Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnubfi Structured version   Unicode version

Theorem nnubfi 30409
Description: A bounded above set of positive integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnubfi  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnubfi
StepHypRef Expression
1 fzfi 11985 . 2  |-  ( 0 ... B )  e. 
Fin
2 ssel2 3412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  NN )
3 nnnn0 10719 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  NN0 )
54adantlr 712 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  NN0 )
65adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  e.  NN0 )
7 nnnn0 10719 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
87ad3antlr 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  B  e.  NN0 )
9 nnre 10459 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
102, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1110adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
12 nnre 10459 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1312ad2antlr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
14 ltle 9584 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  <  B  ->  x  <_  B )
)
1511, 13, 14syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  B  ->  x  <_  B ) )
1615imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  <_  B )
17 elfz2nn0 11691 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  <->  ( x  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  x  <_  B ) )
186, 8, 16, 17syl3anbrc 1178 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  e.  ( 0 ... B
) )
1918ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B
) ) )
2019ralrimiva 2796 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B
) ) )
21 rabss 3491 . . 3  |-  ( { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  ( 0 ... B
)  <->  A. x  e.  A  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B ) ) )
2220, 21sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  (
0 ... B ) )
23 ssfi 7656 . 2  |-  ( ( ( 0 ... B
)  e.  Fin  /\  { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  ( 0 ... B
) )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
241, 22, 23sylancr 661 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1826   A.wral 2732   {crab 2736    C_ wss 3389   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   RRcr 9402   0cc0 9403    < clt 9539    <_ cle 9540   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ...cfz 11593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator