Theorem nnsuc 3969

Description: A nonzero natural number is a successor.

Assertion

Ref	Expression
nnsuc	|- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. om A = suc x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem nnsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnlim 3964	. . . 4 |- (A e. om -> -. Lim A)
2	1	adantr 425	. . 3 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> -. Lim A)
3		orduninsuc 3925	. . . . . 6 |- (Ord A -> (A = U.A <-> -. E.x e. On A = suc x))
4	3	adantr 425	. . . . 5 |- ((Ord A /\ A =/= (/)) -> (A = U.A <-> -. E.x e. On A = suc x))
5		df-lim 3662	. . . . . . 7 |- (Lim A <-> (Ord A /\ A =/= (/) /\ A = U.A))
6	5	biimpri 169	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ A =/= (/) /\ A = U.A) -> Lim A)
7	6	3expia 1069	. . . . 5 |- ((Ord A /\ A =/= (/)) -> (A = U.A -> Lim A))
8	4, 7	sylbird 222	. . . 4 |- ((Ord A /\ A =/= (/)) -> (-. E.x e. On A = suc x -> Lim A))
9		nnord 3959	. . . 4 |- (A e. om -> Ord A)
10	8, 9	sylan 497	. . 3 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> (-. E.x e. On A = suc x -> Lim A))
11	2, 10	mt3d 129	. 2 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. On A = suc x)
12		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- (A = suc x -> (A e. om <-> suc x e. om))
13	12	biimpcd 172	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (A = suc x -> suc x e. om))
14		peano2b 3968	. . . . . . 7 |- (x e. om <-> suc x e. om)
15	13, 14	syl6ibr 230	. . . . . 6 |- (A e. om -> (A = suc x -> x e. om))
16	15	ancrd 323	. . . . 5 |- (A e. om -> (A = suc x -> (x e. om /\ A = suc x)))
17	16	adantld 426	. . . 4 |- (A e. om -> ((x e. On /\ A = suc x) -> (x e. om /\ A = suc x)))
18	17	reximdv2 2200	. . 3 |- (A e. om -> (E.x e. On A = suc x -> E.x e. om A = suc x))
19	18	adantr 425	. 2 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> (E.x e. On A = suc x -> E.x e. om A = suc x))
20	11, 19	mpd 29	1 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. om A = suc x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106  (/)c0 2875  U.cuni 3177  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  suc csuc 3659  omcom 3949

This theorem is referenced by:  peano5 3975  nn0suc 3976  inf3lemd 5718  bnj158 12483  bnj214 12508  bnj1098 12917  bnj594 13300

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950

Copyright terms: Public domain