MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunifi Structured version   Unicode version

Theorem nnunifi 7568
Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnunifi  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )

Proof of Theorem nnunifi
StepHypRef Expression
1 unieq 4104 . . . 4  |-  ( S  =  (/)  ->  U. S  =  U. (/) )
2 uni0 4123 . . . . 5  |-  U. (/)  =  (/)
3 peano1 6500 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
42, 3eqeltri 2513 . . . 4  |-  U. (/)  e.  om
51, 4syl6eqel 2531 . . 3  |-  ( S  =  (/)  ->  U. S  e.  om )
65adantl 466 . 2  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =  (/) )  ->  U. S  e.  om )
7 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  C_  om )
8 omsson 6485 . . . . 5  |-  om  C_  On
97, 8syl6ss 3373 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  C_  On )
10 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  e.  Fin )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  S  =/=  (/) )
12 ordunifi 7567 . . . 4  |-  ( ( S  C_  On  /\  S  e.  Fin  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S )
139, 10, 11, 12syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  S
)
147, 13sseldd 3362 . 2  |-  ( ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  /\  S  =/=  (/) )  ->  U. S  e.  om )
156, 14pm2.61dane 2694 1  |-  ( ( S  C_  om  /\  S  e.  Fin )  ->  U. S  e.  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611    C_ wss 3333   (/)c0 3642   U.cuni 4096   Oncon0 4724   omcom 6481   Fincfn 7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-1o 6925  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  8409  isf32lem5  8531
  Copyright terms: Public domain W3C validator