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Theorem nnsub 10573
Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsub  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nnsub
Dummy variables  z  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
z  <  x  <->  z  <  1 ) )
2 oveq1 6290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  -  z )  =  ( 1  -  z ) )
32eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( 1  -  z )  e.  NN ) )
41, 3imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  1  ->  ( 1  -  z
)  e.  NN ) ) )
54ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  ( 1  -  z
)  e.  NN ) ) )
6 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
z  <  x  <->  z  <  y ) )
7 oveq1 6290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  z )  =  ( y  -  z ) )
87eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( y  -  z )  e.  NN ) )
96, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN ) ) )
109ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN ) ) )
11 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
z  <  x  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
12 oveq1 6290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  -  z )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
1312eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
1411, 13imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
1514ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
16 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <  x  <->  z  <  B ) )
17 oveq1 6290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
x  -  z )  =  ( B  -  z ) )
1817eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  -  z
)  e.  NN  <->  ( B  -  z )  e.  NN ) )
1916, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN ) ) )
2019ralbidv 2903 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  x  ->  ( x  -  z
)  e.  NN )  <->  A. z  e.  NN  ( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN ) ) )
21 nnnlt1 10565 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  -.  z  <  1 )
2221pm2.21d 106 . . . . 5  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <  1  ->  ( 1  -  z )  e.  NN ) )
2322rgen 2824 . . . 4  |-  A. z  e.  NN  ( z  <  1  ->  ( 1  -  z )  e.  NN )
24 breq1 4450 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  <  y  <->  x  <  y ) )
25 oveq2 6291 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
y  -  z )  =  ( y  -  x ) )
2625eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( y  -  z
)  e.  NN  <->  ( y  -  x )  e.  NN ) )
2724, 26imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( x  <  y  ->  ( y  -  x
)  e.  NN ) ) )
2827cbvralv 3088 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  NN  (
z  <  y  ->  ( y  -  z )  e.  NN )  <->  A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN ) )
29 nncn 10543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
31 ax-1cn 9549 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
32 pncan 9825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
3330, 31, 32sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
34 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  y  e.  NN )
3533, 34eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  e.  NN )
36 oveq2 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
( y  +  1 )  -  z )  =  ( ( y  +  1 )  - 
1 ) )
3736eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (
( ( y  +  1 )  -  z
)  e.  NN  <->  ( (
y  +  1 )  -  1 )  e.  NN ) )
3835, 37syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
3938a1dd 46 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
4039a1dd 46 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) ) )
41 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
x  <  y  <->  ( z  -  1 )  < 
y ) )
42 oveq2 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
y  -  x )  =  ( y  -  ( z  -  1 ) ) )
4342eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
( y  -  x
)  e.  NN  <->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN ) )
4441, 43imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( z  - 
1 )  ->  (
( x  <  y  ->  ( y  -  x
)  e.  NN )  <-> 
( ( z  - 
1 )  <  y  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  e.  NN ) ) )
4544rspcv 3210 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  -  1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  <  y  -> 
( y  -  x
)  e.  NN )  ->  ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN ) ) )
46 nnre 10542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR )
47 nnre 10542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
48 1re 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
49 ltsubadd 10021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
( z  -  1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
5048, 49mp3an2 1312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( z  - 
1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
5146, 47, 50syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  - 
1 )  <  y  <->  z  <  ( y  +  1 ) ) )
52 nncn 10543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
53 subsub3 9850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
y  -  ( z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5431, 53mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5529, 52, 54syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( y  -  (
z  -  1 ) )  =  ( ( y  +  1 )  -  z ) )
5655eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( y  -  ( z  -  1 ) )  e.  NN  <->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) )
5751, 56imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN )  <->  ( z  <  ( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
5857biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( ( z  -  1 )  < 
y  ->  ( y  -  ( z  - 
1 ) )  e.  NN )  ->  (
z  <  ( y  +  1 )  -> 
( ( y  +  1 )  -  z
)  e.  NN ) ) )
5945, 58syl9r 72 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( ( z  - 
1 )  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) ) )
60 nn1m1nn 10555 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  =  1  \/  ( z  -  1 )  e.  NN ) )
6160adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  =  1  \/  ( z  - 
1 )  e.  NN ) )
6240, 59, 61mpjaod 381 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  < 
y  ->  ( y  -  x )  e.  NN )  ->  ( z  < 
( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
6362ralrimdva 2882 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN  ( x  <  y  -> 
( y  -  x
)  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
6428, 63syl5bi 217 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A. z  e.  NN  ( z  <  y  ->  ( y  -  z
)  e.  NN )  ->  A. z  e.  NN  ( z  <  (
y  +  1 )  ->  ( ( y  +  1 )  -  z )  e.  NN ) ) )
655, 10, 15, 20, 23, 64nnind 10553 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  A. z  e.  NN  ( z  < 
B  ->  ( B  -  z )  e.  NN ) )
66 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z  <  B  <->  A  <  B ) )
67 oveq2 6291 . . . . . 6  |-  ( z  =  A  ->  ( B  -  z )  =  ( B  -  A ) )
6867eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
( B  -  z
)  e.  NN  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
6966, 68imbi12d 320 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( z  <  B  ->  ( B  -  z
)  e.  NN )  <-> 
( A  <  B  ->  ( B  -  A
)  e.  NN ) ) )
7069rspcva 3212 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  A. z  e.  NN  (
z  <  B  ->  ( B  -  z )  e.  NN ) )  ->  ( A  < 
B  ->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
7165, 70sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  -  A
)  e.  NN ) )
72 nngt0 10564 . . 3  |-  ( ( B  -  A )  e.  NN  ->  0  <  ( B  -  A
) )
73 nnre 10542 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
74 nnre 10542 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
75 posdif 10044 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
7673, 74, 75syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
7772, 76syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( B  -  A )  e.  NN  ->  A  <  B ) )
7871, 77impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( B  -  A )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   class class class wbr 4447  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    < clt 9627    - cmin 9804   NNcn 10535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536
This theorem is referenced by:  nnsubi  10574  nn0sub  10845  uz3m2nn  11123  faclbnd4lem4  12341  pythagtriplem13  14209  vdwlem12  14368  perfectlem1  23248  nndivsub  29515
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