MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnzd Structured version   Unicode version

Theorem nnzd 10847
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnzd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnzd  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnzd
StepHypRef Expression
1 nnzd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
21nnnn0d 10737 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
32nn0zd 10846 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   NNcn 10423   ZZcz 10747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748
This theorem is referenced by:  expaddzlem  12008  expmulz  12011  expmulnbnd  12097  facndiv  12165  bcval5  12195  bcpasc  12198  hashf1  12312  isercolllem1  13244  isercolllem2  13245  o1fsum  13378  bcxmas  13400  climcndslem2  13415  climcnds  13416  mertenslem1  13446  eftlub  13495  eirrlem  13588  rpnnen2lem7  13605  rpnnen2lem9  13607  rpnnen2lem11  13609  sqr2irrlem  13632  dvdsfac  13690  dvdsmod  13692  bitsfzolem  13732  bitsmod  13734  bitsfi  13735  bitscmp  13736  bitsinv1  13740  sadadd3  13759  sadaddlem  13764  bitsuz  13772  bitsshft  13773  gcd1  13818  bezoutlem3  13826  bezoutlem4  13827  mulgcd  13832  gcdmultiplez  13837  rplpwr  13842  rppwr  13843  sqgcd  13844  dvdssq  13846  prmz  13869  prmind2  13876  isprm6  13897  prmexpb  13905  prmfac1  13906  divgcdodd  13907  rpexp  13908  rpdvds  13912  numdensq  13934  hashdvds  13952  phiprmpw  13953  crt  13955  phimullem  13956  eulerthlem1  13958  eulerthlem2  13959  prmdivdiv  13964  odzdvds  13969  pythagtriplem4  13988  pythagtriplem6  13990  pythagtriplem7  13991  pythagtriplem11  13994  pythagtriplem13  13996  pythagtriplem19  14002  pclem  14007  pcprendvds2  14010  pcpre1  14011  pcpremul  14012  pceulem  14014  pcqmul  14022  pcdvdsb  14037  pcidlem  14040  pcdvdstr  14044  pcgcd1  14045  pc2dvds  14047  pcprmpw2  14050  pcaddlem  14052  pcadd  14053  pcmpt2  14057  pcmptdvds  14058  pcfac  14063  pcbc  14064  qexpz  14065  prmpwdvds  14067  pockthlem  14068  pockthg  14069  prmreclem2  14080  prmreclem3  14081  prmreclem4  14082  prmreclem5  14083  prmreclem6  14084  4sqlem5  14105  4sqlem8  14108  4sqlem9  14109  4sqlem10  14110  4sqlem12  14119  4sqlem14  14121  4sqlem16  14123  4sqlem17  14124  vdwlem1  14144  vdwlem2  14145  vdwlem3  14146  vdwlem6  14149  vdwlem9  14152  vdwlem10  14153  vdwnnlem3  14160  gsumwsubmcl  15618  gsumccat  15621  gsumwmhm  15625  mulgneg  15747  mulgnndir  15751  psgnunilem4  16105  odlem2  16146  mndodconglem  16148  odmod  16153  gexlem2  16185  gexcl3  16190  gexcl2  16192  sylow1lem1  16201  sylow1lem3  16203  sylow1lem5  16205  pgpfi  16208  fislw  16228  sylow3lem4  16233  gexexlem  16438  ablfacrplem  16671  ablfacrp  16672  ablfacrp2  16673  ablfac1lem  16674  ablfac1b  16676  ablfac1eu  16679  pgpfac1lem3a  16682  ablfaclem3  16693  caublcls  20935  ovolicc2lem4  21119  iundisj2  21146  volsup  21153  uniioombllem3  21181  mbfi1fseqlem3  21311  mbfi1fseqlem4  21312  elqaalem2  21902  aalioulem1  21914  aalioulem4  21917  aalioulem5  21918  aalioulem6  21919  aaliou  21920  aaliou3lem1  21924  aaliou3lem2  21925  aaliou3lem3  21926  aaliou3lem8  21927  aaliou3lem5  21929  aaliou3lem6  21930  aaliou3lem7  21931  taylthlem2  21955  cxpeq  22311  amgmlem  22499  wilthlem2  22523  wilth  22525  ftalem5  22530  basellem2  22535  basellem3  22536  basellem4  22537  basellem5  22538  muval1  22587  dvdssqf  22592  sgmnncl  22601  efchtdvds  22613  mumullem2  22634  mumul  22635  sqff1o  22636  fsumdvdsdiaglem  22639  dvdsppwf1o  22642  dvdsflf1o  22643  muinv  22649  dvdsmulf1o  22650  chtublem  22666  fsumvma2  22669  vmasum  22671  chpchtsum  22674  logfacubnd  22676  mersenne  22682  perfect1  22683  perfectlem1  22684  perfectlem2  22685  perfect  22686  dchrelbas4  22698  dchrfi  22710  bcmono  22732  bcp1ctr  22734  bclbnd  22735  bposlem1  22739  bposlem3  22741  bposlem5  22743  bposlem6  22744  bposlem9  22747  lgsmod  22776  lgsdir  22785  lgsdilem2  22786  lgsne0  22788  lgsqrlem2  22797  lgsqr  22801  lgseisenlem1  22804  lgseisenlem2  22805  lgseisenlem3  22806  lgseisenlem4  22807  lgsquadlem1  22809  lgsquadlem2  22810  lgsquadlem3  22811  lgsquad2lem1  22813  lgsquad2lem2  22814  lgsquad2  22815  m1lgs  22817  2sqlem3  22821  2sqlem4  22822  2sqlem8  22827  chebbnd1lem1  22834  rplogsumlem2  22850  rpvmasumlem  22852  dchrisumlem1  22854  dchrisumlem2  22855  dchrisumlem3  22856  dchrisum0fmul  22871  dchrisum0ff  22872  dchrisum0flblem1  22873  dchrisum0flblem2  22874  dchrisum0flb  22875  dchrisum0  22885  pntrsumbnd2  22932  pntrlog2bndlem1  22942  pntrlog2bndlem6  22948  pntpbnd2  22952  pntlemg  22963  pntlemj  22968  pntlemf  22970  ostth2lem2  22999  ostth2lem3  23000  ostth3  23003  minvecolem4  24416  iundisj2f  26066  ssnnssfz  26210  iundisj2fi  26215  numdenneg  26220  ltesubnnd  26225  isarchi3  26338  qqhval2  26545  qqhf  26549  qqhghm  26551  qqhrhm  26552  qqhnm  26553  qqhre  26580  esumcvg  26669  meascnbl  26767  oddpwdc  26871  ballotlemfp1  27008  ballotlemfc0  27009  ballotlemfcc  27010  ballotlemimin  27022  ballotlemic  27023  ballotlem1c  27024  lgamgulmlem4  27152  lgamcvg2  27175  subfaclim  27210  cvmliftlem7  27314  sinccvglem  27451  fprodser  27596  faclimlem2  27684  faclim2  27688  bpolydiflem  28331  mblfinlem2  28567  seqpo  28781  incsequz  28782  incsequz2  28783  irrapxlem3  29303  irrapxlem5  29305  pellexlem5  29312  pellexlem6  29313  pellex  29314  pell1234qrmulcl  29334  jm2.23  29483  jm2.20nn  29484  jm2.26lem3  29488  jm2.27a  29492  jm2.27b  29493  jm2.27c  29494  jm3.1lem1  29504  jm3.1lem3  29506  hashgcdlem  29703  fmuldfeq  29902  stoweidlem1  29934  stoweidlem3  29936  stoweidlem11  29944  stoweidlem20  29953  stoweidlem26  29959  stoweidlem34  29967  stoweidlem51  29984  stirlinglem4  30010  stirlinglem5  30011  stirlinglem8  30014  cayhamlem1  31320
  Copyright terms: Public domain W3C validator