MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzd Structured version   Unicode version

Theorem nnzd 10738
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnzd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnzd
StepHypRef Expression
1 nnzd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
21nnnn0d 10628 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
32nn0zd 10737 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   NNcn 10314   ZZcz 10638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639
This theorem is referenced by:  expaddzlem  11899  expmulz  11902  expmulnbnd  11988  facndiv  12056  bcval5  12086  bcpasc  12089  hashf1  12202  isercolllem1  13134  isercolllem2  13135  o1fsum  13268  bcxmas  13290  climcndslem2  13305  climcnds  13306  mertenslem1  13336  eftlub  13385  eirrlem  13478  rpnnen2lem7  13495  rpnnen2lem9  13497  rpnnen2lem11  13499  sqr2irrlem  13522  dvdsfac  13580  dvdsmod  13582  bitsfzolem  13622  bitsmod  13624  bitsfi  13625  bitscmp  13626  bitsinv1  13630  sadadd3  13649  sadaddlem  13654  bitsuz  13662  bitsshft  13663  gcd1  13708  bezoutlem3  13716  bezoutlem4  13717  mulgcd  13722  gcdmultiplez  13727  rplpwr  13732  rppwr  13733  sqgcd  13734  dvdssq  13736  prmz  13759  prmind2  13766  isprm6  13787  prmexpb  13795  prmfac1  13796  divgcdodd  13797  rpexp  13798  rpdvds  13802  numdensq  13824  hashdvds  13842  phiprmpw  13843  crt  13845  phimullem  13846  eulerthlem1  13848  eulerthlem2  13849  prmdivdiv  13854  odzdvds  13859  pythagtriplem4  13878  pythagtriplem6  13880  pythagtriplem7  13881  pythagtriplem11  13884  pythagtriplem13  13886  pythagtriplem19  13892  pclem  13897  pcprendvds2  13900  pcpre1  13901  pcpremul  13902  pceulem  13904  pcqmul  13912  pcdvdsb  13927  pcidlem  13930  pcdvdstr  13934  pcgcd1  13935  pc2dvds  13937  pcprmpw2  13940  pcaddlem  13942  pcadd  13943  pcmpt2  13947  pcmptdvds  13948  pcfac  13953  pcbc  13954  qexpz  13955  prmpwdvds  13957  pockthlem  13958  pockthg  13959  prmreclem2  13970  prmreclem3  13971  prmreclem4  13972  prmreclem5  13973  prmreclem6  13974  4sqlem5  13995  4sqlem8  13998  4sqlem9  13999  4sqlem10  14000  4sqlem12  14009  4sqlem14  14011  4sqlem16  14013  4sqlem17  14014  vdwlem1  14034  vdwlem2  14035  vdwlem3  14036  vdwlem6  14039  vdwlem9  14042  vdwlem10  14043  vdwnnlem3  14050  gsumwsubmcl  15507  gsumccat  15510  gsumwmhm  15514  mulgneg  15636  mulgnndir  15640  psgnunilem4  15994  odlem2  16033  mndodconglem  16035  odmod  16040  gexlem2  16072  gexcl3  16077  gexcl2  16079  sylow1lem1  16088  sylow1lem3  16090  sylow1lem5  16092  pgpfi  16095  fislw  16115  sylow3lem4  16120  gexexlem  16325  ablfacrplem  16554  ablfacrp  16555  ablfacrp2  16556  ablfac1lem  16557  ablfac1b  16559  ablfac1eu  16562  pgpfac1lem3a  16565  ablfaclem3  16576  caublcls  20794  ovolicc2lem4  20978  iundisj2  21005  volsup  21012  uniioombllem3  21040  mbfi1fseqlem3  21170  mbfi1fseqlem4  21171  elqaalem2  21761  aalioulem1  21773  aalioulem4  21776  aalioulem5  21777  aalioulem6  21778  aaliou  21779  aaliou3lem1  21783  aaliou3lem2  21784  aaliou3lem3  21785  aaliou3lem8  21786  aaliou3lem5  21788  aaliou3lem6  21789  aaliou3lem7  21790  taylthlem2  21814  cxpeq  22170  amgmlem  22358  wilthlem2  22382  wilth  22384  ftalem5  22389  basellem2  22394  basellem3  22395  basellem4  22396  basellem5  22397  muval1  22446  dvdssqf  22451  sgmnncl  22460  efchtdvds  22472  mumullem2  22493  mumul  22494  sqff1o  22495  fsumdvdsdiaglem  22498  dvdsppwf1o  22501  dvdsflf1o  22502  muinv  22508  dvdsmulf1o  22509  chtublem  22525  fsumvma2  22528  vmasum  22530  chpchtsum  22533  logfacubnd  22535  mersenne  22541  perfect1  22542  perfectlem1  22543  perfectlem2  22544  perfect  22545  dchrelbas4  22557  dchrfi  22569  bcmono  22591  bcp1ctr  22593  bclbnd  22594  bposlem1  22598  bposlem3  22600  bposlem5  22602  bposlem6  22603  bposlem9  22606  lgsmod  22635  lgsdir  22644  lgsdilem2  22645  lgsne0  22647  lgsqrlem2  22656  lgsqr  22660  lgseisenlem1  22663  lgseisenlem2  22664  lgseisenlem3  22665  lgseisenlem4  22666  lgsquadlem1  22668  lgsquadlem2  22669  lgsquadlem3  22670  lgsquad2lem1  22672  lgsquad2lem2  22673  lgsquad2  22674  m1lgs  22676  2sqlem3  22680  2sqlem4  22681  2sqlem8  22686  chebbnd1lem1  22693  rplogsumlem2  22709  rpvmasumlem  22711  dchrisumlem1  22713  dchrisumlem2  22714  dchrisumlem3  22715  dchrisum0fmul  22730  dchrisum0ff  22731  dchrisum0flblem1  22732  dchrisum0flblem2  22733  dchrisum0flb  22734  dchrisum0  22744  pntrsumbnd2  22791  pntrlog2bndlem1  22801  pntrlog2bndlem6  22807  pntpbnd2  22811  pntlemg  22822  pntlemj  22827  pntlemf  22829  ostth2lem2  22858  ostth2lem3  22859  ostth3  22862  minvecolem4  24232  iundisj2f  25883  ssnnssfz  26027  iundisj2fi  26032  numdenneg  26037  ltesubnnd  26042  isarchi3  26155  qqhval2  26363  qqhf  26367  qqhghm  26369  qqhrhm  26370  qqhnm  26371  qqhre  26398  esumcvg  26487  meascnbl  26585  oddpwdc  26689  ballotlemfp1  26826  ballotlemfc0  26827  ballotlemfcc  26828  ballotlemimin  26840  ballotlemic  26841  ballotlem1c  26842  lgamgulmlem4  26970  lgamcvg2  26993  subfaclim  27028  cvmliftlem7  27132  sinccvglem  27268  fprodser  27413  faclimlem2  27501  faclim2  27505  bpolydiflem  28148  mblfinlem2  28382  seqpo  28596  incsequz  28597  incsequz2  28598  irrapxlem3  29118  irrapxlem5  29120  pellexlem5  29127  pellexlem6  29128  pellex  29129  pell1234qrmulcl  29149  jm2.23  29298  jm2.20nn  29299  jm2.26lem3  29303  jm2.27a  29307  jm2.27b  29308  jm2.27c  29309  jm3.1lem1  29319  jm3.1lem3  29321  hashgcdlem  29518  fmuldfeq  29717  stoweidlem1  29749  stoweidlem3  29751  stoweidlem11  29759  stoweidlem20  29768  stoweidlem26  29774  stoweidlem34  29782  stoweidlem51  29799  stirlinglem4  29825  stirlinglem5  29826  stirlinglem8  29829
  Copyright terms: Public domain W3C validator