MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Unicode version

Theorem nnrpd 11014
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 10988 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   NNcn 10310   RR+crp 10979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-rp 10980
This theorem is referenced by:  modmulnn  11709  nnesq  11972  digit1  11982  bcpasc  12081  cshwn  12418  iseralt  13146  mertenslem1  13327  mertenslem2  13328  ege2le3  13358  eftlub  13376  effsumlt  13378  eirrlem  13469  sqr2irrlem  13513  dvdsmod  13573  bitsfzo  13614  bitsmod  13615  bitscmp  13617  bitsinv1lem  13620  sadaddlem  13645  sadasslem  13649  bitsres  13652  smumul  13672  bezoutlem3  13707  eucalglt  13743  prmind2  13757  crt  13836  eulerthlem2  13840  fermltl  13842  prmdiv  13843  prmdiveq  13844  odzdvds  13850  modprm0  13856  modprmn0modprm0  13858  prmreclem3  13962  prmreclem5  13964  prmreclem6  13965  4sqlem5  13986  4sqlem6  13987  4sqlem7  13988  4sqlem10  13991  4sqlem12  14000  vdwlem1  14025  mndodcong  16025  odmod  16029  oddvds  16030  dfod2  16045  gexexlem  16314  zringlpirlem3  17747  zlpirlem3  17752  met1stc  19938  met2ndci  19939  lebnumlem3  20377  lebnumii  20380  ovollb2lem  20813  ovoliunlem1  20827  ovoliunlem3  20829  uniioombllem6  20910  itg2cnlem2  21082  elqaalem2  21671  aalioulem2  21684  aalioulem4  21686  aalioulem5  21687  aaliou2b  21692  aaliou3lem9  21701  logfac  21934  cxpeq  22080  leibpi  22222  amgmlem  22268  emcllem1  22274  emcllem2  22275  emcllem3  22276  emcllem5  22278  harmoniclbnd  22287  harmonicubnd  22288  harmonicbnd4  22289  fsumharmonic  22290  wilthlem1  22291  wilthlem2  22292  basellem1  22303  basellem6  22308  basellem8  22310  chtf  22331  efchtcl  22334  chtge0  22335  vmacl  22341  efvmacl  22343  sgmnncl  22370  chtprm  22376  chtdif  22381  efchtdvds  22382  prmorcht  22401  sgmppw  22421  vmalelog  22429  chtleppi  22434  chtublem  22435  fsumvma2  22438  pclogsum  22439  vmasum  22440  chpchtsum  22443  chpub  22444  logfacubnd  22445  logfaclbnd  22446  logfacbnd3  22447  logfacrlim  22448  logexprlim  22449  logfacrlim2  22450  perfectlem2  22454  bclbnd  22504  bposlem1  22508  bposlem2  22509  bposlem4  22511  bposlem5  22512  bposlem6  22513  bposlem7  22514  bposlem9  22516  lgslem1  22520  lgslem4  22523  lgsvalmod  22539  lgsmod  22545  lgsdirprm  22553  lgsne0  22557  lgsqrlem2  22566  lgseisenlem1  22573  lgseisenlem2  22574  lgseisenlem3  22575  lgseisenlem4  22576  lgseisen  22577  lgsquadlem2  22579  lgsquadlem3  22580  m1lgs  22586  2sqlem8  22596  chebbnd1lem1  22603  chebbnd1lem2  22604  chebbnd1lem3  22605  chebbnd1  22606  chtppilimlem1  22607  chtppilimlem2  22608  chtppilim  22609  chebbnd2  22611  chto1lb  22612  vmadivsum  22616  vmadivsumb  22617  rplogsumlem1  22618  rplogsumlem2  22619  dchrisum0lem1a  22620  rpvmasumlem  22621  dchrisumlema  22622  dchrisumlem1  22623  dchrisumlem2  22624  dchrmusum2  22628  dchrvmasumlem1  22629  dchrvmasum2lem  22630  dchrvmasum2if  22631  dchrvmasumlem2  22632  dchrvmasumlem3  22633  dchrvmasumiflem1  22635  dchrvmasumiflem2  22636  dchrisum0flblem2  22643  dchrisum0fno1  22645  dchrisum0lema  22648  dchrisum0lem1b  22649  dchrisum0lem1  22650  dchrisum0lem2a  22651  dchrisum0lem2  22652  dchrisum0lem3  22653  dchrisum0  22654  dirith2  22662  mudivsum  22664  mulogsumlem  22665  mulogsum  22666  mulog2sumlem1  22668  mulog2sumlem2  22669  mulog2sumlem3  22670  vmalogdivsum2  22672  vmalogdivsum  22673  2vmadivsumlem  22674  logsqvma  22676  log2sumbnd  22678  selberglem1  22679  selberglem2  22680  selberglem3  22681  selberg  22682  selbergb  22683  selberg2lem  22684  selberg2  22685  selberg2b  22686  chpdifbndlem1  22687  logdivbnd  22690  selberg3lem1  22691  selberg3lem2  22692  selberg3  22693  selberg4lem1  22694  selberg4  22695  pntrsumo1  22699  pntrsumbnd2  22701  selbergr  22702  selberg3r  22703  selberg4r  22704  selberg34r  22705  pntsf  22707  pntsval2  22710  pntrlog2bndlem1  22711  pntrlog2bndlem2  22712  pntrlog2bndlem3  22713  pntrlog2bndlem4  22714  pntrlog2bndlem5  22715  pntrlog2bndlem6  22717  pntrlog2bnd  22718  pntpbnd1a  22719  pntpbnd1  22720  pntpbnd2  22721  pntibndlem2  22725  pntlemn  22734  pntlemj  22737  pntlemf  22739  pntlemk  22740  pntlemo  22741  pnt  22748  padicabvcxp  22766  ostth2lem2  22768  ostth2lem3  22769  ostth2lem4  22770  ostth2  22771  ostth3  22772  ubthlem2  24095  minvecolem3  24100  lnconi  25260  ltesubnnd  25914  rnlogblem  26312  eulerpartlemgc  26593  zetacvg  26849  lgamgulmlem2  26864  lgamgulmlem3  26865  lgamgulmlem4  26866  lgamgulmlem5  26867  lgamgulmlem6  26868  lgamgulm2  26870  lgambdd  26871  lgamucov  26872  lgamcvg2  26889  gamcvg  26890  gamcvg2lem  26893  regamcl  26895  relgamcl  26896  lgam1  26898  iprodgam  27353  faclimlem1  27396  faclimlem3  27398  faclim  27399  iprodfac  27400  heiborlem3  28556  heiborlem5  28558  heiborlem6  28559  heiborlem7  28560  heiborlem8  28561  heibor  28564  rrndstprj2  28574  rrncmslem  28575  rrnequiv  28578  irrapxlem5  29012  pell14qrgapw  29062  pellqrexplicit  29063  pellqrex  29065  pellfundge  29068  pellfundgt1  29069  jm3.1lem1  29211  jm3.1lem2  29212  stoweidlem31  29672  stoweidlem59  29700  wallispilem3  29708  wallispi  29711  stirlinglem12  29726  stirlinglem15  29729  powm2modprm  30094  clwwisshclwwlem1  30315  numclwwlk5  30551  numclwwlk7  30553
  Copyright terms: Public domain W3C validator