MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnssre Structured version   Unicode version

Theorem nnssre 10613
Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnssre  |-  NN  C_  RR

Proof of Theorem nnssre
StepHypRef Expression
1 1re 9641 . 2  |-  1  e.  RR
2 peano2re 9805 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
32rgen 2792 . 2  |-  A. x  e.  RR  ( x  + 
1 )  e.  RR
4 peano5nni 10612 . 2  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  (
x  +  1 )  e.  RR )  ->  NN  C_  RR )
51, 3, 4mp2an 676 1  |-  NN  C_  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1870   A.wral 2782    C_ wss 3442  (class class class)co 6305   RRcr 9537   1c1 9539    + caddc 9541   NNcn 10609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-nn 10610
This theorem is referenced by:  nnsscn  10614  nnre  10616  dfnn3  10623  nnred  10624  nnunb  10865  nn0ssre  10873  isercolllem1  13706  isercolllem2  13707  isercoll  13709  o1fsum  13851  ruc  14273  prmgaplem3  14986  prmgaplem4  14987  gsumval3  17476  ovolctb2  22323  ovolicc2lem3  22350  ovolicc2lem4  22351  iundisj2  22379  iundisj2f  28039  ssnnssfz  28203  iundisjfi  28208  iundisj2fi  28209  xrsmulgzz  28277  ballotlemsup  29163  erdszelem5  29706  erdszelem7  29708  erdszelem8  29709  incsequz2  31782  stoweidlem34  37464  fourierdlem31  37569
  Copyright terms: Public domain W3C validator