Theorem nnsum4primesgbe 38898

Description: Any even Goldbach number is the sum of at most 4 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 23-Jul-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primesgbe	|- ( N e. GoldbachEven -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 4 /\ N = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )

Distinct variable group:   N, d, f, k

Proof of Theorem nnsum4primesgbe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsum3primesgbe 38897	. 2 |- ( N e. GoldbachEven -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ N = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )
2		3lt4 10786	. . . . . 6 |- 3 < 4
3		nnre 10623	. . . . . . 7 |- ( d e. NN -> d e. RR )
4		3re 10690	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( d e. NN -> 3 e. RR )
6		4re 10693	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( d e. NN -> 4 e. RR )
8		leltletr 38724	. . . . . . 7 |- ( ( d e. RR /\ 3 e. RR /\ 4 e. RR ) -> ( ( d <_ 3 /\ 3 < 4 ) -> d <_ 4 ) )
9	3, 5, 7, 8	syl3anc 1269	. . . . . 6 |- ( d e. NN -> ( ( d <_ 3 /\ 3 < 4 ) -> d <_ 4 ) )
10	2, 9	mpan2i 684	. . . . 5 |- ( d e. NN -> ( d <_ 3 -> d <_ 4 ) )
11	10	anim1d 568	. . . 4 |- ( d e. NN -> ( ( d <_ 3 /\ N = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) -> ( d <_ 4 /\ N = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) ) )
12	11	reximdv 2863	. . 3 |- ( d e. NN -> ( E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ N = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 4 /\ N = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) ) )
13	12	reximia 2855	. 2 |- ( E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ N = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 4 /\ N = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )
14	1, 13	syl 17	1 |- ( N e. GoldbachEven -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 4 /\ N = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   E.wrex 2740   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   ^m cmap 7477   RRcr 9543   1c1 9545   < clt 9680   <_ cle 9681   NNcn 10616   3c3 10667   4c4 10668   ...cfz 11791   sum_csu 13764   Primecprime 14634   GoldbachEven cgbe 38856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-prm 14635  df-gbe 38859

This theorem is referenced by: (None)