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Theorem nnsum4primeseven 39040
 Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primeseven Odd GoldbachOdd Even
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem nnsum4primeseven
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evengpop3 39038 . . . 4 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd
21imp 436 . . 3 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd
3 simplll 776 . . . . . . 7 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd Odd GoldbachOdd
4 6nn 10794 . . . . . . . . . . . 12
54nnzi 10985 . . . . . . . . . . 11
65a1i 11 . . . . . . . . . 10
7 3z 10994 . . . . . . . . . . 11
87a1i 11 . . . . . . . . . 10
9 6p3e9 10775 . . . . . . . . . . . . . 14
109eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13
1110fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . 12
1211eleq2i 2541 . . . . . . . . . . 11
1312biimpi 199 . . . . . . . . . 10
14 eluzsub 11212 . . . . . . . . . 10
156, 8, 13, 14syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
1615adantr 472 . . . . . . . 8 Even
1716ad3antlr 745 . . . . . . 7 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd
18 3odd 38980 . . . . . . . . . . . . . 14 Odd
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 Odd
2019anim1i 578 . . . . . . . . . . . 12 Even Odd Even
2120adantl 473 . . . . . . . . . . 11 Odd GoldbachOdd Even Odd Even
2221ancomd 458 . . . . . . . . . 10 Odd GoldbachOdd Even Even Odd
2322adantr 472 . . . . . . . . 9 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd Even Odd
2423adantr 472 . . . . . . . 8 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd Even Odd
25 emoo 38976 . . . . . . . 8 Even Odd Odd
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd Odd
27 nnsum4primesodd 39036 . . . . . . . 8 Odd GoldbachOdd Odd
2827imp 436 . . . . . . 7 Odd GoldbachOdd Odd
293, 17, 26, 28syl12anc 1290 . . . . . 6 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd
30 elmapi 7511 . . . . . . . . . . 11
31 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 4z 10995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33 fzonel 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
34 fzoval 11948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
36 4cn 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
37 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
38 3cn 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3936, 37, 383pm3.2i 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
40 3p1e4 10758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
41 subadd2 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4240, 41mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4339, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4443oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4535, 44eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
4645eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
4746eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
4833, 47mtbir 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4932, 48pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
51 3prm 14720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53 fsnunf 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5431, 50, 52, 53syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
55 fzval3 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
5632, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
57 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
59 4re 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
60 1lt4 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6158, 59, 60ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6357, 32, 61, 62mpbir3an 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
64 fzosplitsn 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
6645uneq1i 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
6756, 65, 663eqtri 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867feq2i 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6954, 68sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 prmex 14707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7270, 71pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 elmapg 7503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7472, 73mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7569, 74mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
77 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7877adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7978sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
8263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8367eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85 elsn 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8685orbi2i 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8783, 84, 863bitri 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88 elfz2 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
89 3re 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9089, 59pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
91 3lt4 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
92 ltnle 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9391, 92mpbii 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9490, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
95 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9695eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9794, 96mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9998necon2ad 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10099adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1011003ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102101imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
10388, 102sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
104103adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
105 fvunsn 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
108107ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
109 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
111110zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
112106, 111eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
113112ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
114113adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
115 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11632a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
118 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
119 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12048, 119mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
121118, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
122 fsnunfv 6120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
123116, 117, 121, 122syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
124123adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
125115, 124sylan9eq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
126125, 38syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
127126ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
128114, 127jaoi 386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129128com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13087, 129syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131130imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13282, 131, 115fsumm1 13889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
13443eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
135134oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137103adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138137, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139138eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140136, 139sumeq12dv 13849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141140eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142141biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143142eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144143oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15
14532a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1467a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148145, 146, 147, 122syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149148oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152150, 151npcand 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
153152adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154149, 153eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155154adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
156133, 144, 1553eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14
15776, 81, 156rspcedvd 3143 . . . . . . . . . . . . 13
158157ex 441 . . . . . . . . . . . 12
159158expcom 442 . . . . . . . . . . 11
16030, 159syl 17 . . . . . . . . . 10
161160com12 31 . . . . . . . . 9
162161rexlimdv 2870 . . . . . . . 8
163162adantr 472 . . . . . . 7 Even
164163ad3antlr 745 . . . . . 6 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd
16529, 164mpd 15 . . . . 5 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd
166165ex 441 . . . 4 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd
167166rexlimdva 2871 . . 3 Odd GoldbachOdd Even GoldbachOdd
1682, 167mpd 15 . 2 Odd GoldbachOdd Even
169168ex 441 1 Odd GoldbachOdd Even
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cun 3388  csn 3959  cop 3965   class class class wbr 4395   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cc 9555  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  c3 10682  c4 10683  c5 10684  c6 10685  c9 10688  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  ..^cfzo 11942  csu 13829  cprime 14701   Even ceven 38898   Odd codd 38899   GoldbachOdd cgbo 38992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-even 38900  df-odd 38901  df-gbo 38995 This theorem is referenced by:  wtgoldbnnsum4prm  39042
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