MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrpd Structured version   Unicode version

Theorem nnrpd 11018
Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnrpd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrpd  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )

Proof of Theorem nnrpd
StepHypRef Expression
1 nnrpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrp 10992 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   NNcn 10314   RR+crp 10983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-rp 10984
This theorem is referenced by:  modmulnn  11717  nnesq  11980  digit1  11990  bcpasc  12089  cshwn  12426  iseralt  13154  mertenslem1  13336  mertenslem2  13337  ege2le3  13367  eftlub  13385  effsumlt  13387  eirrlem  13478  sqr2irrlem  13522  dvdsmod  13582  bitsfzo  13623  bitsmod  13624  bitscmp  13626  bitsinv1lem  13629  sadaddlem  13654  sadasslem  13658  bitsres  13661  smumul  13681  bezoutlem3  13716  eucalglt  13752  prmind2  13766  crt  13845  eulerthlem2  13849  fermltl  13851  prmdiv  13852  prmdiveq  13853  odzdvds  13859  modprm0  13865  modprmn0modprm0  13867  prmreclem3  13971  prmreclem5  13973  prmreclem6  13974  4sqlem5  13995  4sqlem6  13996  4sqlem7  13997  4sqlem10  14000  4sqlem12  14009  vdwlem1  14034  mndodcong  16036  odmod  16040  oddvds  16041  dfod2  16056  gexexlem  16325  zringlpirlem3  17880  zlpirlem3  17885  met1stc  20071  met2ndci  20072  lebnumlem3  20510  lebnumii  20513  ovollb2lem  20946  ovoliunlem1  20960  ovoliunlem3  20962  uniioombllem6  21043  itg2cnlem2  21215  elqaalem2  21761  aalioulem2  21774  aalioulem4  21776  aalioulem5  21777  aaliou2b  21782  aaliou3lem9  21791  logfac  22024  cxpeq  22170  leibpi  22312  amgmlem  22358  emcllem1  22364  emcllem2  22365  emcllem3  22366  emcllem5  22368  harmoniclbnd  22377  harmonicubnd  22378  harmonicbnd4  22379  fsumharmonic  22380  wilthlem1  22381  wilthlem2  22382  basellem1  22393  basellem6  22398  basellem8  22400  chtf  22421  efchtcl  22424  chtge0  22425  vmacl  22431  efvmacl  22433  sgmnncl  22460  chtprm  22466  chtdif  22471  efchtdvds  22472  prmorcht  22491  sgmppw  22511  vmalelog  22519  chtleppi  22524  chtublem  22525  fsumvma2  22528  pclogsum  22529  vmasum  22530  chpchtsum  22533  chpub  22534  logfacubnd  22535  logfaclbnd  22536  logfacbnd3  22537  logfacrlim  22538  logexprlim  22539  logfacrlim2  22540  perfectlem2  22544  bclbnd  22594  bposlem1  22598  bposlem2  22599  bposlem4  22601  bposlem5  22602  bposlem6  22603  bposlem7  22604  bposlem9  22606  lgslem1  22610  lgslem4  22613  lgsvalmod  22629  lgsmod  22635  lgsdirprm  22643  lgsne0  22647  lgsqrlem2  22656  lgseisenlem1  22663  lgseisenlem2  22664  lgseisenlem3  22665  lgseisenlem4  22666  lgseisen  22667  lgsquadlem2  22669  lgsquadlem3  22670  m1lgs  22676  2sqlem8  22686  chebbnd1lem1  22693  chebbnd1lem2  22694  chebbnd1lem3  22695  chebbnd1  22696  chtppilimlem1  22697  chtppilimlem2  22698  chtppilim  22699  chebbnd2  22701  chto1lb  22702  vmadivsum  22706  vmadivsumb  22707  rplogsumlem1  22708  rplogsumlem2  22709  dchrisum0lem1a  22710  rpvmasumlem  22711  dchrisumlema  22712  dchrisumlem1  22713  dchrisumlem2  22714  dchrmusum2  22718  dchrvmasumlem1  22719  dchrvmasum2lem  22720  dchrvmasum2if  22721  dchrvmasumlem2  22722  dchrvmasumlem3  22723  dchrvmasumiflem1  22725  dchrvmasumiflem2  22726  dchrisum0flblem2  22733  dchrisum0fno1  22735  dchrisum0lema  22738  dchrisum0lem1b  22739  dchrisum0lem1  22740  dchrisum0lem2a  22741  dchrisum0lem2  22742  dchrisum0lem3  22743  dchrisum0  22744  dirith2  22752  mudivsum  22754  mulogsumlem  22755  mulogsum  22756  mulog2sumlem1  22758  mulog2sumlem2  22759  mulog2sumlem3  22760  vmalogdivsum2  22762  vmalogdivsum  22763  2vmadivsumlem  22764  logsqvma  22766  log2sumbnd  22768  selberglem1  22769  selberglem2  22770  selberglem3  22771  selberg  22772  selbergb  22773  selberg2lem  22774  selberg2  22775  selberg2b  22776  chpdifbndlem1  22777  logdivbnd  22780  selberg3lem1  22781  selberg3lem2  22782  selberg3  22783  selberg4lem1  22784  selberg4  22785  pntrsumo1  22789  pntrsumbnd2  22791  selbergr  22792  selberg3r  22793  selberg4r  22794  selberg34r  22795  pntsf  22797  pntsval2  22800  pntrlog2bndlem1  22801  pntrlog2bndlem2  22802  pntrlog2bndlem3  22803  pntrlog2bndlem4  22804  pntrlog2bndlem5  22805  pntrlog2bndlem6  22807  pntrlog2bnd  22808  pntpbnd1a  22809  pntpbnd1  22810  pntpbnd2  22811  pntibndlem2  22815  pntlemn  22824  pntlemj  22827  pntlemf  22829  pntlemk  22830  pntlemo  22831  pnt  22838  padicabvcxp  22856  ostth2lem2  22858  ostth2lem3  22859  ostth2lem4  22860  ostth2  22861  ostth3  22862  ubthlem2  24223  minvecolem3  24228  lnconi  25388  ltesubnnd  26042  rnlogblem  26410  eulerpartlemgc  26697  zetacvg  26953  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem3  26969  lgamgulmlem4  26970  lgamgulmlem5  26971  lgamgulmlem6  26972  lgamgulm2  26974  lgambdd  26975  lgamucov  26976  lgamcvg2  26993  gamcvg  26994  gamcvg2lem  26997  regamcl  26999  relgamcl  27000  lgam1  27002  iprodgam  27457  faclimlem1  27500  faclimlem3  27502  faclim  27503  iprodfac  27504  heiborlem3  28665  heiborlem5  28667  heiborlem6  28668  heiborlem7  28669  heiborlem8  28670  heibor  28673  rrndstprj2  28683  rrncmslem  28684  rrnequiv  28687  irrapxlem5  29120  pell14qrgapw  29170  pellqrexplicit  29171  pellqrex  29173  pellfundge  29176  pellfundgt1  29177  jm3.1lem1  29319  jm3.1lem2  29320  stoweidlem31  29779  stoweidlem59  29807  wallispilem3  29815  wallispi  29818  stirlinglem12  29833  stirlinglem15  29836  powm2modprm  30201  clwwisshclwwlem1  30422  numclwwlk5  30658  numclwwlk7  30660
  Copyright terms: Public domain W3C validator