MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnwof Structured version   Unicode version

Theorem nnwof 11067
Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element. This version allows  x and  y to be present in  A as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnwof.1  |-  F/_ x A
nnwof.2  |-  F/_ y A
Assertion
Ref Expression
nnwof  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem nnwof
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnwo 11066 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. w  e.  A  A. v  e.  A  w  <_  v )
2 nfcv 2544 . . 3  |-  F/_ w A
3 nnwof.1 . . 3  |-  F/_ x A
4 nfv 1715 . . . 4  |-  F/ x  w  <_  v
53, 4nfral 2768 . . 3  |-  F/ x A. v  e.  A  w  <_  v
6 nfv 1715 . . 3  |-  F/ w A. y  e.  A  x  <_  y
7 breq1 4370 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
w  <_  v  <->  x  <_  v ) )
87ralbidv 2821 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  ( A. v  e.  A  w  <_  v  <->  A. v  e.  A  x  <_  v ) )
9 nfcv 2544 . . . . 5  |-  F/_ v A
10 nnwof.2 . . . . 5  |-  F/_ y A
11 nfv 1715 . . . . 5  |-  F/ y  x  <_  v
12 nfv 1715 . . . . 5  |-  F/ v  x  <_  y
13 breq2 4371 . . . . 5  |-  ( v  =  y  ->  (
x  <_  v  <->  x  <_  y ) )
149, 10, 11, 12, 13cbvralf 3003 . . . 4  |-  ( A. v  e.  A  x  <_  v  <->  A. y  e.  A  x  <_  y )
158, 14syl6bb 261 . . 3  |-  ( w  =  x  ->  ( A. v  e.  A  w  <_  v  <->  A. y  e.  A  x  <_  y ) )
162, 3, 5, 6, 15cbvrexf 3004 . 2  |-  ( E. w  e.  A  A. v  e.  A  w  <_  v  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
171, 16sylib 196 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  x  <_  y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367   F/_wnfc 2530    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733    C_ wss 3389   (/)c0 3711   class class class wbr 4367    <_ cle 9540   NNcn 10452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002
This theorem is referenced by:  nnwos  11068
  Copyright terms: Public domain W3C validator