MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Unicode version

Theorem nnrpd 11339
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 11311 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870   NNcn 10609   RR+crp 11302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-rp 11303
This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  11340  modmulnn  12111  nnesq  12393  digit1  12403  bcpasc  12503  cshwn  12884  iseralt  13729  mertenslem1  13918  mertenslem2  13919  ege2le3  14122  eftlub  14141  effsumlt  14143  eirrlem  14234  sqr2irrlem  14278  dvdsmod  14340  bitsfzo  14383  bitsmod  14384  bitscmp  14386  bitsinv1lem  14389  sadaddlem  14414  sadasslem  14418  bitsres  14421  smumul  14441  bezoutlem3  14479  eucalglt  14515  prmind2  14606  crt  14695  eulerthlem2  14699  fermltl  14701  prmdiv  14702  prmdiveq  14703  odzdvds  14709  vfermltlALT  14716  powm2modprm  14717  modprm0  14719  modprmn0modprm0  14721  prmreclem3  14825  prmreclem5  14827  prmreclem6  14828  4sqlem5  14849  4sqlem6  14850  4sqlem7  14851  4sqlem10  14854  4sqlem12  14863  vdwlem1  14894  mndodcong  17133  odmod  17137  oddvds  17138  dfod2  17153  gexexlem  17425  zringlpirlem3  18989  met1stc  21467  met2ndci  21468  lebnumlem3  21887  lebnumii  21890  ovollb2lem  22319  ovoliunlem1  22333  ovoliunlem3  22335  uniioombllem6  22423  itg2cnlem2  22597  elqaalem2  23141  aalioulem2  23154  aalioulem4  23156  aalioulem5  23157  aaliou2b  23162  aaliou3lem9  23171  logfac  23415  cxpeq  23562  leibpi  23733  amgmlem  23780  emcllem1  23786  emcllem2  23787  emcllem3  23788  emcllem5  23790  harmoniclbnd  23799  harmonicubnd  23800  harmonicbnd4  23801  fsumharmonic  23802  zetacvg  23805  lgamgulmlem2  23820  lgamgulmlem3  23821  lgamgulmlem4  23822  lgamgulmlem5  23823  lgamgulmlem6  23824  lgamgulm2  23826  lgambdd  23827  lgamucov  23828  lgamcvg2  23845  gamcvg  23846  gamcvg2lem  23849  regamcl  23851  relgamcl  23852  lgam1  23854  wilthlem1  23858  wilthlem2  23859  basellem1  23870  basellem6  23875  basellem8  23877  chtf  23898  efchtcl  23901  chtge0  23902  vmacl  23908  efvmacl  23910  sgmnncl  23937  chtprm  23943  chtdif  23948  efchtdvds  23949  prmorcht  23968  sgmppw  23988  vmalelog  23996  chtleppi  24001  chtublem  24002  fsumvma2  24005  pclogsum  24006  vmasum  24007  chpchtsum  24010  chpub  24011  logfacubnd  24012  logfaclbnd  24013  logfacbnd3  24014  logfacrlim  24015  logexprlim  24016  logfacrlim2  24017  perfectlem2  24021  bclbnd  24071  bposlem1  24075  bposlem2  24076  bposlem4  24078  bposlem5  24079  bposlem6  24080  bposlem7  24081  bposlem9  24083  lgslem1  24087  lgslem4  24090  lgsvalmod  24106  lgsmod  24112  lgsdirprm  24120  lgsne0  24124  lgsqrlem2  24133  lgseisenlem1  24140  lgseisenlem2  24141  lgseisenlem3  24142  lgseisenlem4  24143  lgseisen  24144  lgsquadlem2  24146  lgsquadlem3  24147  m1lgs  24153  2sqlem8  24163  chebbnd1lem1  24170  chebbnd1lem2  24171  chebbnd1lem3  24172  chebbnd1  24173  chtppilimlem1  24174  chtppilimlem2  24175  chtppilim  24176  chebbnd2  24178  chto1lb  24179  vmadivsum  24183  vmadivsumb  24184  rplogsumlem1  24185  rplogsumlem2  24186  dchrisum0lem1a  24187  rpvmasumlem  24188  dchrisumlema  24189  dchrisumlem1  24190  dchrisumlem2  24191  dchrmusum2  24195  dchrvmasumlem1  24196  dchrvmasum2lem  24197  dchrvmasum2if  24198  dchrvmasumlem2  24199  dchrvmasumlem3  24200  dchrvmasumiflem1  24202  dchrvmasumiflem2  24203  dchrisum0flblem2  24210  dchrisum0fno1  24212  dchrisum0lema  24215  dchrisum0lem1b  24216  dchrisum0lem1  24217  dchrisum0lem2a  24218  dchrisum0lem2  24219  dchrisum0lem3  24220  dchrisum0  24221  dirith2  24229  mudivsum  24231  mulogsumlem  24232  mulogsum  24233  mulog2sumlem1  24235  mulog2sumlem2  24236  mulog2sumlem3  24237  vmalogdivsum2  24239  vmalogdivsum  24240  2vmadivsumlem  24241  logsqvma  24243  log2sumbnd  24245  selberglem1  24246  selberglem2  24247  selberglem3  24248  selberg  24249  selbergb  24250  selberg2lem  24251  selberg2  24252  selberg2b  24253  chpdifbndlem1  24254  logdivbnd  24257  selberg3lem1  24258  selberg3lem2  24259  selberg3  24260  selberg4lem1  24261  selberg4  24262  pntrsumo1  24266  pntrsumbnd2  24268  selbergr  24269  selberg3r  24270  selberg4r  24271  selberg34r  24272  pntsf  24274  pntsval2  24277  pntrlog2bndlem1  24278  pntrlog2bndlem2  24279  pntrlog2bndlem3  24280  pntrlog2bndlem4  24281  pntrlog2bndlem5  24282  pntrlog2bndlem6  24284  pntrlog2bnd  24285  pntpbnd1a  24286  pntpbnd1  24287  pntpbnd2  24288  pntibndlem2  24292  pntlemn  24301  pntlemj  24304  pntlemf  24306  pntlemk  24307  pntlemo  24308  pnt  24315  padicabvcxp  24333  ostth2lem2  24335  ostth2lem3  24336  ostth2lem4  24337  ostth2  24338  ostth3  24339  clwwisshclwwlem1  25378  numclwwlk5  25685  numclwwlk7  25687  ubthlem2  26358  minvecolem3  26363  lnconi  27521  ltesubnnd  28223  2sqmod  28247  madjusmdetlem2  28493  eulerpartlemgc  29021  iprodgam  30165  faclimlem1  30166  faclimlem3  30168  faclim  30169  iprodfac  30170  poimirlem29  31673  heiborlem3  31849  heiborlem5  31851  heiborlem6  31852  heiborlem7  31853  heiborlem8  31854  heibor  31857  rrndstprj2  31867  rrncmslem  31868  rrnequiv  31871  irrapxlem5  35380  pell14qrgapw  35430  pellqrexplicit  35431  pellqrex  35433  pellfundge  35436  pellfundgt1  35437  jm3.1lem1  35578  jm3.1lem2  35579  hashnzfz2  36307  fsumnncl  37225  stoweidlem31  37461  stoweidlem59  37489  wallispilem3  37498  wallispi  37501  stirlinglem12  37516  stirlinglem15  37519  fourierdlem73  37611  etransclem23  37689  nnfoctbdjlem  37802  perfectALTVlem2  38234  proththd  38304  pw2m1lepw2m1  39079  logbge0b  39135  logblt1b  39136  logbpw2m1  39139  nnpw2pmod  39155  nnolog2flm1  39162  blennngt2o2  39164  dignnld  39175  digexp  39179
  Copyright terms: Public domain W3C validator