MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnred Structured version   Unicode version

Theorem nnred 10552
Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnred  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnred
StepHypRef Expression
1 nnssre 10541 . 2  |-  NN  C_  RR
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3484 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1802   RRcr 9489   NNcn 10537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-nn 10538
This theorem is referenced by:  uzwo3  11181  modmulnn  11987  bernneq3  12268  expmulnbnd  12272  facwordi  12341  faclbnd  12342  faclbnd2  12343  faclbnd3  12344  faclbnd5  12350  faclbnd6  12351  facubnd  12352  facavg  12353  bcp1nk  12369  hashf1  12480  swrds2  12857  isercolllem1  13461  isercoll  13464  o1fsum  13601  climcndslem1  13635  climcndslem2  13636  climcnds  13637  eftabs  13684  efcllem  13686  ege2le3  13698  efcj  13700  eftlub  13716  eflegeo  13728  eirrlem  13809  fzm1ndvds  13910  bitsfzolem  13956  bitsfzo  13957  bitsinv1lem  13963  sadcaddlem  13979  smueqlem  14012  bezoutlem3  14050  bezoutlem4  14051  sqgcd  14068  prmind2  14100  coprm  14113  prmfac1  14131  divdenle  14154  qnumgt0  14155  zsqrtelqelz  14163  hashdvds  14177  eulerthlem2  14184  odzdvds  14194  modprm1div  14196  modprm0  14202  pythagtriplem11  14221  pythagtriplem13  14223  pythagtriplem19  14229  pclem  14234  pcpre1  14238  pcidlem  14267  pcadd  14280  pcmpt  14283  pcmpt2  14284  pcfaclem  14289  pcfac  14290  qexpz  14292  pockthlem  14295  pockthg  14296  prmreclem1  14306  prmreclem3  14308  prmreclem4  14309  prmreclem5  14310  1arithlem4  14316  1arith  14317  4sqlem5  14332  4sqlem6  14333  4sqlem10  14337  mul4sqlem  14343  4sqlem11  14345  4sqlem12  14346  4sqlem13  14347  4sqlem14  14348  4sqlem15  14349  4sqlem16  14350  4sqlem17  14351  vdwlem1  14371  vdwlem3  14373  vdwlem6  14376  vdwlem9  14379  vdwlem10  14380  vdwlem12  14382  vdwnnlem3  14387  ramub1lem1  14416  2expltfac  14449  cshwshashnsame  14460  psgnunilem4  16391  mndodconglem  16434  oddvds  16440  sylow1lem1  16487  sylow1lem5  16491  fislw  16514  efgredlem  16634  gexexlem  16727  zringlpirlem3  18378  zlpirlem3  18383  prmirredlem  18390  prmirredlemOLD  18393  fvmptnn04if  19217  fvmptnn04ifb  19219  fvmptnn04ifc  19220  fvmptnn04ifd  19221  chfacfisf  19222  chfacfisfcpmat  19223  chfacfscmulgsum  19228  chfacfpmmulgsum  19232  lebnumii  21332  lmnn  21568  ovolunlem1a  21773  ovoliunlem1  21779  ovolicc2lem3  21796  ovolicc2lem4  21797  iundisj  21824  voliunlem1  21826  uniioombllem3  21860  dyadf  21866  dyadovol  21868  dyaddisjlem  21870  dyadmaxlem  21872  opnmbllem  21876  vitalilem4  21886  mbfi1fseqlem1  21988  mbfi1fseqlem3  21990  mbfi1fseqlem4  21991  mbfi1fseqlem5  21992  mbfi1fseqlem6  21993  itg2gt0  22033  itg2cnlem2  22035  dgreq0  22527  dgrco  22537  elqaalem2  22581  aaliou3lem2  22604  aaliou3lem8  22606  aaliou3lem9  22611  leibpi  23138  log2tlbnd  23141  birthdaylem3  23148  amgm  23185  emcllem2  23191  harmonicbnd4  23205  wilthlem1  23207  ftalem5  23215  basellem1  23219  basellem2  23220  basellem3  23221  basellem4  23222  basellem5  23223  basellem6  23224  basellem8  23226  chtge0  23251  chtwordi  23295  vma1  23305  dvdsdivcl  23322  dvdsflf1o  23328  dvdsflsumcom  23329  fsumfldivdiaglem  23330  sgmmul  23341  chtublem  23351  fsumvma2  23354  logfac2  23357  chpchtsum  23359  chpub  23360  logfaclbnd  23362  logexprlim  23365  mersenne  23367  perfectlem2  23370  dchrelbas4  23383  bposlem1  23424  bposlem2  23425  bposlem3  23426  bposlem4  23427  bposlem5  23428  bposlem6  23429  bposlem7  23430  bposlem9  23432  lgslem1  23436  lgslem4  23439  lgsval2lem  23446  lgsdirprm  23469  lgsdir  23470  lgsne0  23473  lgsqrlem2  23482  lgseisenlem1  23489  lgseisenlem2  23490  lgseisenlem3  23491  lgseisenlem4  23492  lgseisen  23493  lgsquadlem1  23494  lgsquadlem2  23495  lgsquadlem3  23496  m1lgs  23502  2sqlem3  23506  2sqlem8  23512  2sqblem  23517  chebbnd1lem1  23519  chebbnd1lem3  23521  chtppilimlem1  23523  rplogsumlem1  23534  rplogsumlem2  23535  dchrisum0lem1a  23536  rpvmasumlem  23537  dchrisumlema  23538  dchrisumlem1  23539  dchrisumlem2  23540  dchrisumlem3  23541  dchrvmasumiflem1  23551  dchrisum0flblem2  23559  dchrisum0re  23563  dchrisum0lem1b  23565  dchrisum0lem1  23566  dirith2  23578  selbergb  23599  selberg2lem  23600  logdivbnd  23606  selberg3lem2  23608  selberg4lem1  23610  pntrsumo1  23615  pntrsumbnd2  23617  pntrlog2bndlem1  23627  pntrlog2bndlem2  23628  pntrlog2bndlem3  23629  pntrlog2bndlem4  23630  pntrlog2bndlem5  23631  pntpbnd1a  23635  pntpbnd1  23636  pntibndlem2a  23640  pntibndlem2  23641  pntlemg  23648  pntlemh  23649  pntlemj  23653  pntlemf  23655  ostth2lem1  23668  padicabvf  23681  padicabvcxp  23682  ostth2lem2  23684  ostth2lem3  23685  ostth2lem4  23686  ostth2  23687  ostth3  23688  eupap1  24841  numclwwlk5  24977  numclwwlk7  24979  ubthlem2  25652  minvecolem4  25661  iundisjf  27313  ssnnssfz  27462  iundisjfi  27466  2sqmod  27502  esumcst  27937  oddpwdc  28159  eulerpartlems  28165  eulerpartlemgc  28167  fiblem  28203  dstfrvunirn  28279  dstfrvclim1  28282  ballotlemimin  28310  lgamgulmlem1  28437  lgamgulmlem2  28438  lgamgulmlem3  28439  lgamgulmlem4  28440  lgamgulmlem5  28441  lgamgulmlem6  28442  lgamucov  28446  lgamcvg2  28463  subfaclim  28498  subfacval3  28499  erdszelem7  28507  erdszelem8  28508  erdsze2lem2  28514  cvmliftlem2  28597  cvmliftlem6  28601  cvmliftlem7  28602  cvmliftlem8  28603  cvmliftlem9  28604  cvmliftlem10  28605  cvmliftlem13  28607  faclimlem2  29137  faclim2  29141  opnmbllem0  30018  mblfinlem2  30020  nn0prpwlem  30108  incsequz  30209  nninfnub  30212  irrapxlem3  30728  irrapxlem4  30729  irrapxlem5  30730  pellexlem2  30734  pellexlem6  30738  pell14qrgt0  30763  pell14qrgapw  30780  pellfundgt1  30787  rmspecsqrtnq  30810  ltrmxnn0  30855  jm3.1lem1  30927  jm3.1lem3  30929  dgraa0p  31067  lcmgcdlem  31181  hashnzfz2  31195  rfcnnnub  31358  nnxrd  31366  fzisoeu  31445  sumnnodd  31540  stoweidlem1  31668  stoweidlem3  31670  stoweidlem11  31678  stoweidlem17  31684  stoweidlem20  31687  stoweidlem25  31692  stoweidlem26  31693  stoweidlem34  31701  stoweidlem38  31705  stoweidlem42  31709  stoweidlem44  31711  stoweidlem51  31718  stoweidlem59  31726  stoweidlem60  31727  wallispi  31737  wallispi2  31740  stirlinglem3  31743  stirlinglem4  31744  stirlinglem8  31748  stirlinglem10  31750  stirlinglem12  31752  stirlinglem15  31755  dirkertrigeqlem2  31766  dirkertrigeqlem3  31767  dirkercncflem2  31771  fourierdlem11  31785  fourierdlem14  31788  fourierdlem15  31789  fourierdlem20  31794  fourierdlem31  31805  fourierdlem64  31838  fourierdlem93  31867  fourierdlem95  31869  fourierdlem103  31877  fourierdlem104  31878  fourierdlem112  31886  sqwvfourb  31897  ztprmneprm  32644  pgrple2abl  32666
  Copyright terms: Public domain W3C validator