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Theorem nnsum4primesevenALTV 39041
Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primesevenALTV  |-  ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even  )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4
) ) N  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( f `  k
) ) )
Distinct variable group:    f, N, k, m

Proof of Theorem nnsum4primesevenALTV
Dummy variables  o 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 776 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
) )  /\  o  e. GoldbachOddALTV 
)  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  ) )
2 8nn 10796 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  NN
32nnzi 10985 . . . . . . . . 9  |-  8  e.  ZZ
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
8  e.  ZZ )
5 3z 10994 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
3  e.  ZZ )
74, 6zaddcld 11067 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
( 8  +  3 )  e.  ZZ )
8 eluzelz 11192 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  ->  N  e.  ZZ )
9 eluz2 11188 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  <->  (; 1 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\ ; 1 2  <_  N ) )
10 8p4e12 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  +  4 )  = ; 1
2
1110breq1i 4402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  +  4 )  <_  N  <-> ; 1 2  <_  N
)
12 1nn0 10909 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
13 2nn 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
14 1lt2 10799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  2
1512, 12, 13, 14declt 11095 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 1 1  < ; 1 2
16 8p3e11 11130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 8  +  3 )  = ; 1
1
1715, 16, 103brtr4i 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  +  3 )  < 
( 8  +  4 )
18 8re 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  8  e.  RR )
20 3re 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  3  e.  RR )
2219, 21readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
8  +  3 )  e.  RR )
23 4re 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  4  e.  RR )
2519, 24readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
8  +  4 )  e.  RR )
26 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
27 ltleletr 9744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 8  +  3 )  e.  RR  /\  ( 8  +  4 )  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( ( 8  +  3 )  < 
( 8  +  4 )  /\  ( 8  +  4 )  <_  N )  ->  (
8  +  3 )  <_  N ) )
2822, 25, 26, 27syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 8  +  3 )  <  (
8  +  4 )  /\  ( 8  +  4 )  <_  N
)  ->  ( 8  +  3 )  <_  N ) )
2917, 28mpani 690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 8  +  4 )  <_  N  ->  ( 8  +  3 )  <_  N ) )
3011, 29syl5bir 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (; 1 2  <_  N  ->  (
8  +  3 )  <_  N ) )
3130imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\ ; 1 2  <_  N )  -> 
( 8  +  3 )  <_  N )
32313adant1 1048 . . . . . . . . . 10  |-  ( (; 1
2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\ ; 1 2  <_  N
)  ->  ( 8  +  3 )  <_  N )
339, 32sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
( 8  +  3 )  <_  N )
34 eluz2 11188 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  (
8  +  3 ) )  <->  ( ( 8  +  3 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( 8  +  3 )  <_  N ) )
357, 8, 33, 34syl3anbrc 1214 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 8  +  3 ) ) )
36 eluzsub 11212 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 8  +  3 ) ) )  ->  ( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= `  8 )
)
374, 6, 35, 36syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= ` 
8 ) )
3837adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
)  ->  ( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= `  8 )
)
3938ad3antlr 745 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
) )  /\  o  e. GoldbachOddALTV 
)  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  ( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= `  8
) )
40 3odd 38980 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e. Odd
4140a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
3  e. Odd  )
4241anim1i 578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
)  ->  ( 3  e. Odd  /\  N  e. Even  ) )
4342adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even  ) )  ->  ( 3  e. Odd  /\  N  e. Even  ) )
4443ancomd 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even  ) )  ->  ( N  e. Even  /\  3  e. Odd  ) )
4544adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. m  e. Odd 
( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
) )  /\  o  e. GoldbachOddALTV 
)  ->  ( N  e. Even  /\  3  e. Odd  )
)
4645adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
) )  /\  o  e. GoldbachOddALTV 
)  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  ( N  e. Even  /\  3  e. Odd 
) )
47 emoo 38976 . . . . . 6  |-  ( ( N  e. Even  /\  3  e. Odd  )  ->  ( N  -  3 )  e. Odd 
)
4846, 47syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
) )  /\  o  e. GoldbachOddALTV 
)  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  ( N  -  3 )  e. Odd  )
49 nnsum4primesoddALTV 39037 . . . . . 6  |-  ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  ->  ( ( ( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= `  8 )  /\  ( N  -  3 )  e. Odd  )  ->  E. g  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3 ) ) ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
) ) )
5049imp 436 . . . . 5  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( ( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= `  8
)  /\  ( N  -  3 )  e. Odd 
) )  ->  E. g  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )
511, 39, 48, 50syl12anc 1290 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
) )  /\  o  e. GoldbachOddALTV 
)  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  E. g  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )
52 elmapi 7511 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) )  ->  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
53 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
54 4z 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  ZZ
55 fzonel 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  4  e.  ( 1..^ 4 )
56 fzoval 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  (
1..^ 4 )  =  ( 1 ... (
4  -  1 ) ) )
5754, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1..^ 4 )  =  ( 1 ... ( 4  -  1 ) )
58 4cn 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  4  e.  CC
59 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
60 3cn 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  CC
61 3p1e4 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 3  +  1 )  =  4
62 subadd2 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  (
( 4  -  1 )  =  3  <->  (
3  +  1 )  =  4 ) )
6361, 62mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  (
4  -  1 )  =  3 )
6458, 59, 60, 63mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 4  -  1 )  =  3
6564oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 1 ... 3
)
6657, 65eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1..^ 4 )  =  ( 1 ... 3 )
6766eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... 3 )  =  ( 1..^ 4 )
6867eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  e.  ( 1 ... 3 )  <->  4  e.  ( 1..^ 4 ) )
6955, 68mtbir 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  4  e.  ( 1 ... 3
)
7054, 69pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 4  e.  ZZ  /\  -.  4  e.  ( 1 ... 3 ) )
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
4  e.  ZZ  /\  -.  4  e.  (
1 ... 3 ) ) )
72 3prm 14720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  Prime
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  3  e.  Prime )
74 fsnunf 6118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  /\  ( 4  e.  ZZ  /\ 
-.  4  e.  ( 1 ... 3 ) )  /\  3  e. 
Prime )  ->  ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 )  u. 
{ 4 } ) --> Prime )
7553, 71, 73, 74syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 )  u.  { 4 } ) --> Prime )
76 fzval3 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  (
1 ... 4 )  =  ( 1..^ ( 4  +  1 ) ) )
7754, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... 4 )  =  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )
78 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  ZZ
79 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
80 1lt4 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <  4
8179, 23, 80ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <_  4
82 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  1  <_ 
4 ) )
8378, 54, 81, 82mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  ( ZZ>= `  1 )
84 fzosplitsn 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  =  ( ( 1..^ 4 )  u.  { 4 } ) )
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  =  ( ( 1..^ 4 )  u.  { 4 } )
8666uneq1i 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1..^ 4 )  u. 
{ 4 } )  =  ( ( 1 ... 3 )  u. 
{ 4 } )
8777, 85, 863eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... 4 )  =  ( ( 1 ... 3 )  u.  {
4 } )
8887feq2i 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime  <->  ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 )  u.  { 4 } ) --> Prime )
8975, 88sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime
)
90 prmex 14707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Prime  e.  _V
91 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... 4 )  e. 
_V
9290, 91pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Prime  e.  _V  /\  ( 1 ... 4 )  e. 
_V )
93 elmapg 7503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Prime  e.  _V  /\  ( 1 ... 4
)  e.  _V )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } )  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) )  <-> 
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) )
9492, 93mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } )  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) )  <-> 
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) )
9589, 94mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
g  u.  { <. 4 ,  3 >. } )  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4
) ) )
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  -> 
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } )  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) )
97 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } )  ->  (
f `  k )  =  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k ) )
9897sumeq2sdv 13847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
) )
9998eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } )  ->  ( N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k )  <->  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
) ) )
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  /\  f  =  ( g  u.  { <. 4 ,  3
>. } ) )  -> 
( N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( f `  k )  <-> 
N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k ) ) )
10183a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  4  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10287eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  <->  k  e.  ( ( 1 ... 3 )  u.  {
4 } ) )
103 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... 3 )  u. 
{ 4 } )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... 3 )  \/  k  e.  {
4 } ) )
104 elsn 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  { 4 }  <-> 
k  =  4 )
105104orbi2i 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  \/  k  e.  { 4 } )  <->  ( k  e.  ( 1 ... 3
)  \/  k  =  4 ) )
106102, 103, 1053bitri 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  <->  ( k  e.  ( 1 ... 3
)  \/  k  =  4 ) )
107 elfz2 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( 1 ... 3 )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  k  /\  k  <_  3 ) ) )
10820, 23pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR )
109 3lt4 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  3  <  4
110 ltnle 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR )  ->  ( 3  <  4  <->  -.  4  <_  3 ) )
111109, 110mpbii 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR )  ->  -.  4  <_  3
)
112108, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  -.  4  <_  3
113 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  =  4  ->  (
k  <_  3  <->  4  <_  3 ) )
114113eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 4  =  k  ->  (
k  <_  3  <->  4  <_  3 ) )
115112, 114mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( 4  =  k  ->  -.  k  <_  3 )
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
4  =  k  ->  -.  k  <_  3 ) )
117116necon2ad 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  <_  3  ->  4  =/=  k ) )
118117adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 1  <_  k  /\  k  <_  3 )  ->  4  =/=  k
) )
1191183ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  <_  k  /\  k  <_  3 )  ->  4  =/=  k
) )
120119imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  k  /\  k  <_  3 ) )  ->  4  =/=  k )
121107, 120sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( 1 ... 3 )  ->  4  =/=  k )
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  4  =/=  k )
123 fvunsn 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 4  =/=  k  ->  (
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  =  ( g `
 k ) )
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  =  ( g `
 k ) )
125 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  /\  k  e.  (
1 ... 3 ) )  ->  ( g `  k )  e.  Prime )
126125ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( g `  k
)  e.  Prime )
127 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g `  k )  e.  Prime  ->  ( g `
 k )  e.  ZZ )
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( g `  k
)  e.  ZZ )
129128zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( g `  k
)  e.  CC )
130124, 129eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  e.  CC )
131130ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... 3 )  ->  (
g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  e.  CC ) )
132131adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... 3 )  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  e.  CC ) )
133 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  4  ->  (
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  =  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4 ) )
13454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  4  e.  ZZ )
1355a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  3  e.  ZZ )
136 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  dom  g  =  ( 1 ... 3 ) )
137 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( dom  g  =  ( 1 ... 3 )  -> 
( 4  e.  dom  g 
<->  4  e.  ( 1 ... 3 ) ) )
13869, 137mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( dom  g  =  ( 1 ... 3 )  ->  -.  4  e.  dom  g )
139136, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  -.  4  e.  dom  g
)
140 fsnunfv 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  -.  4  e.  dom  g )  ->  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 4 )  =  3 )
141134, 135, 139, 140syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4
)  =  3 )
142141adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4
)  =  3 )
143133, 142sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =  4  /\  ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
)  ->  ( (
g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k )  =  3 )
144143, 60syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  4  /\  ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
)  ->  ( (
g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k )  e.  CC )
145144ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  4  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  e.  CC ) )
146132, 145jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  \/  k  =  4 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  e.  CC ) )
147146com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... 3 )  \/  k  =  4 )  ->  ( (
g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k )  e.  CC ) )
148106, 147syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
k  e.  ( 1 ... 4 )  -> 
( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  e.  CC ) )
149148imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  k  e.  (
1 ... 4 ) )  ->  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k )  e.  CC )
150101, 149, 133fsumm1 13889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4 ) ) )
151150adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4 ) ) )
15264eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  =  ( 4  -  1 )
153152oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ... 3 )  =  ( 1 ... (
4  -  1 ) )
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
1 ... 3 )  =  ( 1 ... (
4  -  1 ) ) )
155121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  k  e.  (
1 ... 3 ) )  ->  4  =/=  k
)
156155, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  k  e.  (
1 ... 3 ) )  ->  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k )  =  ( g `  k
) )
157156eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  k  e.  (
1 ... 3 ) )  ->  ( g `  k )  =  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
) )
158154, 157sumeq12dv 13849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
) )
159158eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k )  <->  ( N  -  3 )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
) ) )
160159biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  -> 
( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
4  -  1 ) ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k ) )
161160eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  =  ( N  -  3 ) )
162161oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4 ) )  =  ( ( N  -  3 )  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 4 ) ) )
16354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  4  e.  ZZ )
1645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  3  e.  ZZ )
165139adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  -.  4  e.  dom  g )
166163, 164, 165, 140syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4
)  =  3 )
167166oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
( N  -  3 )  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4 ) )  =  ( ( N  -  3 )  +  3 ) )
168 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  ->  N  e.  CC )
16960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
3  e.  CC )
170168, 169npcand 10009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
( ( N  - 
3 )  +  3 )  =  N )
171170adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
( N  -  3 )  +  3 )  =  N )
172167, 171eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
( N  -  3 )  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4 ) )  =  N )
173172adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  -> 
( ( N  - 
3 )  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4
) )  =  N )
174151, 162, 1733eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  ->  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k ) )
17596, 100, 174rspcedvd 3143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( f `  k
) )
176175ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  g : ( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
177176expcom 442 . . . . . . . . 9  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  ->  ( ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
)  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) ) )
17852, 177syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
( ( N  - 
3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) ) )
179178com12 31 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
( g  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3 ) )  ->  ( ( N  -  3 )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
)  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) ) )
180179rexlimdv 2870 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  -> 
( E. g  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
181180adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
)  ->  ( E. g  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3
) ) ( N  -  3 )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
)  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
182181ad3antlr 745 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
) )  /\  o  e. GoldbachOddALTV 
)  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  ( E. g  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3 ) ) ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
)  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
18351, 182mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even 
) )  /\  o  e. GoldbachOddALTV 
)  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) )
184 evengpoap3 39039 . . . 4  |-  ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even  )  ->  E. o  e. GoldbachOddALTV  N  =  ( o  +  3 ) ) )
185184imp 436 . . 3  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even  ) )  ->  E. o  e. GoldbachOddALTV  N  =  ( o  +  3 ) )
186183, 185r19.29a 2918 . 2  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even  ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) )
187186ex 441 1  |-  ( A. m  e. Odd  ( 7  <  m  ->  m  e. GoldbachOddALTV  )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 2 )  /\  N  e. Even  )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4
) ) N  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( f `  k
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388   {csn 3959   <.cop 3965   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   2c2 10681   3c3 10682   4c4 10683   7c7 10686   8c8 10687   ZZcz 10961  ;cdc 11074   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   sum_csu 13829   Primecprime 14701   Even ceven 38898   Odd codd 38899   GoldbachOddALTV cgboa 38993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-even 38900  df-odd 38901  df-gboa 38996
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