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Theorem nnunb 10872
Description: The set of positive integers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnunb  |-  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem nnunb
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 890 . . . 4  |-  -.  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y )
2 peano2rem 9948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  e.  RR )
3 ltm1 10452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  1 )  <  x )
4 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  -  1 )  e. 
_V
5 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  e.  RR  <->  ( x  -  1 )  e.  RR ) )
6 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  <  x  <->  ( x  -  1 )  < 
x ) )
7 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  ( x  -  1 )  < 
z ) )
87rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  ( E. z  e.  NN  y  <  z  <->  E. z  e.  NN  ( x  - 
1 )  <  z
) )
96, 8imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  <->  ( (
x  -  1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  - 
1 )  <  z
) ) )
105, 9imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( x  - 
1 )  ->  (
( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) )  <-> 
( ( x  - 
1 )  e.  RR  ->  ( ( x  - 
1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  -  1
)  <  z )
) ) )
114, 10spcv 3172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR  ->  ( ( x  -  1 )  <  x  ->  E. z  e.  NN  ( x  -  1
)  <  z )
) )
123, 11syl7 70 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
( x  -  1 )  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) ) )
132, 12syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) ) )
1413pm2.43d 50 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z ) )
15 df-rex 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  NN  (
x  -  1 )  <  z  <->  E. z
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z ) )
1614, 15syl6ib 229 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  (
x  e.  RR  ->  E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z ) ) )
1716com12 32 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  E. z
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z ) ) )
18 nnre 10623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
19 1re 9649 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
20 ltsubadd 10091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  -  1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2119, 20mp3an2 1348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2218, 21sylan2 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( x  - 
1 )  <  z  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2322pm5.32da 645 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  <  z )  <-> 
( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
2423exbidv 1762 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z )  <->  E. z
( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
25 peano2nn 10628 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  +  1 )  e.  NN )
26 ovex 6333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  +  1 )  e. 
_V
27 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
y  e.  NN  <->  ( z  +  1 )  e.  NN ) )
28 breq2 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
x  <  y  <->  x  <  ( z  +  1 ) ) )
2927, 28anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  +  1 )  ->  (
( y  e.  NN  /\  x  <  y )  <-> 
( ( z  +  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) ) ) )
3026, 29spcev 3173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  +  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) )  ->  E. y ( y  e.  NN  /\  x  < 
y ) )
3125, 30sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  NN  /\  x  <  ( z  +  1 ) )  ->  E. y ( y  e.  NN  /\  x  < 
y ) )
3231exlimiv 1770 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e.  NN  /\  x  < 
( z  +  1 ) )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
3324, 32syl6bi 231 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( E. z ( z  e.  NN  /\  ( x  -  1 )  < 
z )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) ) )
3417, 33syld 45 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y ( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) ) )
35 df-ral 2776 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  <->  A. y
( y  e.  RR  ->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
36 df-ral 2776 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  <->  A. y
( y  e.  NN  ->  -.  x  <  y
) )
37 alinexa 1707 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  NN  ->  -.  x  <  y )  <->  -.  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
3836, 37bitr2i 253 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. y ( y  e.  NN  /\  x  <  y )  <->  A. y  e.  NN  -.  x  < 
y )
3938con1bii 332 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  e.  NN  -.  x  <  y  <->  E. y
( y  e.  NN  /\  x  <  y ) )
4034, 35, 393imtr4g 273 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z )  ->  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y ) )
4140anim2d 567 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A. y  e.  NN  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z
) )  ->  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  -.  A. y  e.  NN  -.  x  <  y ) ) )
421, 41mtoi 181 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
4342nrex 2877 . 2  |-  -.  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) )
44 nnssre 10620 . . 3  |-  NN  C_  RR
45 1nn 10627 . . . . 5  |-  1  e.  NN
46 n0i 3766 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN  ->  -.  NN  =  (/) )
4745, 46ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  NN  =  (/)
4847neir 2619 . . 3  |-  NN  =/=  (/)
49 sup2 10572 . . 3  |-  ( ( NN  C_  RR  /\  NN  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
5044, 48, 49mp3an12 1350 . 2  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  (
y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  NN  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  NN  y  <  z ) ) )
5143, 50mto 179 1  |-  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  \/  y  =  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   1c1 9547    + caddc 9549    < clt 9682    - cmin 9867   NNcn 10616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617
This theorem is referenced by:  arch  10873
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