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Theorem nnsum3primesle9 38279
Description: Every integer greater than 1 and less than or equal to 8 is the sum of at most 3 primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesle9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  <_  8 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
Distinct variable group:    N, d, f, k

Proof of Theorem nnsum3primesle9
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11169 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  RR )
2 8re 10694 . . . . . 6  |-  8  e.  RR
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  8  e.  RR )
41, 3leloed 9777 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  8  <->  ( N  <  8  \/  N  =  8 ) ) )
5 eluzelz 11168 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
6 7nn 10772 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
76nnzi 10961 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  ZZ
8 zleltp1 10987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  7  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  7  <->  N  <  ( 7  +  1 ) ) )
95, 7, 8sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  7  <->  N  <  ( 7  +  1 ) ) )
10 7re 10692 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  RR
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  7  e.  RR )
121, 11leloed 9777 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  7  <->  ( N  <  7  \/  N  =  7 ) ) )
13 7p1e8 10739 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  +  1 )  =  8
1413breq2i 4434 . . . . . . . . 9  |-  ( N  <  ( 7  +  1 )  <->  N  <  8 )
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  ( 7  +  1 )  <->  N  <  8
) )
169, 12, 153bitr3rd 287 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  8  <->  ( N  <  7  \/  N  =  7 ) ) )
17 6nn 10771 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
1817nnzi 10961 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  ZZ
19 zleltp1 10987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  6  <->  N  <  ( 6  +  1 ) ) )
205, 18, 19sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  6  <->  N  <  ( 6  +  1 ) ) )
21 6re 10690 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  6  e.  RR )
231, 22leloed 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  6  <->  ( N  <  6  \/  N  =  6 ) ) )
24 6p1e7 10738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  +  1 )  =  7
2524breq2i 4434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  <  ( 6  +  1 )  <->  N  <  7 )
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  ( 6  +  1 )  <->  N  <  7
) )
2720, 23, 263bitr3rd 287 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  7  <->  ( N  <  6  \/  N  =  6 ) ) )
28 5nn 10770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  NN
2928nnzi 10961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  ZZ
30 zleltp1 10987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  5  <->  N  <  ( 5  +  1 ) ) )
315, 29, 30sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  5  <->  N  <  ( 5  +  1 ) ) )
32 5re 10688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  5  e.  RR )
341, 33leloed 9777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  5  <->  ( N  <  5  \/  N  =  5 ) ) )
35 5p1e6 10737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  +  1 )  =  6
3635breq2i 4434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  <  ( 5  +  1 )  <->  N  <  6 )
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  ( 5  +  1 )  <->  N  <  6
) )
3831, 34, 373bitr3rd 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  6  <->  ( N  <  5  \/  N  =  5 ) ) )
39 4z 10971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  e.  ZZ
40 zleltp1 10987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  4  <->  N  <  ( 4  +  1 ) ) )
415, 39, 40sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  4  <->  N  <  ( 4  +  1 ) ) )
42 4re 10686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  4  e.  RR )
441, 43leloed 9777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  4  <->  ( N  <  4  \/  N  =  4 ) ) )
45 4p1e5 10736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  +  1 )  =  5
4645breq2i 4434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  <  ( 4  +  1 )  <->  N  <  5 )
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  ( 4  +  1 )  <->  N  <  5
) )
4841, 44, 473bitr3rd 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  5  <->  ( N  <  4  \/  N  =  4 ) ) )
49 3z 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  ZZ
50 zleltp1 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  3  <->  N  <  ( 3  +  1 ) ) )
515, 49, 50sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  3  <->  N  <  ( 3  +  1 ) ) )
52 3re 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  e.  RR
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  3  e.  RR )
541, 53leloed 9777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  3  <->  ( N  <  3  \/  N  =  3 ) ) )
55 3p1e4 10735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  +  1 )  =  4
5655breq2i 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  <  ( 3  +  1 )  <->  N  <  4 )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  ( 3  +  1 )  <->  N  <  4
) )
5851, 54, 573bitr3rd 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  4  <->  ( N  <  3  \/  N  =  3 ) ) )
59 eluz2 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
60 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
62 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6361, 62leloed 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  <_  N  <->  ( 2  <  N  \/  2  =  N ) ) )
64 3m1e2 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 3  -  1 )  =  2
6564eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  2  =  ( 3  -  1 )
6665breq1i 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 2  <  N  <->  ( 3  -  1 )  < 
N )
67 zlem1lt 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  N  <->  ( 3  -  1 )  <  N ) )
6849, 67mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  <_  N  <->  ( 3  -  1 )  < 
N ) )
6968biimprd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 3  -  1 )  <  N  -> 
3  <_  N )
)
7066, 69syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  <  N  ->  3  <_  N ) )
7152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  ZZ  ->  3  e.  RR )
7271, 62lenltd 9780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  <_  N  <->  -.  N  <  3 ) )
73 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  N  <  3  -> 
( N  <  3  ->  N  =  2 ) )
7472, 73syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
3  <_  N  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
7570, 74syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  <  N  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  <  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
77 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 2  =  N  <->  N  = 
2 )
7877biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  =  N  ->  N  =  2 )
79782a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  =  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
8076, 79jaoi 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  <  N  \/  2  =  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
8180com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  <  N  \/  2  =  N
)  ->  ( N  <  3  ->  N  = 
2 ) ) )
8263, 81sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  <_  N  ->  ( N  <  3  ->  N  =  2 ) ) )
8382imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  -> 
( N  <  3  ->  N  =  2 ) )
84 2lt3 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  <  3
85 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =  2  ->  ( N  <  3  <->  2  <  3 ) )
8684, 85mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  =  2  ->  N  <  3 )
8783, 86impbid1 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  -> 
( N  <  3  <->  N  =  2 ) )
88873adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N )  ->  ( N  <  3  <->  N  = 
2 ) )
8959, 88sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  3  <->  N  =  2
) )
9089orbi1d 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  3  \/  N  =  3 )  <->  ( N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
9158, 90bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  4  <->  ( N  =  2  \/  N  =  3 ) ) )
9291orbi1d 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  4  \/  N  =  4 )  <->  ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 ) ) )
9348, 92bitrd 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  5  <->  ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 ) ) )
9493orbi1d 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  5  \/  N  =  5 )  <->  ( (
( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 ) ) )
9538, 94bitrd 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  6  <->  ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 ) ) )
9695orbi1d 707 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  6  \/  N  =  6 )  <->  ( (
( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 ) ) )
9727, 96bitrd 256 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  7  <->  ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 ) ) )
9897orbi1d 707 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  7  \/  N  =  7 )  <->  ( (
( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 ) ) )
9916, 98bitrd 256 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <  8  <->  ( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 ) ) )
10099orbi1d 707 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  8  \/  N  =  8 )  <->  ( (
( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  \/  N  =  8 ) ) )
101100biimpd 210 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( N  <  8  \/  N  =  8 )  -> 
( ( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  \/  N  =  8 ) ) )
1024, 101sylbid 218 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  <_  8  ->  ( (
( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  \/  N  =  8 ) ) )
103102imp 430 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  <_  8 )  ->  (
( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  \/  N  =  8 ) )
104 2prm 14611 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  Prime
105 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  2  ->  ( N  e.  Prime  <->  2  e.  Prime ) )
106104, 105mpbiri 236 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  2  ->  N  e.  Prime )
107 nnsum3primesprm 38275 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Prime  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
108106, 107syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  2  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
109 3prm 14612 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  Prime
110 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  3  ->  ( N  e.  Prime  <->  3  e.  Prime ) )
111109, 110mpbiri 236 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  3  ->  N  e.  Prime )
112111, 107syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  3  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
113108, 112jaoi 380 . . . . . . 7  |-  ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
114 nnsum3primes4 38273 . . . . . . . 8  |-  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )
115 eqeq1 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  =  4  ->  ( N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k )  <->  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
116115anbi2d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  4  ->  (
( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )  <->  ( d  <_ 
3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) ) )
1171162rexbidv 2953 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  4  ->  ( E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) )  <->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) ) )
118114, 117mpbiri 236 . . . . . . 7  |-  ( N  =  4  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
119113, 118jaoi 380 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
120 5prm 15043 . . . . . . . 8  |-  5  e.  Prime
121 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  5  ->  ( N  e.  Prime  <->  5  e.  Prime ) )
122120, 121mpbiri 236 . . . . . . 7  |-  ( N  =  5  ->  N  e.  Prime )
123122, 107syl 17 . . . . . 6  |-  ( N  =  5  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
124119, 123jaoi 380 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
125 6gbe 38262 . . . . . . 7  |-  6  e. GoldbachEven
126 eleq1 2501 . . . . . . 7  |-  ( N  =  6  ->  ( N  e. GoldbachEven  <->  6  e. GoldbachEven  ) )
127125, 126mpbiri 236 . . . . . 6  |-  ( N  =  6  ->  N  e. GoldbachEven  )
128 nnsum3primesgbe 38277 . . . . . 6  |-  ( N  e. GoldbachEven  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
129127, 128syl 17 . . . . 5  |-  ( N  =  6  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
130124, 129jaoi 380 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
131 7prm 15045 . . . . . 6  |-  7  e.  Prime
132 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( N  =  7  ->  ( N  e.  Prime  <->  7  e.  Prime ) )
133131, 132mpbiri 236 . . . . 5  |-  ( N  =  7  ->  N  e.  Prime )
134133, 107syl 17 . . . 4  |-  ( N  =  7  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
135130, 134jaoi 380 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
136 8gbe 38264 . . . . 5  |-  8  e. GoldbachEven
137 eleq1 2501 . . . . 5  |-  ( N  =  8  ->  ( N  e. GoldbachEven  <->  8  e. GoldbachEven  ) )
138136, 137mpbiri 236 . . . 4  |-  ( N  =  8  ->  N  e. GoldbachEven  )
139138, 128syl 17 . . 3  |-  ( N  =  8  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
140135, 139jaoi 380 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( ( N  =  2  \/  N  =  3 )  \/  N  =  4 )  \/  N  =  5 )  \/  N  =  6 )  \/  N  =  7 )  \/  N  =  8 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
141103, 140syl 17 1  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  <_  8 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  N  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   RRcr 9537   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   5c5 10662   6c6 10663   7c7 10664   8c8 10665   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   sum_csu 13730   Primecprime 14593   GoldbachEven cgbe 38236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-dvds 14284  df-prm 14594  df-even 38145  df-odd 38146  df-gbe 38239
This theorem is referenced by:  nnsum4primesle9  38280  bgoldbnnsum3prm  38289
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