MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnz Structured version   Unicode version

Theorem nnz 10689
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnz  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )

Proof of Theorem nnz
StepHypRef Expression
1 nnssz 10687 . 2  |-  NN  C_  ZZ
21sseli 3373 1  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   NNcn 10343   ZZcz 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-z 10668
This theorem is referenced by:  elnnz1  10693  znegcl  10701  nnleltp1  10720  nnltp1le  10721  nnlem1lt  10729  nnltlem1  10730  nnm1ge0  10731  prime  10743  nneo  10746  zeo  10748  uzindOLD  10757  btwnz  10765  eluz2b2  10948  qaddcl  10990  qreccl  10994  elfz1end  11500  fznatpl1  11531  fznn  11547  elfz1b  11548  elfzo0  11608  fzo1fzo0n0  11609  elfzo0z  11610  elfzo1  11616  ubmelm1fzo  11644  quoremz  11715  intfracq  11719  fznnfl  11722  zmodcl  11748  zmodfz  11750  zmodfzo  11751  modidmul0  11755  zmodid2  11757  zmodidfzo  11758  expnnval  11889  mulexpz  11925  nnesq  12009  expnlbnd  12015  expnlbnd2  12016  digit2  12018  faclbnd  12087  bc0k  12108  bcval5  12115  fz1isolem  12235  seqcoll  12237  cshwidxmod  12461  cshwidxn  12466  absexpz  12815  climuni  13051  isercoll  13166  climcnds  13335  arisum  13343  trireciplem  13345  expcnv  13347  geo2sum  13354  geo2lim  13356  0.999...  13362  geoihalfsum  13363  rpnnen2lem6  13523  rpnnen2lem9  13526  rpnnen2lem10  13527  dvdsval3  13560  nndivdvds  13562  dvdsle  13599  dvdseq  13601  fzm1ndvds  13606  dvdsfac  13609  oexpneg  13616  divalg2  13630  divalgmod  13631  ndvdsadd  13633  modgcd  13741  gcddiv  13754  gcdmultiple  13755  gcdmultiplez  13756  gcdeq  13757  rpmulgcd  13760  rplpwr  13761  rppwr  13762  sqgcd  13763  dvdssqlem  13764  dvdssq  13765  eucalginv  13780  1idssfct  13790  isprm3  13793  prmind2  13795  qredeq  13813  qredeu  13814  isprm6  13816  divgcdodd  13826  divnumden  13847  divdenle  13848  nn0gcdsq  13851  phicl2  13864  phiprmpw  13872  eulerthlem2  13878  pythagtriplem3  13906  pythagtriplem4  13907  pythagtriplem6  13909  pythagtriplem7  13910  pythagtriplem8  13911  pythagtriplem9  13912  pythagtriplem11  13913  pythagtriplem13  13915  pythagtriplem15  13917  pythagtriplem19  13921  pythagtrip  13922  iserodd  13923  pclem  13926  pccl  13937  pcdiv  13940  pcqcl  13944  pcdvds  13951  pcndvds  13953  pcndvds2  13955  pcelnn  13957  pcz  13968  pcmpt  13975  fldivp1  13980  pcfac  13982  infpnlem1  13992  prmunb  13996  prmreclem1  13998  1arith  14009  ram0  14104  cshwshashlem2  14144  mulgnn  15654  ghmmulg  15780  dfod2  16086  gexdvds  16104  gexnnod  16108  gexex  16356  mulgass2  16714  qsssubdrg  17894  prmirredlem  17939  prmirredlemOLD  17942  znidomb  18016  znrrg  18020  lmmo  19006  1stckgenlem  19148  imasdsf1olem  19970  clmmulg  20687  cmetcaulem  20821  ovolunlem1a  21001  ovolicc2lem4  21025  mbfi1fseqlem6  21220  dvexp3  21472  dgreq0  21754  elqaalem2  21808  aaliou3lem1  21830  aaliou3lem2  21831  aaliou3lem3  21832  aaliou3lem9  21838  pserdvlem2  21915  logtayl2  22129  root1eq1  22215  root1cj  22216  atantayl2  22355  birthdaylem2  22368  birthdaylem3  22369  emcllem5  22415  basellem2  22441  basellem3  22442  basellem5  22444  sgmss  22466  issqf  22496  sgmnncl  22507  prmorcht  22538  mumullem1  22539  mumullem2  22540  sqff1o  22542  dvdsdivcl  22543  dvdsflsumcom  22550  muinv  22555  vmalelog  22566  chtublem  22572  vmasum  22577  logfac2  22578  logfaclbnd  22583  bclbnd  22641  bposlem5  22649  lgsval4a  22679  lgssq  22696  lgssq2  22697  lgsdchr  22709  lgsquadlem1  22715  lgsquadlem2  22716  lgsquad3  22722  rplogsumlem1  22755  rplogsumlem2  22756  dchrisumlem2  22761  dchrmusumlema  22764  dchrmusum2  22765  dchrvmasumiflem1  22772  dchrvmaeq0  22775  dchrisum0flblem2  22780  dchrisum0re  22784  dchrisum0lema  22785  dchrisum0lem1b  22786  dchrisum0lem2a  22788  logdivbnd  22827  pntrsumbnd2  22838  ostth2lem1  22889  ostth2lem3  22906  ostth3  22909  axlowdimlem13  23222  gxpval  23768  gxcom  23778  gxinv  23779  gxid  23782  gxmodid  23788  gxdi  23805  bcm1n  26101  pnfinf  26222  isarchiofld  26307  rearchi  26332  esumcvg  26557  oddpwdc  26759  fibp1  26806  erdszelem7  27107  climuzcnv  27338  elfzm12  27342  mblfinlem2  28455  nn0prpwlem  28543  fzmul  28662  incsequz  28670  geomcau  28681  heibor1lem  28734  bfplem2  28748  fzsplit1nn0  29118  irrapxlem1  29189  pellexlem5  29200  rmynn  29325  jm2.24nn  29328  jm2.17c  29331  congrep  29342  congabseq  29343  acongrep  29349  acongeq  29352  jm2.18  29363  jm2.23  29371  jm2.20nn  29372  jm2.26lem3  29376  jm2.26  29377  jm2.15nn0  29378  jm2.16nn0  29379  jm2.27dlem2  29385  rmydioph  29389  jm3.1  29395  expdiophlem1  29396  expdioph  29398  idomodle  29587  hashgcdlem  29591  hashgcdeq  29592  phisum  29593  proot1ex  29595  stoweidlem7  29828  stoweidlem17  29838  wallispilem4  29889  stirlinglem2  29896  stirlinglem3  29897  stirlinglem4  29898  stirlinglem12  29906  stirlinglem13  29907  stirlinglem14  29908  stirlinglem15  29909  stirlingr  29911  subsubelfzo0  30236  2ffzoeq  30240  clwwlkel  30481  clwwlkf  30482  clwwlkvbij  30489  wwlksubclwwlk  30492  clwwisshclwwlem  30496  clwwisshclww  30497  numclwlk2lem2f  30722  altgsumbc  30778  altgsumbcALT  30779
  Copyright terms: Public domain W3C validator