MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Unicode version

Theorem nnrpd 11251
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 11225 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   NNcn 10532   RR+crp 11216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-rp 11217
This theorem is referenced by:  modmulnn  11977  nnesq  12254  digit1  12264  bcpasc  12363  cshwn  12727  iseralt  13466  mertenslem1  13652  mertenslem2  13653  ege2le3  13683  eftlub  13701  effsumlt  13703  eirrlem  13794  sqr2irrlem  13838  dvdsmod  13898  bitsfzo  13940  bitsmod  13941  bitscmp  13943  bitsinv1lem  13946  sadaddlem  13971  sadasslem  13975  bitsres  13978  smumul  13998  bezoutlem3  14033  eucalglt  14069  prmind2  14083  crt  14163  eulerthlem2  14167  fermltl  14169  prmdiv  14170  prmdiveq  14171  odzdvds  14177  powm2modprm  14183  modprm0  14185  modprmn0modprm0  14187  prmreclem3  14291  prmreclem5  14293  prmreclem6  14294  4sqlem5  14315  4sqlem6  14316  4sqlem7  14317  4sqlem10  14320  4sqlem12  14329  vdwlem1  14354  mndodcong  16362  odmod  16366  oddvds  16367  dfod2  16382  gexexlem  16651  zringlpirlem3  18278  zlpirlem3  18283  met1stc  20759  met2ndci  20760  lebnumlem3  21198  lebnumii  21201  ovollb2lem  21634  ovoliunlem1  21648  ovoliunlem3  21650  uniioombllem6  21732  itg2cnlem2  21904  elqaalem2  22450  aalioulem2  22463  aalioulem4  22465  aalioulem5  22466  aaliou2b  22471  aaliou3lem9  22480  logfac  22713  cxpeq  22859  leibpi  23001  amgmlem  23047  emcllem1  23053  emcllem2  23054  emcllem3  23055  emcllem5  23057  harmoniclbnd  23066  harmonicubnd  23067  harmonicbnd4  23068  fsumharmonic  23069  wilthlem1  23070  wilthlem2  23071  basellem1  23082  basellem6  23087  basellem8  23089  chtf  23110  efchtcl  23113  chtge0  23114  vmacl  23120  efvmacl  23122  sgmnncl  23149  chtprm  23155  chtdif  23160  efchtdvds  23161  prmorcht  23180  sgmppw  23200  vmalelog  23208  chtleppi  23213  chtublem  23214  fsumvma2  23217  pclogsum  23218  vmasum  23219  chpchtsum  23222  chpub  23223  logfacubnd  23224  logfaclbnd  23225  logfacbnd3  23226  logfacrlim  23227  logexprlim  23228  logfacrlim2  23229  perfectlem2  23233  bclbnd  23283  bposlem1  23287  bposlem2  23288  bposlem4  23290  bposlem5  23291  bposlem6  23292  bposlem7  23293  bposlem9  23295  lgslem1  23299  lgslem4  23302  lgsvalmod  23318  lgsmod  23324  lgsdirprm  23332  lgsne0  23336  lgsqrlem2  23345  lgseisenlem1  23352  lgseisenlem2  23353  lgseisenlem3  23354  lgseisenlem4  23355  lgseisen  23356  lgsquadlem2  23358  lgsquadlem3  23359  m1lgs  23365  2sqlem8  23375  chebbnd1lem1  23382  chebbnd1lem2  23383  chebbnd1lem3  23384  chebbnd1  23385  chtppilimlem1  23386  chtppilimlem2  23387  chtppilim  23388  chebbnd2  23390  chto1lb  23391  vmadivsum  23395  vmadivsumb  23396  rplogsumlem1  23397  rplogsumlem2  23398  dchrisum0lem1a  23399  rpvmasumlem  23400  dchrisumlema  23401  dchrisumlem1  23402  dchrisumlem2  23403  dchrmusum2  23407  dchrvmasumlem1  23408  dchrvmasum2lem  23409  dchrvmasum2if  23410  dchrvmasumlem2  23411  dchrvmasumlem3  23412  dchrvmasumiflem1  23414  dchrvmasumiflem2  23415  dchrisum0flblem2  23422  dchrisum0fno1  23424  dchrisum0lema  23427  dchrisum0lem1b  23428  dchrisum0lem1  23429  dchrisum0lem2a  23430  dchrisum0lem2  23431  dchrisum0lem3  23432  dchrisum0  23433  dirith2  23441  mudivsum  23443  mulogsumlem  23444  mulogsum  23445  mulog2sumlem1  23447  mulog2sumlem2  23448  mulog2sumlem3  23449  vmalogdivsum2  23451  vmalogdivsum  23452  2vmadivsumlem  23453  logsqvma  23455  log2sumbnd  23457  selberglem1  23458  selberglem2  23459  selberglem3  23460  selberg  23461  selbergb  23462  selberg2lem  23463  selberg2  23464  selberg2b  23465  chpdifbndlem1  23466  logdivbnd  23469  selberg3lem1  23470  selberg3lem2  23471  selberg3  23472  selberg4lem1  23473  selberg4  23474  pntrsumo1  23478  pntrsumbnd2  23480  selbergr  23481  selberg3r  23482  selberg4r  23483  selberg34r  23484  pntsf  23486  pntsval2  23489  pntrlog2bndlem1  23490  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem3  23492  pntrlog2bndlem4  23493  pntrlog2bndlem5  23494  pntrlog2bndlem6  23496  pntrlog2bnd  23497  pntpbnd1a  23498  pntpbnd1  23499  pntpbnd2  23500  pntibndlem2  23504  pntlemn  23513  pntlemj  23516  pntlemf  23518  pntlemk  23519  pntlemo  23520  pnt  23527  padicabvcxp  23545  ostth2lem2  23547  ostth2lem3  23548  ostth2lem4  23549  ostth2  23550  ostth3  23551  clwwisshclwwlem1  24481  numclwwlk5  24789  numclwwlk7  24791  ubthlem2  25463  minvecolem3  25468  lnconi  26628  ltesubnnd  27280  rnlogblem  27655  eulerpartlemgc  27941  zetacvg  28197  lgamgulmlem2  28212  lgamgulmlem3  28213  lgamgulmlem4  28214  lgamgulmlem5  28215  lgamgulmlem6  28216  lgamgulm2  28218  lgambdd  28219  lgamucov  28220  lgamcvg2  28237  gamcvg  28238  gamcvg2lem  28241  regamcl  28243  relgamcl  28244  lgam1  28246  iprodgam  28702  faclimlem1  28745  faclimlem3  28747  faclim  28748  iprodfac  28749  heiborlem3  29912  heiborlem5  29914  heiborlem6  29915  heiborlem7  29916  heiborlem8  29917  heibor  29920  rrndstprj2  29930  rrncmslem  29931  rrnequiv  29934  irrapxlem5  30366  pell14qrgapw  30416  pellqrexplicit  30417  pellqrex  30419  pellfundge  30422  pellfundgt1  30423  jm3.1lem1  30563  jm3.1lem2  30564  hashnzfz2  30826  stoweidlem31  31331  stoweidlem59  31359  wallispilem3  31367  wallispi  31370  stirlinglem12  31385  stirlinglem15  31388  fourierdlem73  31480
  Copyright terms: Public domain W3C validator