MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzd Structured version   Unicode version

Theorem nnzd 10961
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnzd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnzd
StepHypRef Expression
1 nnzd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
21nnnn0d 10848 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
32nn0zd 10960 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   NNcn 10532   ZZcz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12171  expmulz  12174  expmulnbnd  12260  facndiv  12328  bcval5  12358  bcpasc  12361  hashf1  12466  isercolllem1  13443  isercolllem2  13444  o1fsum  13583  bcxmas  13603  climcndslem2  13618  climcnds  13619  mertenslem1  13649  eftlub  13698  eirrlem  13791  rpnnen2lem7  13808  rpnnen2lem9  13810  rpnnen2lem11  13812  sqr2irrlem  13835  dvdsfac  13893  dvdsmod  13895  bitsfzolem  13936  bitsmod  13938  bitsfi  13939  bitscmp  13940  bitsinv1  13944  sadadd3  13963  sadaddlem  13968  bitsuz  13976  bitsshft  13977  gcd1  14022  bezoutlem3  14030  bezoutlem4  14031  mulgcd  14036  gcdmultiplez  14041  rplpwr  14046  rppwr  14047  sqgcd  14048  dvdssq  14050  prmz  14073  prmind2  14080  isprm6  14102  prmexpb  14110  prmfac1  14111  divgcdodd  14112  rpexp  14113  rpdvds  14117  numdensq  14139  hashdvds  14157  phiprmpw  14158  crt  14160  phimullem  14161  eulerthlem1  14163  eulerthlem2  14164  prmdivdiv  14169  odzdvds  14174  pythagtriplem4  14195  pythagtriplem6  14197  pythagtriplem7  14198  pythagtriplem11  14201  pythagtriplem13  14203  pythagtriplem19  14209  pclem  14214  pcprendvds2  14217  pcpre1  14218  pcpremul  14219  pceulem  14221  pcqmul  14229  pcdvdsb  14244  pcidlem  14247  pcdvdstr  14251  pcgcd1  14252  pc2dvds  14254  pcprmpw2  14257  pcaddlem  14259  pcadd  14260  pcmpt2  14264  pcmptdvds  14265  pcfac  14270  pcbc  14271  qexpz  14272  prmpwdvds  14274  pockthlem  14275  pockthg  14276  prmreclem2  14287  prmreclem3  14288  prmreclem4  14289  prmreclem5  14290  prmreclem6  14291  4sqlem5  14312  4sqlem8  14315  4sqlem9  14316  4sqlem10  14317  4sqlem12  14326  4sqlem14  14328  4sqlem16  14330  4sqlem17  14331  vdwlem1  14351  vdwlem2  14352  vdwlem3  14353  vdwlem6  14356  vdwlem9  14359  vdwlem10  14360  vdwnnlem3  14367  gsumwsubmcl  15826  gsumccat  15829  gsumwmhm  15833  mulgneg  15957  mulgnndir  15961  psgnunilem4  16315  odlem2  16356  mndodconglem  16358  odmod  16363  gexlem2  16395  gexcl3  16400  gexcl2  16402  sylow1lem1  16411  sylow1lem3  16413  sylow1lem5  16415  pgpfi  16418  fislw  16438  sylow3lem4  16443  gexexlem  16648  ablfacrplem  16903  ablfacrp  16904  ablfacrp2  16905  ablfac1lem  16906  ablfac1b  16908  ablfac1eu  16911  pgpfac1lem3a  16914  ablfaclem3  16925  cayhamlem1  19131  caublcls  21479  ovolicc2lem4  21663  iundisj2  21691  volsup  21698  uniioombllem3  21726  mbfi1fseqlem3  21856  mbfi1fseqlem4  21857  elqaalem2  22447  aalioulem1  22459  aalioulem4  22462  aalioulem5  22463  aalioulem6  22464  aaliou  22465  aaliou3lem1  22469  aaliou3lem2  22470  aaliou3lem3  22471  aaliou3lem8  22472  aaliou3lem5  22474  aaliou3lem6  22475  aaliou3lem7  22476  taylthlem2  22500  cxpeq  22856  amgmlem  23044  wilthlem2  23068  wilth  23070  ftalem5  23075  basellem2  23080  basellem3  23081  basellem4  23082  basellem5  23083  muval1  23132  dvdssqf  23137  sgmnncl  23146  efchtdvds  23158  mumullem2  23179  mumul  23180  sqff1o  23181  fsumdvdsdiaglem  23184  dvdsppwf1o  23187  dvdsflf1o  23188  muinv  23194  dvdsmulf1o  23195  chtublem  23211  fsumvma2  23214  vmasum  23216  chpchtsum  23219  logfacubnd  23221  mersenne  23227  perfect1  23228  perfectlem1  23229  perfectlem2  23230  perfect  23231  dchrelbas4  23243  dchrfi  23255  bcmono  23277  bcp1ctr  23279  bclbnd  23280  bposlem1  23284  bposlem3  23286  bposlem5  23288  bposlem6  23289  bposlem9  23292  lgsmod  23321  lgsdir  23330  lgsdilem2  23331  lgsne0  23333  lgsqrlem2  23342  lgsqr  23346  lgseisenlem1  23349  lgseisenlem2  23350  lgseisenlem3  23351  lgseisenlem4  23352  lgsquadlem1  23354  lgsquadlem2  23355  lgsquadlem3  23356  lgsquad2lem1  23358  lgsquad2lem2  23359  lgsquad2  23360  m1lgs  23362  2sqlem3  23366  2sqlem4  23367  2sqlem8  23372  chebbnd1lem1  23379  rplogsumlem2  23395  rpvmasumlem  23397  dchrisumlem1  23399  dchrisumlem2  23400  dchrisumlem3  23401  dchrisum0fmul  23416  dchrisum0ff  23417  dchrisum0flblem1  23418  dchrisum0flblem2  23419  dchrisum0flb  23420  dchrisum0  23430  pntrsumbnd2  23477  pntrlog2bndlem1  23487  pntrlog2bndlem6  23493  pntpbnd2  23497  pntlemg  23508  pntlemj  23513  pntlemf  23515  ostth2lem2  23544  ostth2lem3  23545  ostth3  23548  minvecolem4  25469  iundisj2f  27119  ssnnssfz  27262  iundisj2fi  27267  numdenneg  27272  ltesubnnd  27277  isarchi3  27390  qqhval2  27596  qqhf  27600  qqhghm  27602  qqhrhm  27603  qqhnm  27604  qqhre  27631  esumcvg  27729  meascnbl  27827  oddpwdc  27930  ballotlemfp1  28067  ballotlemfc0  28068  ballotlemfcc  28069  ballotlemimin  28081  ballotlemic  28082  ballotlem1c  28083  lgamgulmlem4  28211  lgamcvg2  28234  subfaclim  28269  cvmliftlem7  28373  sinccvglem  28510  fprodser  28655  faclimlem2  28743  faclim2  28747  bpolydiflem  29390  mblfinlem2  29627  seqpo  29841  incsequz  29842  incsequz2  29843  irrapxlem3  30362  irrapxlem5  30364  pellexlem5  30371  pellexlem6  30372  pellex  30373  pell1234qrmulcl  30393  jm2.23  30542  jm2.20nn  30543  jm2.26lem3  30547  jm2.27a  30551  jm2.27b  30552  jm2.27c  30553  jm3.1lem1  30563  jm3.1lem3  30565  hashgcdlem  30762  lcmneg  30809  lcmgcdlem  30812  nznngen  30821  hashnzfz2  30826  fmuldfeq  31133  divcnvg  31169  stoweidlem1  31301  stoweidlem3  31303  stoweidlem11  31311  stoweidlem20  31320  stoweidlem26  31326  stoweidlem34  31334  stoweidlem51  31351  stirlinglem4  31377  stirlinglem5  31378  stirlinglem8  31381  dirkerper  31396  dirkertrigeqlem2  31399  dirkertrigeqlem3  31400  dirkercncflem2  31404  fourierdlem11  31418  fourierdlem14  31421  fourierdlem25  31432  fourierdlem37  31444  fourierdlem41  31448  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem54  31461  fourierdlem73  31480  fourierdlem79  31486  fourierdlem92  31499  fourierdlem93  31500  fourierdlem111  31518  sqwvfourb  31530
  Copyright terms: Public domain W3C validator