2sqlem8  23772  chebbnd1lem1  23779  rplogsumlem2  23795  rpvmasumlem  23797  dchrisumlem1  23799  dchrisumlem2  23800  dchrisumlem3  23801  dchrisum0fmul  23816  dchrisum0ff  23817  dchrisum0flblem1  23818  dchrisum0flblem2  23819  dchrisum0flb  23820  dchrisum0  23830  pntrsumbnd2  23877  pntrlog2bndlem1  23887  pntrlog2bndlem6  23893  pntpbnd2  23897  pntlemg  23908  pntlemj  23913  pntlemf  23915  ostth2lem2  23944  ostth2lem3  23945  ostth3  23948  minvecolem4  25922  iundisj2f  27586  ssnnssfz  27749  iundisj2fi  27754  gcdnncl  27759  numdenneg  27760  ltesubnnd  27764  isarchi3  27883  archiabllem1b  27888  qqhval2  28116  qqhf  28120  qqhghm  28122  qqhrhm  28123  qqhnm  28124  qqhre  28151  esumcvg  28248  meascnbl  28351  omssubadd  28432  oddpwdc  28468  ballotlemfp1  28605  ballotlemfc0  28606  ballotlemfcc  28607  ballotlemimin  28619  ballotlemic  28620  ballotlem1c  28621  lgamgulmlem4  28749  lgamcvg2  28772  subfaclim  28807  cvmliftlem7  28911  sinccvglem  29213  faclimlem2  29344  faclim2  29348  bpolydiflem  29978  mblfinlem2  30214  seqpo  30402  incsequz  30403  incsequz2  30404  irrapxlem3  30922  irrapxlem5  30924  pellexlem5  30931  pellexlem6  30932  pellex  30933  pell1234qrmulcl  30953  jm2.23  31100  jm2.20nn  31101  jm2.26lem3  31105  jm2.27a  31109  jm2.27b  31110  jm2.27c  31111  jm3.1lem1  31121  jm3.1lem3  31123  hashgcdlem  31319  lcmneg  31371  lcmgcdlem  31374  nznngen  31383  hashnzfz2  31388  fmuldfeq  31738  divcnvg  31794  stoweidlem1  31944  stoweidlem3  31946  stoweidlem11  31954  stoweidlem20  31963  stoweidlem26  31969  stoweidlem34  31977  stoweidlem51  31994  stirlinglem4  32020  stirlinglem5  32021  stirlinglem8  32024  dirkerper  32039  dirkertrigeqlem2  32042  dirkertrigeqlem3  32043  dirkercncflem2  32047  fourierdlem11  32061  fourierdlem14  32064  fourierdlem20  32070  fourierdlem25  32075  fourierdlem37  32087  fourierdlem41  32091  fourierdlem48  32098  fourierdlem49  32099  fourierdlem54  32104  fourierdlem64  32114  fourierdlem73  32123  fourierdlem79  32129  fourierdlem92  32142  fourierdlem93  32143  fourierdlem111  32161  sqwvfourb  32173  etransclem3  32181  etransclem7  32185  etransclem10  32188  etransclem15  32193  etransclem24  32202  etransclem25  32203  etransclem26  32204  etransclem27  32205  etransclem28  32206  etransclem35  32213  etransclem37  32215  etransclem38  32216  etransclem41  32219  etransclem44  32222  etransclem45  32223  etransclem48  32226  inductionexd  38068
  Copyright terms: Public domain W3C validator