Theorem nnubfi 15818

Description: A bounded above set of natural numbers is finite.

Assertion

Ref	Expression
nnubfi	|- ((A C_ NN /\ B e. NN) -> {x e. A | x < B} e. Fin)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem nnubfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 7315	. . . . 5 |- (B e. NN -> B e. NN0)
2		elnn0uz 7610	. . . . 5 |- (B e. NN0 <-> B e. (ZZ>=` 0))
3	1, 2	sylib 215	. . . 4 |- (B e. NN -> B e. (ZZ>=` 0))
4	3	adantl 424	. . 3 |- ((A C_ NN /\ B e. NN) -> B e. (ZZ>=` 0))
5		fzfi 15786	. . 3 |- (B e. (ZZ>=` 0) -> (0...B) e. Fin)
6	4, 5	syl 12	. 2 |- ((A C_ NN /\ B e. NN) -> (0...B) e. Fin)
7		ssel2 2616	. . . . . . . . . 10 |- ((A C_ NN /\ x e. A) -> x e. NN)
8		nnnn0 7315	. . . . . . . . . 10 |- (x e. NN -> x e. NN0)
9	7, 8	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ NN /\ x e. A) -> x e. NN0)
10	9	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- (((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) -> x e. NN0)
11	10	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) /\ x < B) -> x e. NN0)
12	1	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((A C_ NN /\ B e. NN) -> B e. NN0)
13	12	ad2antrr 440	. . . . . . 7 |- ((((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) /\ x < B) -> B e. NN0)
14		nnre 7112	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. NN -> x e. RR)
15	7, 14	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((A C_ NN /\ x e. A) -> x e. RR)
16	15	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- (((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) -> x e. RR)
17		nnre 7112	. . . . . . . . . 10 |- (B e. NN -> B e. RR)
18	17	ad2antlr 441	. . . . . . . . 9 |- (((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) -> B e. RR)
19		ltle 6690	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ B e. RR) -> (x < B -> x <_ B))
20	16, 18, 19	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) -> (x < B -> x <_ B))
21	20	imp 377	. . . . . . 7 |- ((((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) /\ x < B) -> x <_ B)
22	11, 13, 21	3jca 1050	. . . . . 6 |- ((((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) /\ x < B) -> (x e. NN0 /\ B e. NN0 /\ x <_ B))
23		elfz2nn0 7667	. . . . . . . 8 |- (B e. NN -> (x e. (0...B) <-> (x e. NN0 /\ B e. NN0 /\ x <_ B)))
24	23	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A C_ NN /\ B e. NN) -> (x e. (0...B) <-> (x e. NN0 /\ B e. NN0 /\ x <_ B)))
25	24	ad2antrr 440	. . . . . 6 |- ((((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) /\ x < B) -> (x e. (0...B) <-> (x e. NN0 /\ B e. NN0 /\ x <_ B)))
26	22, 25	mpbird 213	. . . . 5 |- ((((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) /\ x < B) -> x e. (0...B))
27	26	ex 402	. . . 4 |- (((A C_ NN /\ B e. NN) /\ x e. A) -> (x < B -> x e. (0...B)))
28	27	r19.21aiva 2176	. . 3 |- ((A C_ NN /\ B e. NN) -> A.x e. A (x < B -> x e. (0...B)))
29		rabss 2684	. . 3 |- ({x e. A | x < B} C_ (0...B) <-> A.x e. A (x < B -> x e. (0...B)))
30	28, 29	sylibr 217	. 2 |- ((A C_ NN /\ B e. NN) -> {x e. A | x < B} C_ (0...B))
31		ssfi 5630	. 2 |- (((0...B) e. Fin /\ {x e. A | x < B} C_ (0...B)) -> {x e. A | x < B} e. Fin)
32	6, 30, 31	syl11anc 524	1 |- ((A C_ NN /\ B e. NN) -> {x e. A | x < B} e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Fincfn 5426  RRcr 6385  0cc0 6386   <_ cle 6448  NNcn 6449  NN0cn0 6450   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638

Copyright terms: Public domain