MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnssre Structured version   Unicode version

Theorem nnssre 10541
Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnssre  |-  NN  C_  RR

Proof of Theorem nnssre
StepHypRef Expression
1 1re 9596 . 2  |-  1  e.  RR
2 peano2re 9753 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
32rgen 2824 . 2  |-  A. x  e.  RR  ( x  + 
1 )  e.  RR
4 peano5nni 10540 . 2  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  (
x  +  1 )  e.  RR )  ->  NN  C_  RR )
51, 3, 4mp2an 672 1  |-  NN  C_  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476  (class class class)co 6285   RRcr 9492   1c1 9494    + caddc 9496   NNcn 10537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-nn 10538
This theorem is referenced by:  nnsscn  10542  nnre  10544  dfnn3  10551  nnred  10552  nnunb  10792  nn0ssre  10800  isercolllem1  13453  isercolllem2  13454  isercoll  13456  o1fsum  13593  ruc  13840  gsumval3OLD  16723  gsumval3  16726  ovolctb2  21730  ovolicc2lem3  21757  ovolicc2lem4  21758  iundisj2  21786  iundisj2f  27219  ssnnssfz  27362  iundisjfi  27366  iundisj2fi  27367  xrsmulgzz  27425  ballotlemsup  28194  erdszelem5  28390  erdszelem7  28392  erdszelem8  28393  incsequz2  30072  stoweidlem34  31561  fourierdlem31  31665
  Copyright terms: Public domain W3C validator