MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnz Structured version   Unicode version

Theorem nnz 10886
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnz  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnz
StepHypRef Expression
1 nnssz 10884 . 2  |-  NN  C_  ZZ
21sseli 3500 1  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   NNcn 10536   ZZcz 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-z 10865
This theorem is referenced by:  elnnz1  10890  znegcl  10898  nnleltp1  10917  nnltp1le  10918  nnlem1lt  10927  nnltlem1  10928  nnm1ge0  10929  prime  10941  nneo  10944  zeo  10946  uzindOLD  10955  btwnz  10963  eluz2b2  11154  qaddcl  11198  qreccl  11202  elfz1end  11715  fznatpl1  11734  fznn  11747  elfz1b  11748  elfzo0  11831  fzo1fzo0n0  11832  elfzo0z  11833  elfzo1  11839  ubmelm1fzo  11876  quoremz  11950  intfracq  11954  fznnfl  11957  zmodcl  11983  zmodfz  11985  zmodfzo  11986  modidmul0  11990  zmodid2  11992  zmodidfzo  11993  expnnval  12137  mulexpz  12174  nnesq  12258  expnlbnd  12264  expnlbnd2  12265  digit2  12267  faclbnd  12336  bc0k  12357  bcval5  12364  fz1isolem  12476  seqcoll  12478  cshwidxmod  12737  cshwidxn  12742  absexpz  13101  climuni  13338  isercoll  13453  climcnds  13626  arisum  13634  trireciplem  13636  expcnv  13638  geo2sum  13645  geo2lim  13647  0.999...  13653  geoihalfsum  13654  rpnnen2lem6  13814  rpnnen2lem9  13817  rpnnen2lem10  13818  dvdsval3  13851  nndivdvds  13853  dvdsle  13890  dvdseq  13892  fzm1ndvds  13897  dvdsfac  13900  oexpneg  13908  divalg2  13922  divalgmod  13923  ndvdsadd  13925  modgcd  14033  gcddiv  14046  gcdmultiple  14047  gcdmultiplez  14048  gcdeq  14049  rpmulgcd  14052  rplpwr  14053  rppwr  14054  sqgcd  14055  dvdssqlem  14056  dvdssq  14057  eucalginv  14072  1idssfct  14082  isprm3  14085  prmind2  14087  qredeq  14106  qredeu  14107  isprm6  14109  divgcdodd  14119  divnumden  14140  divdenle  14141  nn0gcdsq  14144  phicl2  14157  phiprmpw  14165  eulerthlem2  14171  pythagtriplem3  14201  pythagtriplem4  14202  pythagtriplem6  14204  pythagtriplem7  14205  pythagtriplem8  14206  pythagtriplem9  14207  pythagtriplem11  14208  pythagtriplem13  14210  pythagtriplem15  14212  pythagtriplem19  14216  pythagtrip  14217  iserodd  14218  pclem  14221  pccl  14232  pcdiv  14235  pcqcl  14239  pcdvds  14246  pcndvds  14248  pcndvds2  14250  pcelnn  14252  pcz  14263  pcmpt  14270  fldivp1  14275  pcfac  14277  infpnlem1  14287  prmunb  14291  prmreclem1  14293  1arith  14304  ram0  14399  cshwshashlem2  14439  mulgnn  15958  ghmmulg  16084  dfod2  16392  gexdvds  16410  gexnnod  16414  gexex  16662  mulgass2  17048  qsssubdrg  18273  prmirredlem  18318  prmirredlemOLD  18321  znidomb  18395  znrrg  18399  chfacfisf  19150  chfacfisfcpmat  19151  chfacfscmul0  19154  chfacfpmmul0  19158  cayhamlem1  19162  cpmadugsumlemF  19172  lmmo  19675  1stckgenlem  19817  imasdsf1olem  20639  clmmulg  21356  cmetcaulem  21490  ovolunlem1a  21670  ovolicc2lem4  21694  mbfi1fseqlem6  21890  dvexp3  22142  dgreq0  22424  elqaalem2  22478  aaliou3lem1  22500  aaliou3lem2  22501  aaliou3lem3  22502  aaliou3lem9  22508  pserdvlem2  22585  logtayl2  22799  root1eq1  22885  root1cj  22886  atantayl2  23025  birthdaylem2  23038  birthdaylem3  23039  emcllem5  23085  basellem2  23111  basellem3  23112  basellem5  23114  sgmss  23136  issqf  23166  sgmnncl  23177  prmorcht  23208  mumullem1  23209  mumullem2  23210  sqff1o  23212  dvdsdivcl  23213  dvdsflsumcom  23220  muinv  23225  vmalelog  23236  chtublem  23242  vmasum  23247  logfac2  23248  logfaclbnd  23253  bclbnd  23311  bposlem5  23319  lgsval4a  23349  lgssq  23366  lgssq2  23367  lgsdchr  23379  lgsquadlem1  23385  lgsquadlem2  23386  lgsquad3  23392  rplogsumlem1  23425  rplogsumlem2  23426  dchrisumlem2  23431  dchrmusumlema  23434  dchrmusum2  23435  dchrvmasumiflem1  23442  dchrvmaeq0  23445  dchrisum0flblem2  23450  dchrisum0re  23454  dchrisum0lema  23455  dchrisum0lem1b  23456  dchrisum0lem2a  23458  logdivbnd  23497  pntrsumbnd2  23508  ostth2lem1  23559  ostth2lem3  23576  ostth3  23579  axlowdimlem13  23961  clwwlkel  24497  clwwlkf  24498  clwwlkvbij  24505  wwlksubclwwlk  24508  clwwisshclwwlem  24510  clwwisshclww  24511  numclwlk2lem2f  24808  gxpval  24965  gxcom  24975  gxinv  24976  gxid  24979  gxmodid  24985  gxdi  25002  bcm1n  27296  pnfinf  27417  isarchiofld  27498  rearchi  27523  esumcvg  27760  oddpwdc  27961  fibp1  28008  erdszelem7  28309  climuzcnv  28540  elfzm12  28544  mblfinlem2  29657  nn0prpwlem  29745  fzmul  29864  incsequz  29872  geomcau  29883  heibor1lem  29936  bfplem2  29950  fzsplit1nn0  30319  irrapxlem1  30390  pellexlem5  30401  rmynn  30526  jm2.24nn  30529  jm2.17c  30532  congrep  30543  congabseq  30544  acongrep  30550  acongeq  30553  jm2.18  30562  jm2.23  30570  jm2.20nn  30571  jm2.26lem3  30575  jm2.26  30576  jm2.15nn0  30577  jm2.16nn0  30578  jm2.27dlem2  30584  rmydioph  30588  jm3.1  30594  expdiophlem1  30595  expdioph  30597  idomodle  30786  hashgcdlem  30790  hashgcdeq  30791  phisum  30792  proot1ex  30794  lcmgcdlem  30840  lcmass  30846  nznngen  30849  sumnnodd  31200  stoweidlem7  31335  stoweidlem17  31345  wallispilem4  31396  stirlinglem2  31403  stirlinglem3  31404  stirlinglem4  31405  stirlinglem12  31413  stirlinglem13  31414  stirlinglem14  31415  stirlinglem15  31416  stirlingr  31418  dirkertrigeqlem1  31426  fourierdlem20  31455  fouriersw  31560  subsubelfzo0  31833  2ffzoeq  31836  altgsumbc  32037  altgsumbcALT  32038
  Copyright terms: Public domain W3C validator