MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnssre Structured version   Unicode version

Theorem nnssre 10338
Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnssre  |-  NN  C_  RR

Proof of Theorem nnssre
StepHypRef Expression
1 1re 9397 . 2  |-  1  e.  RR
2 peano2re 9554 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
32rgen 2793 . 2  |-  A. x  e.  RR  ( x  + 
1 )  e.  RR
4 peano5nni 10337 . 2  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  (
x  +  1 )  e.  RR )  ->  NN  C_  RR )
51, 3, 4mp2an 672 1  |-  NN  C_  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   A.wral 2727    C_ wss 3340  (class class class)co 6103   RRcr 9293   1c1 9295    + caddc 9297   NNcn 10334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-nn 10335
This theorem is referenced by:  nnsscn  10339  nnre  10341  dfnn3  10348  nnred  10349  nnunb  10587  nn0ssre  10595  isercolllem1  13154  isercolllem2  13155  isercoll  13157  o1fsum  13288  ruc  13537  gsumval3OLD  16394  gsumval3  16397  ovolctb2  20987  ovolicc2lem3  21014  ovolicc2lem4  21015  iundisj2  21042  iundisj2f  25944  ssnnssfz  26088  iundisjfi  26092  iundisj2fi  26093  xrsmulgzz  26151  ballotlemsup  26899  erdszelem5  27095  erdszelem7  27097  erdszelem8  27098  incsequz2  28657  stoweidlem34  29841
  Copyright terms: Public domain W3C validator