Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primesprm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nnsum3primesprm 39020
Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesprm  |-  ( P  e.  Prime  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
Distinct variable group:    P, d, f, k

Proof of Theorem nnsum3primesprm
StepHypRef Expression
1 1nn 10653 . 2  |-  1  e.  NN
2 1re 9673 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3 f1osng 5880 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  P  e.  Prime )  ->  { <. 1 ,  P >. } : { 1 } -1-1-onto-> { P } )
42, 3mpan 681 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  { <. 1 ,  P >. } : { 1 } -1-1-onto-> { P } )
5 f1of 5841 . . . . . 6  |-  ( {
<. 1 ,  P >. } : { 1 } -1-1-onto-> { P }  ->  {
<. 1 ,  P >. } : { 1 } --> { P }
)
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  { <. 1 ,  P >. } : { 1 } --> { P } )
7 snssi 4129 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  { P }  C_  Prime )
86, 7fssd 5765 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  { <. 1 ,  P >. } : { 1 } --> Prime )
9 prmex 14683 . . . . 5  |-  Prime  e.  _V
10 snex 4658 . . . . 5  |-  { 1 }  e.  _V
119, 10elmap 7531 . . . 4  |-  ( {
<. 1 ,  P >. }  e.  ( Prime  ^m  { 1 } )  <->  { <. 1 ,  P >. } : { 1 } --> Prime )
128, 11sylibr 217 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  { <. 1 ,  P >. }  e.  ( Prime  ^m  {
1 } ) )
13 simpl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  k  e.  { 1 } )  ->  P  e.  Prime )
14 fvsng 6127 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  P  e.  Prime )  -> 
( { <. 1 ,  P >. } `  1
)  =  P )
152, 13, 14sylancr 674 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  k  e.  { 1 } )  ->  ( { <. 1 ,  P >. } `
 1 )  =  P )
1615sumeq2dv 13824 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  sum_ k  e.  { 1 }  ( { <. 1 ,  P >. } `  1 )  =  sum_ k  e.  {
1 } P )
17 prmz 14681 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1817zcnd 11075 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  CC )
19 eqidd 2463 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  P  =  P )
2019sumsn 13862 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  P  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
1 } P  =  P )
212, 18, 20sylancr 674 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  sum_ k  e.  { 1 } P  =  P )
2216, 21eqtr2d 2497 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  = 
sum_ k  e.  {
1 }  ( {
<. 1 ,  P >. } `  1 ) )
23 3re 10716 . . . . 5  |-  3  e.  RR
24 1lt3 10812 . . . . 5  |-  1  <  3
252, 23, 24ltleii 9788 . . . 4  |-  1  <_  3
2622, 25jctil 544 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( 1  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  {
1 }  ( {
<. 1 ,  P >. } `  1 ) ) )
27 simpl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  { <. 1 ,  P >. }  /\  k  e.  {
1 } )  -> 
f  =  { <. 1 ,  P >. } )
28 elsni 4005 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { 1 }  ->  k  =  1 )
2928adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  { <. 1 ,  P >. }  /\  k  e.  {
1 } )  -> 
k  =  1 )
3027, 29fveq12d 5898 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  { <. 1 ,  P >. }  /\  k  e.  {
1 } )  -> 
( f `  k
)  =  ( {
<. 1 ,  P >. } `  1 ) )
3130sumeq2dv 13824 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. 1 ,  P >. }  ->  sum_ k  e.  { 1 }  (
f `  k )  =  sum_ k  e.  {
1 }  ( {
<. 1 ,  P >. } `  1 ) )
3231eqeq2d 2472 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. 1 ,  P >. }  ->  ( P  =  sum_ k  e. 
{ 1 }  (
f `  k )  <->  P  =  sum_ k  e.  {
1 }  ( {
<. 1 ,  P >. } `  1 ) ) )
3332anbi2d 715 . . . 4  |-  ( f  =  { <. 1 ,  P >. }  ->  (
( 1  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  { 1 }  ( f `  k ) )  <->  ( 1  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  {
1 }  ( {
<. 1 ,  P >. } `  1 ) ) ) )
3433rspcev 3162 . . 3  |-  ( ( { <. 1 ,  P >. }  e.  ( Prime  ^m  { 1 } )  /\  ( 1  <_ 
3  /\  P  =  sum_ k  e.  { 1 }  ( { <. 1 ,  P >. } `
 1 ) ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  { 1 } ) ( 1  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  {
1 }  ( f `
 k ) ) )
3512, 26, 34syl2anc 671 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  { 1 } ) ( 1  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  {
1 }  ( f `
 k ) ) )
36 oveq2 6328 . . . . . 6  |-  ( d  =  1  ->  (
1 ... d )  =  ( 1 ... 1
) )
37 1z 11001 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
38 fzsn 11875 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 1 )  =  { 1 }
4036, 39syl6eq 2512 . . . . 5  |-  ( d  =  1  ->  (
1 ... d )  =  { 1 } )
4140oveq2d 6336 . . . 4  |-  ( d  =  1  ->  ( Prime  ^m  ( 1 ... d ) )  =  ( Prime  ^m  { 1 } ) )
42 breq1 4421 . . . . 5  |-  ( d  =  1  ->  (
d  <_  3  <->  1  <_  3 ) )
4340sumeq1d 13822 . . . . . 6  |-  ( d  =  1  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k )  =  sum_ k  e.  { 1 }  ( f `  k ) )
4443eqeq2d 2472 . . . . 5  |-  ( d  =  1  ->  ( P  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k )  <->  P  =  sum_ k  e.  { 1 }  ( f `  k ) ) )
4542, 44anbi12d 722 . . . 4  |-  ( d  =  1  ->  (
( d  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )  <->  ( 1  <_ 
3  /\  P  =  sum_ k  e.  { 1 }  ( f `  k ) ) ) )
4641, 45rexeqbidv 3014 . . 3  |-  ( d  =  1  ->  ( E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k ) )  <->  E. f  e.  ( Prime  ^m  { 1 } ) ( 1  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  {
1 }  ( f `
 k ) ) ) )
4746rspcev 3162 . 2  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  E. f  e.  ( Prime  ^m  { 1 } ) ( 1  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  { 1 }  ( f `  k ) ) )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
481, 35, 47sylancr 674 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  P  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   E.wrex 2750   {csn 3980   <.cop 3986   class class class wbr 4418   -->wf 5601   -1-1-onto->wf1o 5604   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    ^m cmap 7503   CCcc 9568   RRcr 9569   1c1 9571    <_ cle 9707   NNcn 10642   3c3 10693   ZZcz 10971   ...cfz 11819   sum_csu 13807   Primecprime 14677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-sup 7987  df-oi 8056  df-card 8404  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-rp 11337  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-sum 13808  df-prm 14678
This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  39021  nnsum3primesle9  39024
  Copyright terms: Public domain W3C validator