Theorem nnsubi 7140

Description: Subtraction of natural numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
nnsub.1	|- A e. NN
nnsub.2	|- B e. NN

Assertion

Ref	Expression
nnsubi	|- (A < B <-> (B - A) e. NN)

Proof of Theorem nnsubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsub.2	. . 3 |- B e. NN
2		breq2 3342	. . . . 5 |- (x = 1 -> (A < x <-> A < 1))
3		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (x = 1 -> (x - A) = (1 - A))
4	3	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = 1 -> ((x - A) e. NN <-> (1 - A) e. NN))
5	2, 4	imbi12d 688	. . . 4 |- (x = 1 -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < 1 -> (1 - A) e. NN)))
6		breq2 3342	. . . . 5 |- (x = y -> (A < x <-> A < y))
7		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (x = y -> (x - A) = (y - A))
8	7	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = y -> ((x - A) e. NN <-> (y - A) e. NN))
9	6, 8	imbi12d 688	. . . 4 |- (x = y -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < y -> (y - A) e. NN)))
10		breq2 3342	. . . . 5 |- (x = (y + 1) -> (A < x <-> A < (y + 1)))
11		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (x = (y + 1) -> (x - A) = ((y + 1) - A))
12	11	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = (y + 1) -> ((x - A) e. NN <-> ((y + 1) - A) e. NN))
13	10, 12	imbi12d 688	. . . 4 |- (x = (y + 1) -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < (y + 1) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
14		breq2 3342	. . . . 5 |- (x = B -> (A < x <-> A < B))
15		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (x = B -> (x - A) = (B - A))
16	15	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = B -> ((x - A) e. NN <-> (B - A) e. NN))
17	14, 16	imbi12d 688	. . . 4 |- (x = B -> ((A < x -> (x - A) e. NN) <-> (A < B -> (B - A) e. NN)))
18		nnsub.1	. . . . . . 7 |- A e. NN
19		nnge1 7126	. . . . . . 7 |- (A e. NN -> 1 <_ A)
20	18, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- 1 <_ A
21		1re 6598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
22	18	nnrei 7114	. . . . . . 7 |- A e. RR
23	21, 22	lenlti 6753	. . . . . 6 |- (1 <_ A <-> -. A < 1)
24	20, 23	mpbi 206	. . . . 5 |- -. A < 1
25	24	pm2.21i 93	. . . 4 |- (A < 1 -> (1 - A) e. NN)
26		leloe 6688	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ y e. RR) -> (A <_ y <-> (A < y \/ A = y)))
27		nnre 7112	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> y e. RR)
28	26, 22, 27	sylancr 526	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A <_ y <-> (A < y \/ A = y)))
29		nnleltp1 7138	. . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ y e. NN) -> (A <_ y <-> A < (y + 1)))
30	18, 29	mpan 759	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A <_ y <-> A < (y + 1)))
31	28, 30	bitr3d 589	. . . . . 6 |- (y e. NN -> ((A < y \/ A = y) <-> A < (y + 1)))
32		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
33		addsub 6542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. CC /\ 1 e. CC /\ A e. CC) -> ((y + 1) - A) = ((y - A) + 1))
34	32, 33	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ A e. CC) -> ((y + 1) - A) = ((y - A) + 1))
35		nncn 7113	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y e. CC)
36	18	nncni 7115	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. CC
37	34, 35, 36	sylancl 525	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. NN -> ((y + 1) - A) = ((y - A) + 1))
38	37	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (y e. NN -> (((y + 1) - A) e. NN <-> ((y - A) + 1) e. NN))
39		peano2nn 7118	. . . . . . . . . 10 |- ((y - A) e. NN -> ((y - A) + 1) e. NN)
40	38, 39	syl5bir 227	. . . . . . . . 9 |- (y e. NN -> ((y - A) e. NN -> ((y + 1) - A) e. NN))
41	40	imim2d 28	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> (A < y -> ((y + 1) - A) e. NN)))
42	41	com23 36	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A < y -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
43		opreq1 4889	. . . . . . . . . . 11 |- (A = y -> (A + 1) = (y + 1))
44	43	opreq1d 4897	. . . . . . . . . 10 |- (A = y -> ((A + 1) - A) = ((y + 1) - A))
45	36, 32, 36	addsubi 6547	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A + 1) - A) = ((A - A) + 1)
46	36	subidi 6551	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A - A) = 0
47	46	opreq1i 4892	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A - A) + 1) = (0 + 1)
48	32	addid2i 6484	. . . . . . . . . . . 12 |- (0 + 1) = 1
49	45, 47, 48	3eqtri 1912	. . . . . . . . . . 11 |- ((A + 1) - A) = 1
50		1nn 7117	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
51	49, 50	eqeltri 1967	. . . . . . . . . 10 |- ((A + 1) - A) e. NN
52	44, 51	syl6eqelr 1980	. . . . . . . . 9 |- (A = y -> ((y + 1) - A) e. NN)
53	52	a1d 15	. . . . . . . 8 |- (A = y -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN))
54	53	a1i 8	. . . . . . 7 |- (y e. NN -> (A = y -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
55	42, 54	jaod 469	. . . . . 6 |- (y e. NN -> ((A < y \/ A = y) -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
56	31, 55	sylbird 222	. . . . 5 |- (y e. NN -> (A < (y + 1) -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
57	56	com23 36	. . . 4 |- (y e. NN -> ((A < y -> (y - A) e. NN) -> (A < (y + 1) -> ((y + 1) - A) e. NN)))
58	5, 9, 13, 17, 25, 57	nnind 7120	. . 3 |- (B e. NN -> (A < B -> (B - A) e. NN))
59	1, 58	ax-mp 7	. 2 |- (A < B -> (B - A) e. NN)
60		nngt0 7129	. . 3 |- ((B - A) e. NN -> 0 < (B - A))
61	1	nnrei 7114	. . . 4 |- B e. RR
62	22, 61	posdifi 6854	. . 3 |- (A < B <-> 0 < (B - A))
63	60, 62	sylibr 217	. 2 |- ((B - A) e. NN -> A < B)
64	59, 63	impbii 174	1 |- (A < B <-> (B - A) e. NN)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653

This theorem is referenced by:  nnsub 7141  cvgratlem2ALT 8510

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108

Copyright terms: Public domain