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Theorem nnsub 10360
Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsub  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nnsub
Dummy variables  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
z  <  x  <->  z  <  1 ) )
2 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  -  z )  =  ( 1  -  z ) )
32eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( 1  -  z )  e.  NN ) )
41, 3imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  1  ->  ( 1  -  z
)  e.  NN ) ) )
54ralbidv 2735 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  ( 1  -  z
)  e.  NN ) ) )
6 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
z  <  x  <->  z  <  y ) )
7 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  z )  =  ( y  -  z ) )
87eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( y  -  z )  e.  NN ) )
96, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN ) ) )
109ralbidv 2735 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN ) ) )
11 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
z  <  x  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
12 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  -  z )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
1312eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
1411, 13imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
1514ralbidv 2735 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
16 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <  x  <->  z  <  B ) )
17 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x  -  z )  =  ( B  -  z ) )
1817eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( B  -  z )  e.  NN ) )
1916, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN ) ) )
2019ralbidv 2735 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN ) ) )
21 nnnlt1 10352 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  z  <  1 )
2221pm2.21d 106 . . . . 5  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <  1  ->  ( 1  -  z )  e.  NN ) )
2322rgen 2781 . . . 4  |-  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  ( 1  -  z )  e.  NN )
24 breq1 4295 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  <  y  <->  x  <  y ) )
25 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
y  -  z )  =  ( y  -  x ) )
2625eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  -  z
)  e.  NN  <->  ( y  -  x )  e.  NN ) )
2724, 26imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( x  <  y  ->  ( y  -  x
)  e.  NN ) ) )
2827cbvralv 2947 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  NN  (
z  <  y  ->  ( y  -  z )  e.  NN )  <->  A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN ) )
29 nncn 10330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
31 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
32 pncan 9616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
3330, 31, 32sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
34 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
3533, 34eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  e.  NN )
36 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
( y  +  1 )  -  z )  =  ( ( y  +  1 )  - 
1 ) )
3736eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
( ( y  +  1 )  -  z
)  e.  NN  <->  ( (
y  +  1 )  -  1 )  e.  NN ) )
3835, 37syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
3938a1dd 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
4039a1dd 46 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) ) )
41 breq1 4295 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
x  <  y  <->  ( z  -  1 )  < 
y ) )
42 oveq2 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
y  -  x )  =  ( y  -  ( z  -  1 ) ) )
4342eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
( y  -  x
)  e.  NN  <->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN ) )
4441, 43imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
( x  <  y  ->  ( y  -  x
)  e.  NN )  <-> 
( ( z  - 
1 )  <  y  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  e.  NN ) ) )
4544rspcv 3069 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  -  1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  <  y  -> 
( y  -  x
)  e.  NN )  ->  ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN ) ) )
46 nnre 10329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
47 nnre 10329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
48 1re 9385 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
49 ltsubadd 9809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  -  1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
5048, 49mp3an2 1302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  - 
1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
5146, 47, 50syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  - 
1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
52 nncn 10330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
53 subsub3 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
y  -  ( z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5431, 53mp3an3 1303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5529, 52, 54syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5655eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  -  ( z  -  1 ) )  e.  NN  <->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
5751, 56imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN )  <->  ( z  <  ( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
5857biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN )  ->  (
z  <  ( y  +  1 )  -> 
( ( y  +  1 )  -  z
)  e.  NN ) ) )
5945, 58syl9r 72 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  - 
1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) ) )
60 nn1m1nn 10342 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  =  1  \/  ( z  -  1 )  e.  NN ) )
6160adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  \/  ( z  - 
1 )  e.  NN ) )
6240, 59, 61mpjaod 381 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
6362ralrimdva 2806 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  <  y  -> 
( y  -  x
)  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
6428, 63syl5bi 217 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
655, 10, 15, 20, 23, 64nnind 10340 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
B  ->  ( B  -  z )  e.  NN ) )
66 breq1 4295 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z  <  B  <->  A  <  B ) )
67 oveq2 6099 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( B  -  z )  =  ( B  -  A ) )
6867eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( B  -  z
)  e.  NN  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
6966, 68imbi12d 320 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( A  <  B  ->  ( B  -  A
)  e.  NN ) ) )
7069rspcva 3071 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A. z  e.  NN  (
z  <  B  ->  ( B  -  z )  e.  NN ) )  ->  ( A  < 
B  ->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
7165, 70sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  -  A
)  e.  NN ) )
72 nngt0 10351 . . 3  |-  ( ( B  -  A )  e.  NN  ->  0  <  ( B  -  A
) )
73 nnre 10329 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
74 nnre 10329 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
75 posdif 9832 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
7673, 74, 75syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
7772, 76syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( B  -  A )  e.  NN  ->  A  <  B ) )
7871, 77impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    < clt 9418    - cmin 9595   NNcn 10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323
This theorem is referenced by:  nnsubi  10361  nn0sub  10630  faclbnd4lem4  12072  pythagtriplem13  13894  vdwlem12  14053  perfectlem1  22568  nndivsub  28303  uz3m2nn  30195
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