MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Unicode version

Theorem nnrpd 10603
Description: A natural number is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 10577 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   NNcn 9956   RR+crp 10568
This theorem is referenced by:  modmulnn  11220  nnesq  11458  digit1  11468  bcpasc  11567  iseralt  12433  mertenslem1  12616  mertenslem2  12617  ege2le3  12647  eftlub  12665  effsumlt  12667  eirrlem  12758  sqr2irrlem  12802  dvdsmod  12861  bitsfzo  12902  bitsmod  12903  bitscmp  12905  bitsinv1lem  12908  sadaddlem  12933  sadasslem  12937  bitsres  12940  smumul  12960  bezoutlem3  12995  eucalglt  13031  prmind2  13045  crt  13122  eulerthlem2  13126  fermltl  13128  prmdiv  13129  prmdiveq  13130  odzdvds  13136  prmreclem3  13241  prmreclem5  13243  prmreclem6  13244  4sqlem5  13265  4sqlem6  13266  4sqlem7  13267  4sqlem10  13270  4sqlem12  13279  vdwlem1  13304  mndodcong  15135  odmod  15139  oddvds  15140  dfod2  15155  gexexlem  15422  zlpirlem3  16725  met1stc  18504  met2ndci  18505  lebnumlem3  18941  lebnumii  18944  ovollb2lem  19337  ovoliunlem1  19351  ovoliunlem3  19353  uniioombllem6  19433  itg2cnlem2  19607  elqaalem2  20190  aalioulem2  20203  aalioulem4  20205  aalioulem5  20206  aaliou2b  20211  aaliou3lem9  20220  logfac  20448  cxpeq  20594  leibpi  20735  amgmlem  20781  emcllem1  20787  emcllem2  20788  emcllem3  20789  emcllem5  20791  harmoniclbnd  20800  harmonicubnd  20801  harmonicbnd4  20802  fsumharmonic  20803  wilthlem1  20804  wilthlem2  20805  basellem1  20816  basellem6  20821  basellem8  20823  chtf  20844  efchtcl  20847  chtge0  20848  vmacl  20854  efvmacl  20856  sgmnncl  20883  chtprm  20889  chtdif  20894  efchtdvds  20895  prmorcht  20914  sgmppw  20934  vmalelog  20942  chtleppi  20947  chtublem  20948  fsumvma2  20951  pclogsum  20952  vmasum  20953  chpchtsum  20956  chpub  20957  logfacubnd  20958  logfaclbnd  20959  logfacbnd3  20960  logfacrlim  20961  logexprlim  20962  logfacrlim2  20963  perfectlem2  20967  bclbnd  21017  bposlem1  21021  bposlem2  21022  bposlem4  21024  bposlem5  21025  bposlem6  21026  bposlem7  21027  bposlem9  21029  lgslem1  21033  lgslem4  21036  lgsvalmod  21052  lgsmod  21058  lgsdirprm  21066  lgsne0  21070  lgsqrlem2  21079  lgseisenlem1  21086  lgseisenlem2  21087  lgseisenlem3  21088  lgseisenlem4  21089  lgseisen  21090  lgsquadlem2  21092  lgsquadlem3  21093  m1lgs  21099  2sqlem8  21109  chebbnd1lem1  21116  chebbnd1lem2  21117  chebbnd1lem3  21118  chebbnd1  21119  chtppilimlem1  21120  chtppilimlem2  21121  chtppilim  21122  chebbnd2  21124  chto1lb  21125  vmadivsum  21129  vmadivsumb  21130  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  dchrisum0lem1a  21133  rpvmasumlem  21134  dchrisumlema  21135  dchrisumlem1  21136  dchrisumlem2  21137  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem1  21142  dchrvmasum2lem  21143  dchrvmasum2if  21144  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumlem3  21146  dchrvmasumiflem1  21148  dchrvmasumiflem2  21149  dchrisum0flblem2  21156  dchrisum0fno1  21158  dchrisum0lema  21161  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  dchrisum0lem3  21166  dchrisum0  21167  dirith2  21175  mudivsum  21177  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  mulog2sumlem3  21183  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  logsqvma  21189  log2sumbnd  21191  selberglem1  21192  selberglem2  21193  selberglem3  21194  selberg  21195  selbergb  21196  selberg2lem  21197  selberg2  21198  selberg2b  21199  chpdifbndlem1  21200  logdivbnd  21203  selberg3lem1  21204  selberg3lem2  21205  selberg3  21206  selberg4lem1  21207  selberg4  21208  pntrsumo1  21212  pntrsumbnd2  21214  selbergr  21215  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntsf  21220  pntsval2  21223  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntrlog2bnd  21231  pntpbnd1a  21232  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntibndlem2  21238  pntlemn  21247  pntlemj  21250  pntlemf  21252  pntlemk  21253  pntlemo  21254  pnt  21261  padicabvcxp  21279  ostth2lem2  21281  ostth2lem3  21282  ostth2lem4  21283  ostth2  21284  ostth3  21285  ubthlem2  22326  minvecolem3  22331  lnconi  23489  ltesubnnd  24115  rnlogblem  24352  zetacvg  24752  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem4  24769  lgamgulmlem5  24770  lgamgulmlem6  24771  lgamgulm2  24773  lgambdd  24774  lgamucov  24775  lgamcvg2  24792  gamcvg  24793  gamcvg2lem  24796  regamcl  24798  relgamcl  24799  lgam1  24801  iprodgam  25272  faclimlem1  25310  faclimlem3  25312  faclim  25313  iprodfac  25314  mblfinlem  26143  heiborlem3  26412  heiborlem5  26414  heiborlem6  26415  heiborlem7  26416  heiborlem8  26417  heibor  26420  rrndstprj2  26430  rrncmslem  26431  rrnequiv  26434  irrapxlem5  26779  pell14qrgapw  26829  pellqrexplicit  26830  pellqrex  26832  pellfundge  26835  pellfundgt1  26836  jm3.1lem1  26978  jm3.1lem2  26979  stoweidlem31  27647  stoweidlem59  27675  wallispilem3  27683  wallispi  27686  stirlinglem12  27701  stirlinglem15  27704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-rp 10569
  Copyright terms: Public domain W3C validator