MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Unicode version

Theorem nnrpd 11257
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 11230 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   NNcn 10531   RR+crp 11221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-rp 11222
This theorem is referenced by:  zgt1rpn0n1  11258  modmulnn  11995  nnesq  12272  digit1  12282  bcpasc  12381  cshwn  12759  iseralt  13589  mertenslem1  13775  mertenslem2  13776  ege2le3  13907  eftlub  13926  effsumlt  13928  eirrlem  14019  sqr2irrlem  14065  dvdsmod  14127  bitsfzo  14169  bitsmod  14170  bitscmp  14172  bitsinv1lem  14175  sadaddlem  14200  sadasslem  14204  bitsres  14207  smumul  14227  bezoutlem3  14262  eucalglt  14298  prmind2  14312  crt  14392  eulerthlem2  14396  fermltl  14398  prmdiv  14399  prmdiveq  14400  odzdvds  14406  powm2modprm  14412  modprm0  14414  modprmn0modprm0  14416  prmreclem3  14520  prmreclem5  14522  prmreclem6  14523  4sqlem5  14544  4sqlem6  14545  4sqlem7  14546  4sqlem10  14549  4sqlem12  14558  vdwlem1  14583  mndodcong  16765  odmod  16769  oddvds  16770  dfod2  16785  gexexlem  17057  zringlpirlem3  18699  met1stc  21190  met2ndci  21191  lebnumlem3  21629  lebnumii  21632  ovollb2lem  22065  ovoliunlem1  22079  ovoliunlem3  22081  uniioombllem6  22163  itg2cnlem2  22335  elqaalem2  22882  aalioulem2  22895  aalioulem4  22897  aalioulem5  22898  aaliou2b  22903  aaliou3lem9  22912  logfac  23154  cxpeq  23299  leibpi  23470  amgmlem  23517  emcllem1  23523  emcllem2  23524  emcllem3  23525  emcllem5  23527  harmoniclbnd  23536  harmonicubnd  23537  harmonicbnd4  23538  fsumharmonic  23539  wilthlem1  23540  wilthlem2  23541  basellem1  23552  basellem6  23557  basellem8  23559  chtf  23580  efchtcl  23583  chtge0  23584  vmacl  23590  efvmacl  23592  sgmnncl  23619  chtprm  23625  chtdif  23630  efchtdvds  23631  prmorcht  23650  sgmppw  23670  vmalelog  23678  chtleppi  23683  chtublem  23684  fsumvma2  23687  pclogsum  23688  vmasum  23689  chpchtsum  23692  chpub  23693  logfacubnd  23694  logfaclbnd  23695  logfacbnd3  23696  logfacrlim  23697  logexprlim  23698  logfacrlim2  23699  perfectlem2  23703  bclbnd  23753  bposlem1  23757  bposlem2  23758  bposlem4  23760  bposlem5  23761  bposlem6  23762  bposlem7  23763  bposlem9  23765  lgslem1  23769  lgslem4  23772  lgsvalmod  23788  lgsmod  23794  lgsdirprm  23802  lgsne0  23806  lgsqrlem2  23815  lgseisenlem1  23822  lgseisenlem2  23823  lgseisenlem3  23824  lgseisenlem4  23825  lgseisen  23826  lgsquadlem2  23828  lgsquadlem3  23829  m1lgs  23835  2sqlem8  23845  chebbnd1lem1  23852  chebbnd1lem2  23853  chebbnd1lem3  23854  chebbnd1  23855  chtppilimlem1  23856  chtppilimlem2  23857  chtppilim  23858  chebbnd2  23860  chto1lb  23861  vmadivsum  23865  vmadivsumb  23866  rplogsumlem1  23867  rplogsumlem2  23868  dchrisum0lem1a  23869  rpvmasumlem  23870  dchrisumlema  23871  dchrisumlem1  23872  dchrisumlem2  23873  dchrmusum2  23877  dchrvmasumlem1  23878  dchrvmasum2lem  23879  dchrvmasum2if  23880  dchrvmasumlem2  23881  dchrvmasumlem3  23882  dchrvmasumiflem1  23884  dchrvmasumiflem2  23885  dchrisum0flblem2  23892  dchrisum0fno1  23894  dchrisum0lema  23897  dchrisum0lem1b  23898  dchrisum0lem1  23899  dchrisum0lem2a  23900  dchrisum0lem2  23901  dchrisum0lem3  23902  dchrisum0  23903  dirith2  23911  mudivsum  23913  mulogsumlem  23914  mulogsum  23915  mulog2sumlem1  23917  mulog2sumlem2  23918  mulog2sumlem3  23919  vmalogdivsum2  23921  vmalogdivsum  23922  2vmadivsumlem  23923  logsqvma  23925  log2sumbnd  23927  selberglem1  23928  selberglem2  23929  selberglem3  23930  selberg  23931  selbergb  23932  selberg2lem  23933  selberg2  23934  selberg2b  23935  chpdifbndlem1  23936  logdivbnd  23939  selberg3lem1  23940  selberg3lem2  23941  selberg3  23942  selberg4lem1  23943  selberg4  23944  pntrsumo1  23948  pntrsumbnd2  23950  selbergr  23951  selberg3r  23952  selberg4r  23953  selberg34r  23954  pntsf  23956  pntsval2  23959  pntrlog2bndlem1  23960  pntrlog2bndlem2  23961  pntrlog2bndlem3  23962  pntrlog2bndlem4  23963  pntrlog2bndlem5  23964  pntrlog2bndlem6  23966  pntrlog2bnd  23967  pntpbnd1a  23968  pntpbnd1  23969  pntpbnd2  23970  pntibndlem2  23974  pntlemn  23983  pntlemj  23986  pntlemf  23988  pntlemk  23989  pntlemo  23990  pnt  23997  padicabvcxp  24015  ostth2lem2  24017  ostth2lem3  24018  ostth2lem4  24019  ostth2  24020  ostth3  24021  clwwisshclwwlem1  25007  numclwwlk5  25314  numclwwlk7  25316  ubthlem2  25985  minvecolem3  25990  lnconi  27150  ltesubnnd  27846  2sqmod  27870  eulerpartlemgc  28565  zetacvg  28821  lgamgulmlem2  28836  lgamgulmlem3  28837  lgamgulmlem4  28838  lgamgulmlem5  28839  lgamgulmlem6  28840  lgamgulm2  28842  lgambdd  28843  lgamucov  28844  lgamcvg2  28861  gamcvg  28862  gamcvg2lem  28865  regamcl  28867  relgamcl  28868  lgam1  28870  iprodgam  29366  faclimlem1  29409  faclimlem3  29411  faclim  29412  iprodfac  29413  heiborlem3  30549  heiborlem5  30551  heiborlem6  30552  heiborlem7  30553  heiborlem8  30554  heibor  30557  rrndstprj2  30567  rrncmslem  30568  rrnequiv  30571  irrapxlem5  31001  pell14qrgapw  31051  pellqrexplicit  31052  pellqrex  31054  pellfundge  31057  pellfundgt1  31058  jm3.1lem1  31198  jm3.1lem2  31199  hashnzfz2  31467  fsumnncl  31811  stoweidlem31  32052  stoweidlem59  32080  wallispilem3  32088  wallispi  32091  stirlinglem12  32106  stirlinglem15  32109  fourierdlem73  32201  etransclem23  32279  pw2m1lepw2m1  33381  logbge0b  33438  logblt1b  33439  logbpw2m1  33442  nnpw2pmod  33458  nnolog2flm1  33465  blennngt2o2  33467  dignnld  33478  digexp  33482
  Copyright terms: Public domain W3C validator