Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnubfi Structured version   Unicode version

Theorem nnubfi 28795
Description: A bounded above set of positive integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnubfi  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnubfi
StepHypRef Expression
1 fzfi 11912 . 2  |-  ( 0 ... B )  e. 
Fin
2 ssel2 3460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  NN )
3 nnnn0 10698 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
42, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  NN0 )
54adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  NN0 )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  e.  NN0 )
7 nnnn0 10698 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
87ad3antlr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  B  e.  NN0 )
9 nnre 10441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
102, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  NN  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1110adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  RR )
12 nnre 10441 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1312ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
14 ltle 9575 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  <  B  ->  x  <_  B )
)
1511, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  B  ->  x  <_  B ) )
1615imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  <_  B )
17 elfz2nn0 11598 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  <->  ( x  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  x  <_  B ) )
186, 8, 16, 17syl3anbrc 1172 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  /\  x  <  B )  ->  x  e.  ( 0 ... B
) )
1918ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B
) ) )
2019ralrimiva 2830 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B
) ) )
21 rabss 3538 . . 3  |-  ( { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  ( 0 ... B
)  <->  A. x  e.  A  ( x  <  B  ->  x  e.  ( 0 ... B ) ) )
2220, 21sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  (
0 ... B ) )
23 ssfi 7645 . 2  |-  ( ( ( 0 ... B
)  e.  Fin  /\  { x  e.  A  |  x  <  B }  C_  ( 0 ... B
) )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
241, 22, 23sylancr 663 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  x  <  B }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803    C_ wss 3437   class class class wbr 4401  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   RRcr 9393   0cc0 9394    < clt 9530    <_ cle 9531   NNcn 10434   NN0cn0 10691   ...cfz 11555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator