MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomg Unicode version

Theorem nnsdomg 7001
Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomg  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<  om )

Proof of Theorem nnsdomg
StepHypRef Expression
1 ordom 4556 . . . . 5  |-  Ord  om
2 ordelss 4301 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  A  e.  om )  ->  A  C_ 
om )
31, 2mpan 654 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  C_ 
om )
4 ssdomg 6793 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  C_  om  ->  A  ~<_  om ) )
53, 4syl5 30 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  om  ->  A  ~<_  om ) )
65imp 420 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<_  om )
7 ominf 6960 . . . 4  |-  -.  om  e.  Fin
8 ensym 6796 . . . . 5  |-  ( A 
~~  om  ->  om  ~~  A )
9 breq2 3924 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( om  ~~  x  <->  om  ~~  A
) )
109rcla4ev 2821 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  om 
~~  A )  ->  E. x  e.  om  om 
~~  x )
11 isfi 6771 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  om  ~~  x
)
1210, 11sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  om 
~~  A )  ->  om  e.  Fin )
1312ex 425 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( om  ~~  A  ->  om  e.  Fin ) )
148, 13syl5 30 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~~  om  ->  om  e.  Fin ) )
157, 14mtoi 171 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  ~~  om )
1615adantl 454 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  -.  A  ~~  om )
17 brsdom 6770 . 2  |-  ( A 
~<  om  <->  ( A  ~<_  om 
/\  -.  A  ~~  om ) )
186, 16, 17sylanbrc 648 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   class class class wbr 3920   Ord word 4284   omcom 4547    ~~ cen 6746    ~<_ cdom 6747    ~< csdm 6748   Fincfn 6749
This theorem is referenced by:  isfiniteg  7002  infsdomnn  7003  nnsdom  7238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753
  Copyright terms: Public domain W3C validator