Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primes4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nnsum3primes4 38920
Description: 4 is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primes4  |-  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )
Distinct variable group:    f, d, k

Proof of Theorem nnsum3primes4
StepHypRef Expression
1 2nn 10795 . 2  |-  2  e.  NN
2 1ne2 10850 . . . . 5  |-  1  =/=  2
3 1ex 9663 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
4 2ex 10708 . . . . . 6  |-  2  e.  _V
53, 4, 4, 4fpr 6095 . . . . 5  |-  ( 1  =/=  2  ->  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  2
>. } : { 1 ,  2 } --> { 2 ,  2 } )
6 2prm 14688 . . . . . . . 8  |-  2  e.  Prime
76, 6pm3.2i 461 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )
84, 4prss 4138 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )  <->  { 2 ,  2 }  C_  Prime )
97, 8mpbi 213 . . . . . 6  |-  { 2 ,  2 }  C_  Prime
10 fss 5759 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } : {
1 ,  2 } --> { 2 ,  2 }  /\  { 2 ,  2 }  C_  Prime )  ->  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  2 >. } : { 1 ,  2 } --> Prime )
119, 10mpan2 682 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } : {
1 ,  2 } --> { 2 ,  2 }  ->  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  2 >. } : { 1 ,  2 } --> Prime )
122, 5, 11mp2b 10 . . . 4  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  2
>. } : { 1 ,  2 } --> Prime
13 prmex 14676 . . . . 5  |-  Prime  e.  _V
14 prex 4655 . . . . 5  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
1513, 14elmap 7525 . . . 4  |-  ( {
<. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  ( Prime  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } : {
1 ,  2 } --> Prime )
1612, 15mpbir 214 . . 3  |-  { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  2
>. }  e.  ( Prime  ^m  { 1 ,  2 } )
17 2re 10706 . . . . 5  |-  2  e.  RR
18 3re 10710 . . . . 5  |-  3  e.  RR
19 2lt3 10805 . . . . 5  |-  2  <  3
2017, 18, 19ltleii 9782 . . . 4  |-  2  <_  3
21 2cn 10707 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
22 fveq2 5887 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  k
)  =  ( {
<. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
) )
233, 4fvpr1 6130 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
)  =  2 )
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  1
)  =  2
2522, 24syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  k
)  =  2 )
26 fveq2 5887 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  k
)  =  ( {
<. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
) )
274, 4fvpr2 6131 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
)  =  2 )
282, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  2
)  =  2
2926, 28syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  ->  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  k
)  =  2 )
30 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  ->  2  e.  CC )
3130ancri 559 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2  e.  CC  /\  2  e.  CC )
)
323jctl 548 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
1  e.  _V  /\  2  e.  CC )
)
332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  ->  1  =/=  2 )
3425, 29, 31, 32, 33sumpr 13857 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  ->  sum_ k  e.  { 1 ,  2 }  ( { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  2
>. } `  k )  =  ( 2  +  2 ) )
3521, 34ax-mp 5 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  { 1 ,  2 }  ( { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  2
>. } `  k )  =  ( 2  +  2 )
36 2p2e4 10755 . . . . 5  |-  ( 2  +  2 )  =  4
3735, 36eqtr2i 2484 . . . 4  |-  4  =  sum_ k  e.  {
1 ,  2 }  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  2 >. } `
 k )
3820, 37pm3.2i 461 . . 3  |-  ( 2  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  {
1 ,  2 }  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  2 >. } `
 k ) )
39 fveq1 5886 . . . . . . 7  |-  ( f  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( f `  k )  =  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  k
) )
4039sumeq2sdv 13818 . . . . . 6  |-  ( f  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  sum_ k  e.  {
1 ,  2 }  ( f `  k
)  =  sum_ k  e.  { 1 ,  2 }  ( { <. 1 ,  2 >. , 
<. 2 ,  2
>. } `  k ) )
4140eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( f  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( 4  = 
sum_ k  e.  {
1 ,  2 }  ( f `  k
)  <->  4  =  sum_ k  e.  { 1 ,  2 }  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  k
) ) )
4241anbi2d 715 . . . 4  |-  ( f  =  { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  2 >. }  ->  ( ( 2  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  {
1 ,  2 }  ( f `  k
) )  <->  ( 2  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  {
1 ,  2 }  ( { <. 1 ,  2 >. ,  <. 2 ,  2 >. } `
 k ) ) ) )
4342rspcev 3161 . . 3  |-  ( ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. }  e.  ( Prime  ^m  { 1 ,  2 } )  /\  ( 2  <_ 
3  /\  4  =  sum_ k  e.  { 1 ,  2 }  ( { <. 1 ,  2
>. ,  <. 2 ,  2 >. } `  k
) ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  { 1 ,  2 } ) ( 2  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e. 
{ 1 ,  2 }  ( f `  k ) ) )
4416, 38, 43mp2an 683 . 2  |-  E. f  e.  ( Prime  ^m  { 1 ,  2 } ) ( 2  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  { 1 ,  2 }  (
f `  k )
)
45 oveq2 6322 . . . . . 6  |-  ( d  =  2  ->  (
1 ... d )  =  ( 1 ... 2
) )
46 df-2 10695 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4746oveq2i 6325 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... 2 )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
48 1z 10995 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
49 fzpr 11879 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
51 1p1e2 10750 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  1 )  =  2
5251preq2i 4067 . . . . . . . 8  |-  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }  =  { 1 ,  2 }
5350, 52eqtri 2483 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  2 }
5447, 53eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 2 )  =  { 1 ,  2 }
5545, 54syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( d  =  2  ->  (
1 ... d )  =  { 1 ,  2 } )
5655oveq2d 6330 . . . 4  |-  ( d  =  2  ->  ( Prime  ^m  ( 1 ... d ) )  =  ( Prime  ^m  { 1 ,  2 } ) )
57 breq1 4418 . . . . 5  |-  ( d  =  2  ->  (
d  <_  3  <->  2  <_  3 ) )
5855sumeq1d 13815 . . . . . 6  |-  ( d  =  2  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k )  =  sum_ k  e.  { 1 ,  2 }  (
f `  k )
)
5958eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( d  =  2  ->  (
4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k )  <->  4  =  sum_ k  e.  { 1 ,  2 }  (
f `  k )
) )
6057, 59anbi12d 722 . . . 4  |-  ( d  =  2  ->  (
( d  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )  <->  ( 2  <_ 
3  /\  4  =  sum_ k  e.  { 1 ,  2 }  (
f `  k )
) ) )
6156, 60rexeqbidv 3013 . . 3  |-  ( d  =  2  ->  ( E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k ) )  <->  E. f  e.  ( Prime  ^m  { 1 ,  2 } ) ( 2  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  { 1 ,  2 }  (
f `  k )
) ) )
6261rspcev 3161 . 2  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  E. f  e.  ( Prime  ^m  { 1 ,  2 } ) ( 2  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  {
1 ,  2 }  ( f `  k
) ) )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
631, 44, 62mp2an 683 1  |-  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  4  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   E.wrex 2749   _Vcvv 3056    C_ wss 3415   {cpr 3981   <.cop 3985   class class class wbr 4415   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    ^m cmap 7497   CCcc 9562   1c1 9565    + caddc 9567    <_ cle 9701   NNcn 10636   2c2 10686   3c3 10687   4c4 10688   ZZcz 10965   ...cfz 11812   sum_csu 13800   Primecprime 14670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-rp 11331  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-sum 13801  df-dvds 14354  df-prm 14671
This theorem is referenced by:  nnsum4primes4  38921  nnsum3primesle9  38926
  Copyright terms: Public domain W3C validator