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Theorem nnunb 10787
Description: The set of positive integers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnunb  |-  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nnunb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 880 . . . 4  |-  -.  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y )
2 peano2rem 9882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
3 ltm1 10378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  <  x )
4 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  -  1 )  e. 
_V
5 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  e.  RR  <->  ( x  -  1 )  e.  RR ) )
6 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  <  x  <->  ( x  -  1 )  < 
x ) )
7 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  ( x  -  1 )  < 
z ) )
87rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  ( E. z  e.  NN  y  <  z  <->  E. z  e.  NN  ( x  - 
1 )  <  z
) )
96, 8imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  <->  ( (
x  -  1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  - 
1 )  <  z
) ) )
105, 9imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) )  <-> 
( ( x  - 
1 )  e.  RR  ->  ( ( x  - 
1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  -  1
)  <  z )
) ) )
114, 10spcv 3204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR  ->  ( ( x  -  1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  -  1
)  <  z )
) )
123, 11syl7 68 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) ) )
132, 12syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) ) )
1413pm2.43d 48 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) )
15 df-rex 2820 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z  <->  E. z
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z ) )
1614, 15syl6ib 226 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z ) ) )
1716com12 31 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  E. z
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z ) ) )
18 nnre 10539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
19 1re 9591 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
20 ltsubadd 10018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  -  1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2119, 20mp3an2 1312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2218, 21sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2322pm5.32da 641 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z )  <-> 
( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
2423exbidv 1690 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z )  <->  E. z
( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
25 peano2nn 10544 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  +  1 )  e.  NN )
26 ovex 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  +  1 )  e. 
_V
27 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
y  e.  NN  <->  ( z  +  1 )  e.  NN ) )
28 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
x  <  y  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2927, 28anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
( y  e.  NN  /\  x  <  y )  <-> 
( ( z  +  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
3026, 29spcev 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) )  ->  E. y ( y  e.  NN  /\  x  < 
y ) )
3125, 30sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) )  ->  E. y ( y  e.  NN  /\  x  < 
y ) )
3231exlimiv 1698 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e.  NN  /\  x  < 
( z  +  1 ) )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
3324, 32syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) ) )
3417, 33syld 44 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) ) )
35 df-ral 2819 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  <->  A. y
( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
36 df-ral 2819 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  -.  x  <  y
) )
37 alinexa 1640 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  NN  ->  -.  x  <  y )  <->  -.  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
3836, 37bitr2i 250 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. y ( y  e.  NN  /\  x  <  y )  <->  A. y  e.  NN  -.  x  < 
y )
3938con1bii 331 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  e.  NN  -.  x  <  y  <->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
4034, 35, 393imtr4g 270 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  ->  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y ) )
4140anim2d 565 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A. y  e.  NN  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y ) ) )
421, 41mtoi 178 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
4342nrex 2919 . 2  |-  -.  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) )
44 nnssre 10536 . . 3  |-  NN  C_  RR
45 1nn 10543 . . . . 5  |-  1  e.  NN
46 n0i 3790 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  -.  NN  =  (/) )
4745, 46ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  NN  =  (/)
4847neir 2667 . . 3  |-  NN  =/=  (/)
49 sup2 10495 . . 3  |-  ( ( NN  C_  RR  /\  NN  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
5044, 48, 49mp3an12 1314 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (
y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
5143, 50mto 176 1  |-  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491    < clt 9624    - cmin 9801   NNcn 10532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533
This theorem is referenced by:  arch  10788
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