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Theorem nnwos 11110
Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypothesis
Ref Expression
nnwos.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
nnwos  |-  ( E. x  e.  NN  ph  ->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem nnwos
StepHypRef Expression
1 nfrab1 2985 . . 3  |-  F/_ x { x  e.  NN  |  ph }
2 nfcv 2562 . . 3  |-  F/_ y { x  e.  NN  |  ph }
31, 2nnwof 11109 . 2  |-  ( ( { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\ 
{ x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y )
4 ssrab2 3521 . . . 4  |-  { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN
54biantrur 504 . . 3  |-  ( { x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/)  <->  ( {
x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\  {
x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) ) )
6 rabn0 3756 . . 3  |-  ( { x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  NN  ph )
75, 6bitr3i 251 . 2  |-  ( ( { x  e.  NN  |  ph }  C_  NN  /\ 
{ x  e.  NN  |  ph }  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  NN  ph )
8 df-rex 2757 . . 3  |-  ( E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  E. x
( x  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph } x  <_ 
y ) )
9 rabid 2981 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( x  e.  NN  /\  ph ) )
10 df-ral 2756 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  A. y
( y  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y ) )
11 nnwos.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1211elrab 3204 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( y  e.  NN  /\  ps ) )
1312imbi1i 323 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  ( ( y  e.  NN  /\ 
ps )  ->  x  <_  y ) )
14 impexp 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  NN  /\ 
ps )  ->  x  <_  y )  <->  ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y )
) )
1513, 14bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
1615albii 1659 . . . . . 6  |-  ( A. y ( y  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }  ->  x  <_  y )  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
1710, 16bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
189, 17anbi12i 695 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  {
x  e.  NN  |  ph } x  <_  y
)  <->  ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
1918exbii 1686 . . 3  |-  ( E. x ( x  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y )  <->  E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
20 df-ral 2756 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
)  <->  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
2120anbi2i 692 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) )  <->  ( (
x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y
( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) ) )
22 anass 647 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2321, 22bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  NN  /\ 
ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y )
) )  <->  ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2423exbii 1686 . . . 4  |-  ( E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )  <->  E. x
( x  e.  NN  /\  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) ) )
25 df-rex 2757 . . . 4  |-  ( E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) )  <->  E. x ( x  e.  NN  /\  ( ph  /\ 
A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_ 
y ) ) ) )
2624, 25bitr4i 252 . . 3  |-  ( E. x ( ( x  e.  NN  /\  ph )  /\  A. y ( y  e.  NN  ->  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )  <->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
278, 19, 263bitri 271 . 2  |-  ( E. x  e.  { x  e.  NN  |  ph } A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }
x  <_  y  <->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y
) ) )
283, 7, 273imtr3i 265 1  |-  ( E. x  e.  NN  ph  ->  E. x  e.  NN  ( ph  /\  A. y  e.  NN  ( ps  ->  x  <_  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1401   E.wex 1631    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752   {crab 2755    C_ wss 3411   (/)c0 3735   class class class wbr 4392    <_ cle 9577   NNcn 10494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044
This theorem is referenced by:  indstr  11111  infpnlem2  14528
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