MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnuz Structured version   Unicode version

Theorem nnuz 11194
Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnuz  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )

Proof of Theorem nnuz
StepHypRef Expression
1 nnzrab 10965 . 2  |-  NN  =  { k  e.  ZZ  |  1  <_  k }
2 1z 10967 . . 3  |-  1  e.  ZZ
3 uzval 11161 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  1 )  =  { k  e.  ZZ  |  1  <_  k } )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  {
k  e.  ZZ  | 
1  <_  k }
51, 4eqtr4i 2461 1  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1870   {crab 2786   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   1c1 9539    <_ cle 9675   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-z 10938  df-uz 11160
This theorem is referenced by:  elnnuz  11195  eluz2nn  11197  uznnssnn  11206  nnwo  11224  eluznn  11229  nninf  11240  nninfmOLD  11242  fzssnn  11840  fseq1p1m1  11866  prednn  11910  elfzo1  11962  ltwenn  12173  ser1const  12266  expp1  12276  digit1  12403  facnn  12458  fac0  12459  facp1  12461  faclbnd4lem1  12475  bcm1k  12497  bcval5  12500  bcpasc  12503  fz1isolem  12619  seqcoll  12621  seqcoll2  12622  climuni  13594  isercolllem2  13707  isercoll  13709  sumeq2ii  13737  summolem3  13758  summolem2a  13759  fsum  13764  sum0  13765  sumz  13766  fsumcl2lem  13775  fsumadd  13783  fsummulc2  13823  fsumrelem  13845  isumnn0nn  13878  climcndslem1  13885  climcndslem2  13886  climcnds  13887  divcnv  13889  divcnvshft  13891  supcvg  13892  trireciplem  13898  trirecip  13899  expcnv  13900  geo2lim  13909  geoisum1  13913  geoisum1c  13914  mertenslem2  13919  prodeq2ii  13945  prodmolem3  13965  prodmolem2a  13966  fprod  13973  prod0  13975  prod1  13976  fprodss  13980  fprodser  13981  fprodcl2lem  13982  fprodmul  13992  fproddiv  13993  fprodn0  14011  fallfacval4  14074  bpoly4  14090  ege2le3  14122  rpnnen2lem3  14247  rpnnen2lem5  14249  rpnnen2lem8  14252  rpnnen2  14256  ruclem6  14265  bezoutlem2  14478  bezoutlem3  14479  lcmcllem  14526  lcmledvds  14529  lcmscllemOLD  14547  lcmsledvdsOLD  14550  lcmfval  14556  lcmfcllem  14560  lcmfledvds  14567  isprm3  14595  phicl2  14676  phibndlem  14678  eulerthlem2  14690  odzcllem  14697  odzdvds  14700  iserodd  14739  pcmptcl  14790  pcmpt  14791  pockthlem  14803  pockthg  14804  unbenlem  14806  prmreclem3  14816  prmreclem5  14818  prmreclem6  14819  prmrec  14820  1arith  14825  4sqlem13OLD  14855  4sqlem14OLD  14856  4sqlem17OLD  14859  4sqlem18OLD  14860  4sqlem13  14861  4sqlem14  14862  4sqlem17  14865  4sqlem18  14866  vdwlem1  14885  vdwlem2  14886  vdwlem3  14887  vdwlem6  14890  vdwlem8  14892  vdwlem10  14894  vdw  14898  vdwnnlem1  14899  vdwnnlem3  14901  prmlem1a  15032  mulgnnp1  16708  mulgnnsubcl  16712  mulgnn0z  16720  mulgnndir  16722  mulgpropd  16733  odlem1  17117  odlem2  17121  gexlem1  17157  gexlem2  17160  gexcl3  17165  sylow1lem1  17176  efgsdmi  17308  efgsrel  17310  efgs1b  17312  efgsp1  17313  mulgnn0di  17392  lt6abl  17455  gsumval3eu  17464  gsumval3  17467  gsumzcl2  17470  gsumzaddlem  17480  gsumconst  17493  gsumzmhm  17496  gsumzoppg  17503  zringlpirlem2  18979  zringlpirlem3  18980  lmcnp  20242  lmmo  20318  1stcelcls  20398  1stccnp  20399  1stckgenlem  20490  1stckgen  20491  imasdsf1olem  21310  lmnn  22117  cmetcaulem  22142  iscmet2  22148  causs  22152  caubl  22161  iscmet3i  22165  bcthlem5  22180  ovolsf  22295  ovollb2lem  22310  ovolctb  22312  ovolunlem1a  22318  ovolunlem1  22319  ovoliunlem1  22324  ovoliun  22327  ovoliun2  22328  ovoliunnul  22329  ovolscalem1  22335  ovolicc1  22338  ovolicc2lem2  22340  ovolicc2lem3  22341  ovolicc2lem4  22342  iundisj  22369  iundisj2  22370  voliunlem1  22371  voliunlem2  22372  voliunlem3  22373  volsup  22377  ioombl1lem4  22382  uniioovol  22404  uniioombllem2  22408  uniioombllem2OLD  22409  uniioombllem3  22411  uniioombllem4  22412  uniioombllem6  22414  vitalilem4  22437  vitalilem5  22438  itg1climres  22540  mbfi1fseqlem6  22546  mbfi1flimlem  22548  mbfmullem2  22550  itg2monolem1  22576  itg2i1fseqle  22580  itg2i1fseq  22581  itg2i1fseq2  22582  itg2addlem  22584  plyeq0lem  23023  vieta1lem2  23123  elqaalem1  23131  elqaalem3  23133  aaliou3lem4  23158  aaliou3lem7  23161  dvtaylp  23181  taylthlem2  23185  pserdvlem2  23239  pserdv2  23241  abelthlem6  23247  abelthlem9  23251  logtayl  23461  logtaylsum  23462  logtayl2  23463  atantayl  23719  leibpilem2  23723  leibpi  23724  birthdaylem2  23734  dfef2  23752  divsqrtsumlem  23761  emcllem2  23778  emcllem4  23780  emcllem5  23781  emcllem6  23782  emcllem7  23783  harmonicbnd4  23792  fsumharmonic  23793  zetacvg  23796  lgamgulmlem4  23813  lgamgulmlem6  23815  lgamgulm2  23817  lgamcvglem  23821  lgamcvg2  23836  gamcvg  23837  gamcvg2lem  23840  regamcl  23842  relgamcl  23843  lgam1  23845  wilthlem3  23851  ftalem2  23854  ftalem4  23856  ftalem5  23857  basellem5  23865  basellem6  23866  basellem7  23867  basellem8  23868  basellem9  23869  ppiprm  23932  ppinprm  23933  chtprm  23934  chtnprm  23935  chpp1  23936  vma1  23947  ppiltx  23958  fsumvma2  23996  chpchtsum  24001  logfacbnd3  24005  logexprlim  24007  bposlem5  24070  lgscllem  24085  lgsval2lem  24088  lgsval4a  24100  lgsneg  24101  lgsdir  24112  lgsdilem2  24113  lgsdi  24114  lgsne0  24115  lgsquadlem2  24137  chebbnd1lem1  24161  chtppilimlem1  24165  rplogsumlem1  24176  rplogsumlem2  24177  rpvmasumlem  24179  dchrisumlema  24180  dchrisumlem2  24182  dchrisumlem3  24183  dchrmusum2  24186  dchrvmasum2lem  24188  dchrvmasumiflem1  24193  dchrvmaeq0  24196  dchrisum0flblem2  24201  dchrisum0flb  24202  dchrisum0re  24205  dchrisum0lem1b  24207  dchrisum0lem1  24208  dchrisum0lem2a  24209  dchrisum0lem2  24210  dchrisum0lem3  24211  mudivsum  24222  mulogsum  24224  logdivsum  24225  mulog2sumlem2  24227  log2sumbnd  24236  selberg2lem  24242  logdivbnd  24248  pntrsumo1  24257  pntrsumbnd2  24259  pntrlog2bndlem2  24270  pntrlog2bndlem4  24272  pntrlog2bndlem6a  24274  pntlemf  24297  eedimeq  24765  axlowdimlem6  24814  axlowdimlem16  24824  axlowdimlem17  24825  eupath2lem3  25543  gxnn0suc  25828  nvlmle  26164  ipval2  26179  minvecolem3  26354  minvecolem4b  26356  minvecolem4  26358  h2hcau  26458  h2hlm  26459  hlimadd  26672  hlim0  26714  hhsscms  26756  occllem  26782  nlelchi  27540  opsqrlem4  27622  hmopidmchi  27630  iundisjf  28029  iundisj2f  28030  ssnnssfz  28194  iundisjfi  28199  iundisj2fi  28200  1smat1  28460  submat1n  28461  submatres  28462  submateqlem2  28464  lmatfval  28470  madjusmdetlem1  28483  madjusmdetlem2  28484  madjusmdetlem3  28485  madjusmdetlem4  28486  lmlim  28583  rge0scvg  28585  lmxrge0  28588  lmdvg  28589  esumfzf  28720  esumfsup  28721  esumpcvgval  28729  esumpmono  28730  esumcvg  28737  esumcvgsum  28739  esumsup  28740  fiunelros  28826  eulerpartlemsv2  29008  eulerpartlems  29010  eulerpartlemsv3  29011  eulerpartlemv  29014  eulerpartlemb  29018  fiblem  29048  fibp1  29051  rrvsum  29104  dstfrvclim1  29127  ballotlemsup  29154  ballotlem1ri  29184  signsvfn  29250  subfacp1lem1  29681  subfacp1lem5  29686  subfacp1lem6  29687  erdszelem7  29699  cvmliftlem5  29791  cvmliftlem7  29793  cvmliftlem10  29796  cvmliftlem13  29798  sinccvg  30096  circum  30097  divcnvlin  30145  iprodgam  30156  faclimlem1  30157  faclimlem2  30158  faclim  30160  iprodfac  30161  faclim2  30162  poimirlem3  31637  poimirlem4  31638  poimirlem6  31640  poimirlem7  31641  poimirlem8  31642  poimirlem12  31646  poimirlem15  31649  poimirlem16  31650  poimirlem17  31651  poimirlem18  31652  poimirlem19  31653  poimirlem20  31654  poimirlem22  31656  poimirlem23  31657  poimirlem24  31658  poimirlem25  31659  poimirlem27  31661  poimirlem28  31662  poimirlem29  31663  poimirlem30  31664  poimirlem31  31665  mblfinlem2  31672  ovoliunnfl  31676  voliunnfl  31678  volsupnfl  31679  lmclim2  31781  geomcau  31782  heibor1lem  31835  heibor1  31836  bfplem1  31848  bfplem2  31849  rrncmslem  31858  rrncms  31859  eldioph3b  35306  diophin  35314  diophun  35315  diophren  35355  jm3.1lem2  35569  dgraalem  35700  dgraaub  35703  dftrcl3  35941  trclfvdecomr  35949  hashnzfz2  36297  hashnzfzclim  36298  dvradcnv2  36323  binomcxplemnotnn0  36332  clim1fr1  37241  sumnnodd  37272  stoweidlem7  37426  stoweidlem14  37433  stoweidlem20  37439  stoweidlem34  37454  wallispilem5  37490  wallispi  37491  stirlinglem1  37495  stirlinglem5  37499  stirlinglem7  37501  stirlinglem8  37502  stirlinglem10  37504  stirlinglem11  37505  stirlinglem12  37506  stirlinglem13  37507  stirlinglem14  37508  stirlinglem15  37509  stirlingr  37511  dirkertrigeqlem2  37520  dirkertrigeqlem3  37521  fourierdlem11  37539  fourierdlem31  37559  fourierdlem48  37576  fourierdlem49  37577  fourierdlem69  37597  fourierdlem73  37601  fourierdlem81  37609  fourierdlem93  37621  fourierdlem103  37631  fourierdlem104  37632  fourierdlem112  37640  fouriersw  37653  caragenunicl  37844  caratheodorylem2  37847
  Copyright terms: Public domain W3C validator