MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomg Structured version   Unicode version

Theorem nnsdomg 7768
Description: Omega strictly dominates a natural number. Example 3 of [Enderton] p. 146. In order to avoid the Axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomg  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<  om )

Proof of Theorem nnsdomg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 6680 . . . . 5  |-  Ord  om
2 ordelss 4887 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  A  e.  om )  ->  A  C_ 
om )
31, 2mpan 670 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  C_ 
om )
4 ssdomg 7551 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  C_  om  ->  A  ~<_  om ) )
53, 4syl5 32 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  ( A  e.  om  ->  A  ~<_  om ) )
65imp 429 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<_  om )
7 ominf 7722 . . . 4  |-  -.  om  e.  Fin
8 ensym 7554 . . . . 5  |-  ( A 
~~  om  ->  om  ~~  A )
9 breq2 4444 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( om  ~~  x  <->  om  ~~  A
) )
109rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  om 
~~  A )  ->  E. x  e.  om  om 
~~  x )
11 isfi 7529 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  Fin  <->  E. x  e.  om  om  ~~  x
)
1210, 11sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  om 
~~  A )  ->  om  e.  Fin )
1312ex 434 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( om  ~~  A  ->  om  e.  Fin ) )
148, 13syl5 32 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~~  om  ->  om  e.  Fin ) )
157, 14mtoi 178 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  ~~  om )
1615adantl 466 . 2  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  -.  A  ~~  om )
17 brsdom 7528 . 2  |-  ( A 
~<  om  <->  ( A  ~<_  om 
/\  -.  A  ~~  om ) )
186, 16, 17sylanbrc 664 1  |-  ( ( om  e.  _V  /\  A  e.  om )  ->  A  ~<  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   Ord word 4870   omcom 6671    ~~ cen 7503    ~<_ cdom 7504    ~< csdm 7505   Fincfn 7506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510
This theorem is referenced by:  isfiniteg  7769  infsdomnn  7770  nnsdom  8059
  Copyright terms: Public domain W3C validator