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Theorem nnsum3primesle9 38702
Description: Every integer greater than 1 and less than or equal to 8 is the sum of at most 3 primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesle9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  <_  8 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
Distinct variable group:    N, d, f, k

Proof of Theorem nnsum3primesle9
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11115 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
2 8re 10640 . . . . . 6  |-  8  e.  RR
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  8  e.  RR )
41, 3leloed 9724 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  8  <->  ( N  <  8  \/  N  =  8 ) ) )
5 eluzelz 11114 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
6 7nn 10718 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
76nnzi 10907 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  ZZ
8 zleltp1 10933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  7  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  7  <->  N  <  ( 7  +  1 ) ) )
95, 7, 8sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  7  <->  N  <  ( 7  +  1 ) ) )
10 7re 10638 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  RR
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  7  e.  RR )
121, 11leloed 9724 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  7  <->  ( N  <  7  \/  N  =  7 ) ) )
13 7p1e8 10685 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  +  1 )  =  8
1413breq2i 4369 . . . . . . . . 9  |-  ( N  <  ( 7  +  1 )  <->  N  <  8 )
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  ( 7  +  1 )  <->  N  <  8
) )
169, 12, 153bitr3rd 287 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  8  <->  ( N  <  7  \/  N  =  7 ) ) )
17 6nn 10717 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
1817nnzi 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  ZZ
19 zleltp1 10933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  6  <->  N  <  ( 6  +  1 ) ) )
205, 18, 19sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  6  <->  N  <  ( 6  +  1 ) ) )
21 6re 10636 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  6  e.  RR )
231, 22leloed 9724 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  6  <->  ( N  <  6  \/  N  =  6 ) ) )
24 6p1e7 10684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  +  1 )  =  7
2524breq2i 4369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  <  ( 6  +  1 )  <->  N  <  7 )
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  ( 6  +  1 )  <->  N  <  7
) )
2720, 23, 263bitr3rd 287 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  7  <->  ( N  <  6  \/  N  =  6 ) ) )
28 5nn 10716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  NN
2928nnzi 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  ZZ
30 zleltp1 10933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  5  <->  N  <  ( 5  +  1 ) ) )
315, 29, 30sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  5  <->  N  <  ( 5  +  1 ) ) )
32 5re 10634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  5  e.  RR )
341, 33leloed 9724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  5  <->  ( N  <  5  \/  N  =  5 ) ) )
35 5p1e6 10683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  +  1 )  =  6
3635breq2i 4369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  <  ( 5  +  1 )  <->  N  <  6 )
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  ( 5  +  1 )  <->  N  <  6
) )
3831, 34, 373bitr3rd 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  6  <->  ( N  <  5  \/  N  =  5 ) ) )
39 4z 10917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  e.  ZZ
40 zleltp1 10933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  4  <->  N  <  ( 4  +  1 ) ) )
415, 39, 40sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  4  <->  N  <  ( 4  +  1 ) ) )
42 4re 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  4  e.  RR )
441, 43leloed 9724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  4  <->  ( N  <  4  \/  N  =  4 ) ) )
45 4p1e5 10682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  +  1 )  =  5
4645breq2i 4369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  <  ( 4  +  1 )  <->  N  <  5 )
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  ( 4  +  1 )  <->  N  <  5
) )
4841, 44, 473bitr3rd 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  5  <->  ( N  <  4  \/  N  =  4 ) ) )
49 3z 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  ZZ
50 zleltp1 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  3  <->  N  <  ( 3  +  1 ) ) )
515, 49, 50sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  3  <->  N  <  ( 3  +  1 ) ) )
52 3re 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  3  e.  RR )
541, 53leloed 9724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  3  <->  ( N  <  3  \/  N  =  3 ) ) )
55 3p1e4 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5655breq2i 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  <  ( 3  +  1 )  <->  N  <  4 )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  ( 3  +  1 )  <->  N  <  4
) )
5851, 54, 573bitr3rd 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  4  <->  ( N  <  3  \/  N  =  3 ) ) )
59 eluz2 11111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
60 2re 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
62 zre 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6361, 62leloed 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  <_  N  <->  ( 2  <  N  \/  2  =  N ) ) )
64 3m1e2 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 3  -  1 )  =  2
6564eqcomi 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  2  =  ( 3  -  1 )
6665breq1i 4368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2  <  N  <->  ( 3  -  1 )  < 
N )
67 zlem1lt 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  N  <->  ( 3  -  1 )  <  N ) )
6849, 67mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  <_  N  <->  ( 3  -  1 )  < 
N ) )
6968biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 3  -  1 )  <  N  -> 
3  <_  N )
)
7066, 69syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  <  N  ->  3  <_  N ) )
7152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  ZZ  ->  3  e.  RR )
7271, 62lenltd 9727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  <_  N  <->  -.  N  <  3 ) )
73 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  N  <  3  -> 
( N  <  3  ->  N  =  2 ) )
7472, 73syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  <_  N  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
7570, 74syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  <  N  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  <  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
77 eqcom 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  =  N  <->  N  = 
2 )
7877biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  =  N  ->  N  =  2 )
79782a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  =  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
8076, 79jaoi 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  <  N  \/  2  =  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
8180com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  <  N  \/  2  =  N
)  ->  ( N  <  3  ->  N  = 
2 ) ) )
8263, 81sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  <_  N  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
8382imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  -> 
( N  <  3  ->  N  =  2 ) )
84 2lt3 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  <  3
85 breq1 4364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =  2  ->  ( N  <  3  <->  2  <  3 ) )
8684, 85mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  =  2  ->  N  <  3 )
8783, 86impbid1 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  -> 
( N  <  3  <->  N  =  2 ) )
88873adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  ->  ( N  <  3  <->  N  = 
2 ) )
8959, 88sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  3  <->  N  =  2
) )
9089orbi1d 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  3  \/  N  =  3 )  <->  ( N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
9158, 90bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  4  <->  ( N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
9291orbi1d 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  4  \/  N  =  4 )  <->  ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 ) ) )
9348, 92bitrd 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  5  <->  ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 ) ) )
9493orbi1d 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  5  \/  N  =  5 )  <->  ( (
( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 ) ) )
9538, 94bitrd 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  6  <->  ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 ) ) )
9695orbi1d 707 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  6  \/  N  =  6 )  <->  ( (
( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 ) ) )
9727, 96bitrd 256 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  7  <->  ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 ) ) )
9897orbi1d 707 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  7  \/  N  =  7 )  <->  ( (
( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 ) ) )
9916, 98bitrd 256 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  8  <->  ( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 ) ) )
10099orbi1d 707 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  8  \/  N  =  8 )  <->  ( (
( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  \/  N  =  8 ) ) )
101100biimpd 210 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  8  \/  N  =  8 )  -> 
( ( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  \/  N  =  8 ) ) )
1024, 101sylbid 218 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  8  ->  ( (
( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  \/  N  =  8 ) ) )
103102imp 430 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  <_  8 )  ->  (
( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  \/  N  =  8 ) )
104 2prm 14578 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  Prime
105 eleq1 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  2  ->  ( N  e.  Prime  <->  2  e.  Prime ) )
106104, 105mpbiri 236 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  2  ->  N  e.  Prime )
107 nnsum3primesprm 38698 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Prime  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
108106, 107syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  2  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
109 3prm 14579 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  Prime
110 eleq1 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  3  ->  ( N  e.  Prime  <->  3  e.  Prime ) )
111109, 110mpbiri 236 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  3  ->  N  e.  Prime )
112111, 107syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  3  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
113108, 112jaoi 380 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
114 nnsum3primes4 38696 . . . . . . . 8  |-  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )
115 eqeq1 2427 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  4  ->  ( N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k )  <->  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
116115anbi2d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  4  ->  (
( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )  <->  ( d  <_ 
3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) ) )
1171162rexbidv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  4  ->  ( E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) )  <->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) ) )
118114, 117mpbiri 236 . . . . . . 7  |-  ( N  =  4  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
119113, 118jaoi 380 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
120 5prm 15018 . . . . . . . 8  |-  5  e.  Prime
121 eleq1 2489 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  5  ->  ( N  e.  Prime  <->  5  e.  Prime ) )
122120, 121mpbiri 236 . . . . . . 7  |-  ( N  =  5  ->  N  e.  Prime )
123122, 107syl 17 . . . . . 6  |-  ( N  =  5  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
124119, 123jaoi 380 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
125 6gbe 38685 . . . . . . 7  |-  6  e. GoldbachEven
126 eleq1 2489 . . . . . . 7  |-  ( N  =  6  ->  ( N  e. GoldbachEven  <->  6  e. GoldbachEven  ) )
127125, 126mpbiri 236 . . . . . 6  |-  ( N  =  6  ->  N  e. GoldbachEven  )
128 nnsum3primesgbe 38700 . . . . . 6  |-  ( N  e. GoldbachEven  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
129127, 128syl 17 . . . . 5  |-  ( N  =  6  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
130124, 129jaoi 380 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
131 7prm 15020 . . . . . 6  |-  7  e.  Prime
132 eleq1 2489 . . . . . 6  |-  ( N  =  7  ->  ( N  e.  Prime  <->  7  e.  Prime ) )
133131, 132mpbiri 236 . . . . 5  |-  ( N  =  7  ->  N  e.  Prime )
134133, 107syl 17 . . . 4  |-  ( N  =  7  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
135130, 134jaoi 380 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
136 8gbe 38687 . . . . 5  |-  8  e. GoldbachEven
137 eleq1 2489 . . . . 5  |-  ( N  =  8  ->  ( N  e. GoldbachEven  <->  8  e. GoldbachEven  ) )
138136, 137mpbiri 236 . . . 4  |-  ( N  =  8  ->  N  e. GoldbachEven  )
139138, 128syl 17 . . 3  |-  ( N  =  8  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
140135, 139jaoi 380 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  \/  N  =  8 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
141103, 140syl 17 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  <_  8 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   E.wrex 2710   class class class wbr 4361   ` cfv 5539  (class class class)co 6244    ^m cmap 7422   RRcr 9484   1c1 9486    + caddc 9488    < clt 9621    <_ cle 9622    - cmin 9806   NNcn 10555   2c2 10605   3c3 10606   4c4 10607   5c5 10608   6c6 10609   7c7 10610   8c8 10611   ZZcz 10883   ZZ>=cuz 11105   ...cfz 11730   sum_csu 13690   Primecprime 14560   GoldbachEven cgbe 38659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-pre-sup 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-se 4751  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-isom 5548  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-sup 7904  df-inf 7905  df-oi 7973  df-card 8320  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10216  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-4 10616  df-5 10617  df-6 10618  df-7 10619  df-8 10620  df-9 10621  df-10 10622  df-n0 10816  df-z 10884  df-dec 10998  df-uz 11106  df-rp 11249  df-fz 11731  df-fzo 11862  df-seq 12159  df-exp 12218  df-hash 12461  df-cj 13101  df-re 13102  df-im 13103  df-sqrt 13237  df-abs 13238  df-clim 13490  df-sum 13691  df-dvds 14244  df-prm 14561  df-even 38568  df-odd 38569  df-gbe 38662
This theorem is referenced by:  nnsum4primesle9  38703  bgoldbnnsum3prm  38712
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