Theorem nnsum4primesevenALTV 39041

Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum4primesevenALTV	|- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )

Distinct variable group:   f, N, k, m

Proof of Theorem nnsum4primesevenALTV

Dummy variables o g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 776	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddALTV ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) )
2		8nn 10796	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. NN
3	2	nnzi 10985	. . . . . . . . 9 |- 8 e. ZZ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 8 e. ZZ )
5		3z 10994	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 3 e. ZZ )
7	4, 6	zaddcld 11067	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( 8 + 3 ) e. ZZ )
8		eluzelz 11192	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> N e. ZZ )
9		eluz2 11188	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) <-> (; 1 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ; 1 2 <_ N ) )
10		8p4e12 11131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 8 + 4 ) = ; 1 2
11	10	breq1i 4402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 8 + 4 ) <_ N <-> ; 1 2 <_ N )
12		1nn0 10909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. NN0
13		2nn 10790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
14		1lt2 10799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 < 2
15	12, 12, 13, 14	declt 11095	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ; 1 1 < ; 1 2
16		8p3e11 11130	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 8 + 3 ) = ; 1 1
17	15, 16, 10	3brtr4i 4424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 8 + 3 ) < ( 8 + 4 )
18		8re 10716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 8 e. RR
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> 8 e. RR )
20		3re 10705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. RR
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> 3 e. RR )
22	19, 21	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> ( 8 + 3 ) e. RR )
23		4re 10708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 e. RR
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ZZ -> 4 e. RR )
25	19, 24	readdcld 9688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> ( 8 + 4 ) e. RR )
26		zre 10965	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
27		ltleletr 9744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 8 + 3 ) e. RR /\ ( 8 + 4 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( 8 + 3 ) < ( 8 + 4 ) /\ ( 8 + 4 ) <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N ) )
28	22, 25, 26, 27	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 8 + 3 ) < ( 8 + 4 ) /\ ( 8 + 4 ) <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N ) )
29	17, 28	mpani 690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> ( ( 8 + 4 ) <_ N -> ( 8 + 3 ) <_ N ) )
30	11, 29	syl5bir 226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> (; 1 2 <_ N -> ( 8 + 3 ) <_ N ) )
31	30	imp 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ ; 1 2 <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N )
32	31	3adant1 1048	. . . . . . . . . 10 |- ( (; 1 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ; 1 2 <_ N ) -> ( 8 + 3 ) <_ N )
33	9, 32	sylbi 200	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( 8 + 3 ) <_ N )
34		eluz2 11188	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( 8 + 3 ) ) <-> ( ( 8 + 3 ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( 8 + 3 ) <_ N ) )
35	7, 8, 33, 34	syl3anbrc 1214	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> N e. ( ZZ>= ` ( 8 + 3 ) ) )
36		eluzsub 11212	. . . . . . . 8 |- ( ( 8 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ N e. ( ZZ>= ` ( 8 + 3 ) ) ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) )
37	4, 6, 35, 36	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) )
38	37	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) )
39	38	ad3antlr 745	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddALTV ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) )
40		3odd 38980	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. Odd
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 3 e. Odd )
42	41	anim1i 578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> ( 3 e. Odd /\ N e. Even ) )
43	42	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> ( 3 e. Odd /\ N e. Even ) )
44	43	ancomd 458	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) )
45	44	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddALTV ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) )
46	45	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddALTV ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) )
47		emoo 38976	. . . . . 6 |- ( ( N e. Even /\ 3 e. Odd ) -> ( N - 3 ) e. Odd )
48	46, 47	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddALTV ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( N - 3 ) e. Odd )
49		nnsum4primesoddALTV 39037	. . . . . 6 |- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) -> ( ( ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) /\ ( N - 3 ) e. Odd ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) )
50	49	imp 436	. . . . 5 |- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( ( N - 3 ) e. ( ZZ>= ` 8 ) /\ ( N - 3 ) e. Odd ) ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) )
51	1, 39, 48, 50	syl12anc 1290	. . . 4 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddALTV ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) )
52		elmapi 7511	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) -> g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
53		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
54		4z 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. ZZ
55		fzonel 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -. 4 e. ( 1..^ 4 )
56		fzoval 11948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 4 e. ZZ -> ( 1..^ 4 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) )
57	54, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1..^ 4 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) )
58		4cn 10709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 4 e. CC
59		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. CC
60		3cn 10706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 3 e. CC
61		3p1e4 10758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 3 + 1 ) = 4
62		subadd2 9899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( ( 4 - 1 ) = 3 <-> ( 3 + 1 ) = 4 ) )
63	61, 62	mpbiri 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 4 e. CC /\ 1 e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( 4 - 1 ) = 3 )
64	58, 59, 60, 63	mp3an 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 4 - 1 ) = 3
65	64	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 1 ... 3 )
66	57, 65	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1..^ 4 ) = ( 1 ... 3 )
67	66	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 ... 3 ) = ( 1..^ 4 )
68	67	eleq2i 2541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 e. ( 1 ... 3 ) <-> 4 e. ( 1..^ 4 ) )
69	55, 68	mtbir 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. 4 e. ( 1 ... 3 )
70	54, 69	pm3.2i 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) ) )
72		3prm 14720	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. Prime
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 3 e. Prime )
74		fsnunf 6118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime /\ ( 4 e. ZZ /\ -. 4 e. ( 1 ... 3 ) ) /\ 3 e. Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime )
75	53, 71, 73, 74	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime )
76		fzval3 12012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. ZZ -> ( 1 ... 4 ) = ( 1..^ ( 4 + 1 ) ) )
77	54, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 ... 4 ) = ( 1..^ ( 4 + 1 ) )
78		1z 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. ZZ
79		1re 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. RR
80		1lt4 10804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 < 4
81	79, 23, 80	ltleii 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 <_ 4
82		eluz2 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> ( 1 e. ZZ /\ 4 e. ZZ /\ 1 <_ 4 ) )
83	78, 54, 81, 82	mpbir3an 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. ( ZZ>= ` 1 )
84		fzosplitsn 12048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1..^ ( 4 + 1 ) ) = ( ( 1..^ 4 ) u. { 4 } ) )
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1..^ ( 4 + 1 ) ) = ( ( 1..^ 4 ) u. { 4 } )
86	66	uneq1i 3575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1..^ 4 ) u. { 4 } ) = ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } )
87	77, 85, 86	3eqtri 2497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... 4 ) = ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } )
88	87	feq2i 5731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) --> Prime )
89	75, 88	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime )
90		prmex 14707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Prime e. _V
91		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... 4 ) e. _V
92	90, 91	pm3.2i 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Prime e. _V /\ ( 1 ... 4 ) e. _V )
93		elmapg 7503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Prime e. _V /\ ( 1 ... 4 ) e. _V ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) )
94	92, 93	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) <-> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) )
95	89, 94	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) )
96	95	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) )
97		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> ( f ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
98	97	sumeq2sdv 13847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
99	98	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) -> ( N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) <-> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) )
100	99	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) /\ f = ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ) -> ( N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) <-> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) )
101	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
102	87	eleq2i 2541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... 4 ) <-> k e. ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) )
103		elun 3565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( 1 ... 3 ) u. { 4 } ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k e. { 4 } ) )
104		elsn 3973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. { 4 } <-> k = 4 )
105	104	orbi2i 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k e. { 4 } ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) )
106	102, 103, 105	3bitri 279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1 ... 4 ) <-> ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) )
107		elfz2 11817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) ) )
108	20, 23	pm3.2i 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( 3 e. RR /\ 4 e. RR )
109		3lt4 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- 3 < 4
110		ltnle 9731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR ) -> ( 3 < 4 <-> -. 4 <_ 3 ) )
111	109, 110	mpbii 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( 3 e. RR /\ 4 e. RR ) -> -. 4 <_ 3 )
112	108, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- -. 4 <_ 3
113		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( k = 4 -> ( k <_ 3 <-> 4 <_ 3 ) )
114	113	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( 4 = k -> ( k <_ 3 <-> 4 <_ 3 ) )
115	112, 114	mtbiri 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( 4 = k -> -. k <_ 3 )
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( k e. ZZ -> ( 4 = k -> -. k <_ 3 ) )
117	116	necon2ad 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k e. ZZ -> ( k <_ 3 -> 4 =/= k ) )
118	117	adantld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. ZZ -> ( ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) -> 4 =/= k ) )
119	118	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) -> 4 =/= k ) )
120	119	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( 1 <_ k /\ k <_ 3 ) ) -> 4 =/= k )
121	107, 120	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> 4 =/= k )
122	121	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 =/= k )
123		fvunsn 6112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 4 =/= k -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) )
125		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( g ` k ) e. Prime )
126	125	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. Prime )
127		prmz 14705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( g ` k ) e. Prime -> ( g ` k ) e. ZZ )
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. ZZ )
129	128	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( g ` k ) e. CC )
130	124, 129	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC )
131	130	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
132	131	adantld 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... 3 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
133		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = 4 -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) )
134	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> 4 e. ZZ )
135	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> 3 e. ZZ )
136		fdm 5745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> dom g = ( 1 ... 3 ) )
137		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( dom g = ( 1 ... 3 ) -> ( 4 e. dom g <-> 4 e. ( 1 ... 3 ) ) )
138	69, 137	mtbiri 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( dom g = ( 1 ... 3 ) -> -. 4 e. dom g )
139	136, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> -. 4 e. dom g )
140		fsnunfv 6120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 4 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ -. 4 e. dom g ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
141	134, 135, 139, 140	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
142	141	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
143	133, 142	sylan9eq 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k = 4 /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = 3 )
144	143, 60	syl6eqel 2557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k = 4 /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC )
145	144	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 4 -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
146	132, 145	jaoi 386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
147	146	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( k e. ( 1 ... 3 ) \/ k = 4 ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
148	106, 147	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( k e. ( 1 ... 4 ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC ) )
149	148	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 4 ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) e. CC )
150	101, 149, 133	fsumm1 13889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) )
151	150	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) )
152	64	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 3 = ( 4 - 1 )
153	152	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 ... 3 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) )
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( 1 ... 3 ) = ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) )
155	121	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> 4 =/= k )
156	155, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( g ` k ) )
157	156	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ k e. ( 1 ... 3 ) ) -> ( g ` k ) = ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
158	154, 157	sumeq12dv 13849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
159	158	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) <-> ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) ) )
160	159	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
161	160	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) = ( N - 3 ) )
162	161	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) )
163	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 4 e. ZZ )
164	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> 3 e. ZZ )
165	139	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> -. 4 e. dom g )
166	163, 164, 165, 140	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) = 3 )
167	166	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = ( ( N - 3 ) + 3 ) )
168		eluzelcn 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> N e. CC )
169	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> 3 e. CC )
170	168, 169	npcand 10009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( ( N - 3 ) + 3 ) = N )
171	170	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + 3 ) = N )
172	167, 171	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = N )
173	172	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> ( ( N - 3 ) + ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` 4 ) ) = N )
174	151, 162, 173	3eqtrrd 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( g u. { <. 4 , 3 >. } ) ` k ) )
175	96, 100, 174	rspcedvd 3143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) /\ ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) )
176	175	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ g : ( 1 ... 3 ) --> Prime ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
177	176	expcom 442	. . . . . . . . 9 |- ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime -> ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) )
178	52, 177	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) )
179	178	com12 31	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) -> ( ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) ) )
180	179	rexlimdv 2870	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
181	180	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
182	181	ad3antlr 745	. . . 4 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddALTV ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> ( E. g e. ( Prime ^m ( 1 ... 3 ) ) ( N - 3 ) = sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( g ` k ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )
183	51, 182	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) /\ o e. GoldbachOddALTV ) /\ N = ( o + 3 ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) )
184		evengpoap3 39039	. . . 4 |- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> E. o e. GoldbachOddALTV N = ( o + 3 ) ) )
185	184	imp 436	. . 3 |- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> E. o e. GoldbachOddALTV N = ( o + 3 ) )
186	183, 185	r19.29a 2918	. 2 |- ( ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) /\ ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) )
187	186	ex 441	1 |- ( A. m e. Odd ( 7 < m -> m e. GoldbachOddALTV ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` ; 1 2 ) /\ N e. Even ) -> E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... 4 ) ) N = sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( f ` k ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   u. cun 3388   {csn 3959   <.cop 3965   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   2c2 10681   3c3 10682   4c4 10683   7c7 10686   8c8 10687   ZZcz 10961  ;cdc 11074   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   sum_csu 13829   Primecprime 14701   Even ceven 38898   Odd codd 38899   GoldbachOddALTV cgboa 38993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-even 38900  df-odd 38901  df-gboa 38996

This theorem is referenced by: (None)