Theorem nnwos 7629

Description: Well-ordering principle: any non-empty set of natural numbers has a least element (schema form).

Hypothesis

Ref	Expression
nnwos.1	|- (x = y -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
nnwos	|- (E.x e. NN ph -> E.x e. NN (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)))

Distinct variable groups:   x,y   ph,y   ps,x

Proof of Theorem nnwos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbrab1 2257	. . 3 |- (z e. {x e. NN | ph} -> A.x z e. {x e. NN | ph})
2		ax-17 1317	. . 3 |- (z e. {x e. NN | ph} -> A.y z e. {x e. NN | ph})
3	1, 2	nnwof 7628	. 2 |- (({x e. NN | ph} C_ NN /\ {x e. NN | ph} =/= (/)) -> E.x e. {x e. NN | ph}A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y)
4		ssrab2 2692	. . . 4 |- {x e. NN | ph} C_ NN
5	4	biantrur 794	. . 3 |- ({x e. NN | ph} =/= (/) <-> ({x e. NN | ph} C_ NN /\ {x e. NN | ph} =/= (/)))
6		rabn0 2893	. . 3 |- ({x e. NN | ph} =/= (/) <-> E.x e. NN ph)
7	5, 6	bitr3i 192	. 2 |- (({x e. NN | ph} C_ NN /\ {x e. NN | ph} =/= (/)) <-> E.x e. NN ph)
8		df-rex 2110	. . 3 |- (E.x e. {x e. NN | ph}A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y <-> E.x(x e. {x e. NN | ph} /\ A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y))
9		rabid 2253	. . . . 5 |- (x e. {x e. NN | ph} <-> (x e. NN /\ ph))
10		df-ral 2109	. . . . . 6 |- (A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y <-> A.y(y e. {x e. NN | ph} -> x <_ y))
11		nnwos.1	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (ph <-> ps))
12	11	elrab 2414	. . . . . . . . 9 |- (y e. {x e. NN | ph} <-> (y e. NN /\ ps))
13	12	imbi1i 203	. . . . . . . 8 |- ((y e. {x e. NN | ph} -> x <_ y) <-> ((y e. NN /\ ps) -> x <_ y))
14		impexp 374	. . . . . . . 8 |- (((y e. NN /\ ps) -> x <_ y) <-> (y e. NN -> (ps -> x <_ y)))
15	13, 14	bitri 190	. . . . . . 7 |- ((y e. {x e. NN | ph} -> x <_ y) <-> (y e. NN -> (ps -> x <_ y)))
16	15	albii 1346	. . . . . 6 |- (A.y(y e. {x e. NN | ph} -> x <_ y) <-> A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y)))
17	10, 16	bitri 190	. . . . 5 |- (A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y <-> A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y)))
18	9, 17	anbi12i 540	. . . 4 |- ((x e. {x e. NN | ph} /\ A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y) <-> ((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))))
19	18	exbii 1398	. . 3 |- (E.x(x e. {x e. NN | ph} /\ A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y) <-> E.x((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))))
20		df-ral 2109	. . . . . . 7 |- (A.y e. NN (ps -> x <_ y) <-> A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y)))
21	20	anbi2i 538	. . . . . 6 |- (((x e. NN /\ ph) /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)) <-> ((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))))
22		anass 487	. . . . . 6 |- (((x e. NN /\ ph) /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)) <-> (x e. NN /\ (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y))))
23	21, 22	bitr3i 192	. . . . 5 |- (((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))) <-> (x e. NN /\ (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y))))
24	23	exbii 1398	. . . 4 |- (E.x((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))) <-> E.x(x e. NN /\ (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y))))
25		df-rex 2110	. . . 4 |- (E.x e. NN (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)) <-> E.x(x e. NN /\ (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y))))
26	24, 25	bitr4i 193	. . 3 |- (E.x((x e. NN /\ ph) /\ A.y(y e. NN -> (ps -> x <_ y))) <-> E.x e. NN (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)))
27	8, 19, 26	3bitri 194	. 2 |- (E.x e. {x e. NN | ph}A.y e. {x e. NN | ph}x <_ y <-> E.x e. NN (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)))
28	3, 7, 27	3imtr3i 235	1 |- (E.x e. NN ph -> E.x e. NN (ph /\ A.y e. NN (ps -> x <_ y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   <_ cle 6448  NNcn 6449

This theorem is referenced by:  indstr 7630  infpnlem2 8776

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587

Copyright terms: Public domain