MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnred Structured version   Unicode version

Theorem nnred 10324
Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnred  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnred
StepHypRef Expression
1 nnssre 10313 . 2  |-  NN  C_  RR
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3342 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   RRcr 9268   NNcn 10309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-nn 10310
This theorem is referenced by:  uzwo3  10935  modmulnn  11708  bernneq3  11975  expmulnbnd  11979  facwordi  12048  faclbnd  12049  faclbnd2  12050  faclbnd3  12051  faclbnd5  12057  faclbnd6  12058  facubnd  12059  facavg  12060  bcp1nk  12076  hashf1  12193  swrds2  12528  isercolllem1  13125  isercoll  13128  o1fsum  13258  climcndslem1  13294  climcndslem2  13295  climcnds  13296  eftabs  13343  efcllem  13345  ege2le3  13357  efcj  13359  eftlub  13375  eflegeo  13387  eirrlem  13468  fzm1ndvds  13567  bitsfzolem  13612  bitsfzo  13613  bitsinv1lem  13619  sadcaddlem  13635  smueqlem  13668  bezoutlem3  13706  bezoutlem4  13707  sqgcd  13724  prmind2  13756  coprm  13768  prmfac1  13786  divdenle  13809  qnumgt0  13810  zsqrelqelz  13818  hashdvds  13832  eulerthlem2  13839  odzdvds  13849  modprm1div  13851  modprm0  13855  pythagtriplem11  13874  pythagtriplem13  13876  pythagtriplem19  13882  pclem  13887  pcpre1  13891  pcidlem  13920  pcadd  13933  pcmpt  13936  pcmpt2  13937  pcfaclem  13942  pcfac  13943  qexpz  13945  pockthlem  13948  pockthg  13949  prmreclem1  13959  prmreclem3  13961  prmreclem4  13962  prmreclem5  13963  1arithlem4  13969  1arith  13970  4sqlem5  13985  4sqlem6  13986  4sqlem10  13990  mul4sqlem  13996  4sqlem11  13998  4sqlem12  13999  4sqlem13  14000  4sqlem14  14001  4sqlem15  14002  4sqlem16  14003  4sqlem17  14004  vdwlem1  14024  vdwlem3  14026  vdwlem6  14029  vdwlem9  14032  vdwlem10  14033  vdwlem12  14035  vdwnnlem3  14040  ramub1lem1  14069  2expltfac  14101  cshwshashnsame  14112  psgnunilem4  15982  mndodconglem  16023  oddvds  16029  sylow1lem1  16076  sylow1lem5  16080  fislw  16103  efgredlem  16223  gexexlem  16313  zringlpirlem3  17746  zlpirlem3  17751  prmirredlem  17758  prmirredlemOLD  17761  lebnumii  20379  lmnn  20615  ovolunlem1a  20820  ovoliunlem1  20826  ovolicc2lem3  20843  ovolicc2lem4  20844  iundisj  20870  voliunlem1  20872  uniioombllem3  20906  dyadf  20912  dyadovol  20914  dyaddisjlem  20916  dyadmaxlem  20918  opnmbllem  20922  vitalilem4  20932  mbfi1fseqlem1  21034  mbfi1fseqlem3  21036  mbfi1fseqlem4  21037  mbfi1fseqlem5  21038  mbfi1fseqlem6  21039  itg2gt0  21079  itg2cnlem2  21081  dgreq0  21616  dgrco  21626  elqaalem2  21670  aaliou3lem2  21693  aaliou3lem8  21695  aaliou3lem9  21700  leibpi  22221  log2tlbnd  22224  birthdaylem3  22231  amgm  22268  emcllem2  22274  harmonicbnd4  22288  wilthlem1  22290  ftalem5  22298  basellem1  22302  basellem2  22303  basellem3  22304  basellem4  22305  basellem5  22306  basellem6  22307  basellem8  22309  chtge0  22334  chtwordi  22378  vma1  22388  dvdsdivcl  22405  dvdsflf1o  22411  dvdsflsumcom  22412  fsumfldivdiaglem  22413  sgmmul  22424  chtublem  22434  fsumvma2  22437  logfac2  22440  chpchtsum  22442  chpub  22443  logfaclbnd  22445  logexprlim  22448  mersenne  22450  perfectlem2  22453  dchrelbas4  22466  bposlem1  22507  bposlem2  22508  bposlem3  22509  bposlem4  22510  bposlem5  22511  bposlem6  22512  bposlem7  22513  bposlem9  22515  lgslem1  22519  lgslem4  22522  lgsval2lem  22529  lgsdirprm  22552  lgsdir  22553  lgsne0  22556  lgsqrlem2  22565  lgseisenlem1  22572  lgseisenlem2  22573  lgseisenlem3  22574  lgseisenlem4  22575  lgseisen  22576  lgsquadlem1  22577  lgsquadlem2  22578  lgsquadlem3  22579  m1lgs  22585  2sqlem3  22589  2sqlem8  22595  2sqblem  22600  chebbnd1lem1  22602  chebbnd1lem3  22604  chtppilimlem1  22606  rplogsumlem1  22617  rplogsumlem2  22618  dchrisum0lem1a  22619  rpvmasumlem  22620  dchrisumlema  22621  dchrisumlem1  22622  dchrisumlem2  22623  dchrisumlem3  22624  dchrvmasumiflem1  22634  dchrisum0flblem2  22642  dchrisum0re  22646  dchrisum0lem1b  22648  dchrisum0lem1  22649  dirith2  22661  selbergb  22682  selberg2lem  22683  logdivbnd  22689  selberg3lem2  22691  selberg4lem1  22693  pntrsumo1  22698  pntrsumbnd2  22700  pntrlog2bndlem1  22710  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem3  22712  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntpbnd1a  22718  pntpbnd1  22719  pntibndlem2a  22723  pntibndlem2  22724  pntlemg  22731  pntlemh  22732  pntlemj  22736  pntlemf  22738  ostth2lem1  22751  padicabvf  22764  padicabvcxp  22765  ostth2lem2  22767  ostth2lem3  22768  ostth2lem4  22769  ostth2  22770  ostth3  22771  eupap1  23419  ubthlem2  24094  minvecolem4  24103  iundisjf  25754  ssnnssfz  25898  iundisjfi  25902  esumcst  26367  oddpwdc  26584  eulerpartlems  26590  eulerpartlemgc  26592  fiblem  26628  dstfrvunirn  26704  dstfrvclim1  26707  ballotlemimin  26735  lgamgulmlem1  26862  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  lgamgulmlem4  26865  lgamgulmlem5  26866  lgamgulmlem6  26867  lgamucov  26871  lgamcvg2  26888  subfaclim  26923  subfacval3  26924  erdszelem7  26932  erdszelem8  26933  erdsze2lem2  26939  cvmliftlem2  27022  cvmliftlem6  27026  cvmliftlem7  27027  cvmliftlem8  27028  cvmliftlem9  27029  cvmliftlem10  27030  cvmliftlem13  27032  faclimlem2  27396  faclim2  27400  opnmbllem0  28268  mblfinlem2  28270  nn0prpwlem  28358  incsequz  28485  nninfnub  28488  irrapxlem3  29007  irrapxlem4  29008  irrapxlem5  29009  pellexlem2  29013  pellexlem6  29017  pell14qrgt0  29042  pell14qrgapw  29059  pellfundgt1  29066  rmspecsqrnq  29089  ltrmxnn0  29134  jm3.1lem1  29208  jm3.1lem3  29210  dgraa0p  29348  rfcnnnub  29600  stoweidlem1  29639  stoweidlem3  29641  stoweidlem11  29649  stoweidlem17  29655  stoweidlem20  29658  stoweidlem25  29663  stoweidlem26  29664  stoweidlem34  29672  stoweidlem38  29676  stoweidlem42  29680  stoweidlem44  29682  stoweidlem51  29689  stoweidlem59  29697  stoweidlem60  29698  wallispi  29708  wallispi2  29711  stirlinglem3  29714  stirlinglem4  29715  stirlinglem8  29719  stirlinglem10  29721  stirlinglem12  29723  stirlinglem15  29726  numclwwlk5  30548  numclwwlk7  30550  ztprmneprm  30580  pgrple2abel  30596
  Copyright terms: Public domain W3C validator