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Theorem nnsum4primeseven 39040
Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primeseven  |-  ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  /\  N  e. Even  )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
Distinct variable group:    f, N, k, m

Proof of Theorem nnsum4primeseven
Dummy variables  o 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evengpop3 39038 . . . 4  |-  ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  /\  N  e. Even  )  ->  E. o  e. GoldbachOdd  N  =  ( o  +  3 ) ) )
21imp 436 . . 3  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  ->  E. o  e. GoldbachOdd 
N  =  ( o  +  3 ) )
3 simplll 776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  /\  o  e. GoldbachOdd  )  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  ) )
4 6nn 10794 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
54nnzi 10985 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  ZZ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  6  e.  ZZ )
7 3z 10994 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  3  e.  ZZ )
9 6p3e9 10775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 6  +  3 )  =  9
109eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  9  =  ( 6  +  3 )
1110fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= ` 
9 )  =  (
ZZ>= `  ( 6  +  3 ) )
1211eleq2i 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  ( 6  +  3 ) ) )
1312biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 6  +  3 ) ) )
14 eluzsub 11212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 6  +  3 ) ) )  ->  ( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= `  6 )
)
156, 8, 13, 14syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  ( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= `  6 )
)
1615adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  )  ->  ( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= `  6 )
)
1716ad3antlr 745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  /\  o  e. GoldbachOdd  )  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  ( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= `  6
) )
18 3odd 38980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e. Odd
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  3  e. Odd  )
2019anim1i 578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  )  ->  ( 3  e. Odd  /\  N  e. Even  ) )
2120adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  ->  (
3  e. Odd  /\  N  e. Even 
) )
2221ancomd 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  ->  ( N  e. Even  /\  3  e. Odd 
) )
2322adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. m  e. Odd 
( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  /\  o  e. GoldbachOdd  )  ->  ( N  e. Even  /\  3  e. Odd  )
)
2423adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  /\  o  e. GoldbachOdd  )  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  ( N  e. Even  /\  3  e. Odd 
) )
25 emoo 38976 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e. Even  /\  3  e. Odd  )  ->  ( N  -  3 )  e. Odd 
)
2624, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  /\  o  e. GoldbachOdd  )  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  ( N  -  3 )  e. Odd  )
27 nnsum4primesodd 39036 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  ->  ( ( ( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= `  6
)  /\  ( N  -  3 )  e. Odd 
)  ->  E. g  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) ) )
2827imp 436 . . . . . . 7  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  (
( N  -  3 )  e.  ( ZZ>= ` 
6 )  /\  ( N  -  3 )  e. Odd  ) )  ->  E. g  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3 ) ) ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
) )
293, 17, 26, 28syl12anc 1290 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  /\  o  e. GoldbachOdd  )  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  E. g  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )
30 elmapi 7511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) )  ->  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
31 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime
)
32 4z 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  4  e.  ZZ
33 fzonel 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  4  e.  ( 1..^ 4 )
34 fzoval 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  (
1..^ 4 )  =  ( 1 ... (
4  -  1 ) ) )
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1..^ 4 )  =  ( 1 ... ( 4  -  1 ) )
36 4cn 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  4  e.  CC
37 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  1  e.  CC
38 3cn 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  3  e.  CC
3936, 37, 383pm3.2i 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  3  e.  CC )
40 3p1e4 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 3  +  1 )  =  4
41 subadd2 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  (
( 4  -  1 )  =  3  <->  (
3  +  1 )  =  4 ) )
4240, 41mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  (
4  -  1 )  =  3 )
4339, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 4  -  1 )  =  3
4443oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... ( 4  -  1 ) )  =  ( 1 ... 3
)
4535, 44eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1..^ 4 )  =  ( 1 ... 3 )
4645eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1 ... 3 )  =  ( 1..^ 4 )
4746eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 4  e.  ( 1 ... 3 )  <->  4  e.  ( 1..^ 4 ) )
4833, 47mtbir 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  4  e.  ( 1 ... 3
)
4932, 48pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  e.  ZZ  /\  -.  4  e.  ( 1 ... 3 ) )
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( 4  e.  ZZ  /\ 
-.  4  e.  ( 1 ... 3 ) ) )
51 3prm 14720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  Prime
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  3  e.  Prime )
53 fsnunf 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  /\  ( 4  e.  ZZ  /\ 
-.  4  e.  ( 1 ... 3 ) )  /\  3  e. 
Prime )  ->  ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 )  u. 
{ 4 } ) --> Prime )
5431, 50, 52, 53syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( ( 1 ... 3
)  u.  { 4 } ) --> Prime )
55 fzval3 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  (
1 ... 4 )  =  ( 1..^ ( 4  +  1 ) ) )
5632, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ... 4 )  =  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )
57 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  ZZ
58 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
59 4re 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  4  e.  RR
60 1lt4 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <  4
6158, 59, 60ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <_  4
62 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ  /\  1  <_ 
4 ) )
6357, 32, 61, 62mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  4  e.  ( ZZ>= `  1 )
64 fzosplitsn 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  =  ( ( 1..^ 4 )  u.  { 4 } ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  =  ( ( 1..^ 4 )  u.  { 4 } )
6645uneq1i 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1..^ 4 )  u. 
{ 4 } )  =  ( ( 1 ... 3 )  u. 
{ 4 } )
6756, 65, 663eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... 4 )  =  ( ( 1 ... 3 )  u.  {
4 } )
6867feq2i 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime  <->  ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( ( 1 ... 3 )  u.  { 4 } ) --> Prime )
6954, 68sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime )
70 prmex 14707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Prime  e.  _V
71 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... 4 )  e. 
_V
7270, 71pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Prime  e.  _V  /\  ( 1 ... 4 )  e. 
_V )
73 elmapg 7503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Prime  e.  _V  /\  ( 1 ... 4
)  e.  _V )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } )  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) )  <-> 
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) )
7472, 73mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } )  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) )  <-> 
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) : ( 1 ... 4 ) --> Prime ) )
7569, 74mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } )  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) )
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  -> 
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } )  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) )
77 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } )  ->  (
f `  k )  =  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k ) )
7877adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  =  ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } )  /\  k  e.  ( 1 ... 4 ) )  ->  ( f `  k )  =  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
) )
7978sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
) )
8079eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } )  ->  ( N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k )  <->  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
) ) )
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ( ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime
)  /\  ( N  -  3 )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
) )  /\  f  =  ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) )  -> 
( N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( f `  k )  <-> 
N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k ) ) )
8263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  4  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
8367eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  <->  k  e.  ( ( 1 ... 3 )  u.  {
4 } ) )
84 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... 3 )  u. 
{ 4 } )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... 3 )  \/  k  e.  {
4 } ) )
85 elsn 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  { 4 }  <-> 
k  =  4 )
8685orbi2i 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  \/  k  e.  { 4 } )  <->  ( k  e.  ( 1 ... 3
)  \/  k  =  4 ) )
8783, 84, 863bitri 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  <->  ( k  e.  ( 1 ... 3
)  \/  k  =  4 ) )
88 elfz2 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  ( 1 ... 3 )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  (
1  <_  k  /\  k  <_  3 ) ) )
89 3re 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  3  e.  RR
9089, 59pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR )
91 3lt4 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  3  <  4
92 ltnle 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR )  ->  ( 3  <  4  <->  -.  4  <_  3 ) )
9391, 92mpbii 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  4  e.  RR )  ->  -.  4  <_  3
)
9490, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  -.  4  <_  3
95 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( k  =  4  ->  (
k  <_  3  <->  4  <_  3 ) )
9695eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 4  =  k  ->  (
k  <_  3  <->  4  <_  3 ) )
9794, 96mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 4  =  k  ->  -.  k  <_  3 )
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
4  =  k  ->  -.  k  <_  3 ) )
9998necon2ad 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  <_  3  ->  4  =/=  k ) )
10099adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( 1  <_  k  /\  k  <_  3 )  ->  4  =/=  k
) )
1011003ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( 1  <_  k  /\  k  <_  3 )  ->  4  =/=  k
) )
102101imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  k  /\  k  <_  3 ) )  ->  4  =/=  k )
10388, 102sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  ( 1 ... 3 )  ->  4  =/=  k )
104103adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  4  =/=  k )
105 fvunsn 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 4  =/=  k  ->  (
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  =  ( g `
 k ) )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  =  ( g `
 k ) )
107 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  /\  k  e.  (
1 ... 3 ) )  ->  ( g `  k )  e.  Prime )
108107ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( g `  k
)  e.  Prime )
109 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( g `  k )  e.  Prime  ->  ( g `
 k )  e.  ZZ )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( g `  k
)  e.  ZZ )
111110zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( g `  k
)  e.  CC )
112106, 111eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  e.  CC )
113112ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 1 ... 3 )  ->  (
g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  e.  CC ) )
114113adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... 3 )  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  e.  CC ) )
115 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  4  ->  (
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  =  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4 ) )
11632a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  4  e.  ZZ )
1177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  3  e.  ZZ )
118 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  dom  g  =  ( 1 ... 3 ) )
119 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( dom  g  =  ( 1 ... 3 )  -> 
( 4  e.  dom  g 
<->  4  e.  ( 1 ... 3 ) ) )
12048, 119mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( dom  g  =  ( 1 ... 3 )  ->  -.  4  e.  dom  g )
121118, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  -.  4  e.  dom  g
)
122 fsnunfv 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 4  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  -.  4  e.  dom  g )  ->  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 4 )  =  3 )
123116, 117, 121, 122syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4
)  =  3 )
124123adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  4
)  =  3 )
125115, 124sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  =  4  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
)  ->  ( (
g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k )  =  3 )
126125, 38syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  =  4  /\  ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )
)  ->  ( (
g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k )  e.  CC )
127126ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  4  ->  (
( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  e.  CC ) )
128114, 127jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... 3 )  \/  k  =  4 )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  /\  g :
( 1 ... 3
) --> Prime )  ->  (
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  e.  CC ) )
129128com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... 3
)  \/  k  =  4 )  ->  (
( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  e.  CC ) )
13087, 129syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( k  e.  ( 1 ... 4 )  ->  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k )  e.  CC ) )
131130imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  k  e.  (
1 ... 4 ) )  ->  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k )  e.  CC )
13282, 131, 115fsumm1 13889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4 ) ) )
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4 ) ) )
13443eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  3  =  ( 4  -  1 )
135134oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1 ... 3 )  =  ( 1 ... (
4  -  1 ) )
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( 1 ... 3
)  =  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) )
137103adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  k  e.  (
1 ... 3 ) )  ->  4  =/=  k
)
138137, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  k  e.  (
1 ... 3 ) )  ->  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k )  =  ( g `  k
) )
139138eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  k  e.  (
1 ... 3 ) )  ->  ( g `  k )  =  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
) )
140136, 139sumeq12dv 13849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
4  -  1 ) ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k ) )
141140eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( N  - 
3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k )  <-> 
( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
4  -  1 ) ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k ) ) )
142141biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  -> 
( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
4  -  1 ) ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k ) )
143142eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  k
)  =  ( N  -  3 ) )
144143oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( 4  -  1 ) ) ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  k
)  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4 ) )  =  ( ( N  -  3 )  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 4 ) ) )
14532a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  4  e.  ZZ )
1467a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  3  e.  ZZ )
147121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  -.  4  e.  dom  g )
148145, 146, 147, 122syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( g  u. 
{ <. 4 ,  3
>. } ) `  4
)  =  3 )
149148oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( N  - 
3 )  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4
) )  =  ( ( N  -  3 )  +  3 ) )
150 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  N  e.  CC )
15138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  3  e.  CC )
152150, 151npcand 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  ( ( N  -  3 )  +  3 )  =  N )
153152adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( N  - 
3 )  +  3 )  =  N )
154149, 153eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( N  - 
3 )  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4
) )  =  N )
155154adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  -> 
( ( N  - 
3 )  +  ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `  4
) )  =  N )
156133, 144, 1553eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  ->  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( g  u.  { <. 4 ,  3 >. } ) `
 k ) )
15776, 81, 156rspcedvd 3143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  /\  ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( f `  k
) )
158157ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  g : ( 1 ... 3 ) --> Prime )  ->  ( ( N  - 
3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
159158expcom 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : ( 1 ... 3 ) --> Prime  ->  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  ->  (
( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( g `  k )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) ) )
16030, 159syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  9 )  ->  ( ( N  - 
3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) ) )
161160com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  ( g  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) )  ->  ( ( N  -  3 )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
)  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) ) )
162161rexlimdv 2870 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  ( E. g  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3
) ) ( N  -  3 )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
)  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
163162adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  )  ->  ( E. g  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3
) ) ( N  -  3 )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
)  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
164163ad3antlr 745 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  /\  o  e. GoldbachOdd  )  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  ( E. g  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3 ) ) ( N  -  3 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( g `  k
)  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
16529, 164mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  /\  o  e. GoldbachOdd  )  /\  N  =  ( o  +  3 ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) )
166165ex 441 . . . 4  |-  ( ( ( A. m  e. Odd 
( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  /\  o  e. GoldbachOdd  )  ->  ( N  =  ( o  +  3 )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
167166rexlimdva 2871 . . 3  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  ->  ( E. o  e. GoldbachOdd  N  =  ( o  +  3 )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
1682, 167mpd 15 . 2  |-  ( ( A. m  e. Odd  (
5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  N  e. Even  ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) )
169168ex 441 1  |-  ( A. m  e. Odd  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  9
)  /\  N  e. Even  )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 4 ) ) N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( f `  k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388   {csn 3959   <.cop 3965   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   3c3 10682   4c4 10683   5c5 10684   6c6 10685   9c9 10688   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   sum_csu 13829   Primecprime 14701   Even ceven 38898   Odd codd 38899   GoldbachOdd cgbo 38992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-even 38900  df-odd 38901  df-gbo 38995
This theorem is referenced by:  wtgoldbnnsum4prm  39042
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