MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnred Structured version   Unicode version

Theorem nnred 10540
Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnred  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnred
StepHypRef Expression
1 nnssre 10529 . 2  |-  NN  C_  RR
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3495 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   RRcr 9480   NNcn 10525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-nn 10526
This theorem is referenced by:  uzwo3  11166  modmulnn  11969  bernneq3  12249  expmulnbnd  12253  facwordi  12322  faclbnd  12323  faclbnd2  12324  faclbnd3  12325  faclbnd5  12331  faclbnd6  12332  facubnd  12333  facavg  12334  bcp1nk  12350  hashf1  12459  swrds2  12833  isercolllem1  13436  isercoll  13439  o1fsum  13576  climcndslem1  13613  climcndslem2  13614  climcnds  13615  eftabs  13662  efcllem  13664  ege2le3  13676  efcj  13678  eftlub  13694  eflegeo  13706  eirrlem  13787  fzm1ndvds  13886  bitsfzolem  13932  bitsfzo  13933  bitsinv1lem  13939  sadcaddlem  13955  smueqlem  13988  bezoutlem3  14026  bezoutlem4  14027  sqgcd  14044  prmind2  14076  coprm  14089  prmfac1  14107  divdenle  14130  qnumgt0  14131  zsqrelqelz  14139  hashdvds  14153  eulerthlem2  14160  odzdvds  14170  modprm1div  14172  modprm0  14178  pythagtriplem11  14197  pythagtriplem13  14199  pythagtriplem19  14205  pclem  14210  pcpre1  14214  pcidlem  14243  pcadd  14256  pcmpt  14259  pcmpt2  14260  pcfaclem  14265  pcfac  14266  qexpz  14268  pockthlem  14271  pockthg  14272  prmreclem1  14282  prmreclem3  14284  prmreclem4  14285  prmreclem5  14286  1arithlem4  14292  1arith  14293  4sqlem5  14308  4sqlem6  14309  4sqlem10  14313  mul4sqlem  14319  4sqlem11  14321  4sqlem12  14322  4sqlem13  14323  4sqlem14  14324  4sqlem15  14325  4sqlem16  14326  4sqlem17  14327  vdwlem1  14347  vdwlem3  14349  vdwlem6  14352  vdwlem9  14355  vdwlem10  14356  vdwlem12  14358  vdwnnlem3  14363  ramub1lem1  14392  2expltfac  14424  cshwshashnsame  14435  psgnunilem4  16311  mndodconglem  16354  oddvds  16360  sylow1lem1  16407  sylow1lem5  16411  fislw  16434  efgredlem  16554  gexexlem  16644  zringlpirlem3  18271  zlpirlem3  18276  prmirredlem  18283  prmirredlemOLD  18286  fvmptnn04if  19110  fvmptnn04ifb  19112  fvmptnn04ifc  19113  fvmptnn04ifd  19114  chfacfisf  19115  chfacfisfcpmat  19116  chfacfscmulgsum  19121  chfacfpmmulgsum  19125  lebnumii  21194  lmnn  21430  ovolunlem1a  21635  ovoliunlem1  21641  ovolicc2lem3  21658  ovolicc2lem4  21659  iundisj  21686  voliunlem1  21688  uniioombllem3  21722  dyadf  21728  dyadovol  21730  dyaddisjlem  21732  dyadmaxlem  21734  opnmbllem  21738  vitalilem4  21748  mbfi1fseqlem1  21850  mbfi1fseqlem3  21852  mbfi1fseqlem4  21853  mbfi1fseqlem5  21854  mbfi1fseqlem6  21855  itg2gt0  21895  itg2cnlem2  21897  dgreq0  22389  dgrco  22399  elqaalem2  22443  aaliou3lem2  22466  aaliou3lem8  22468  aaliou3lem9  22473  leibpi  22994  log2tlbnd  22997  birthdaylem3  23004  amgm  23041  emcllem2  23047  harmonicbnd4  23061  wilthlem1  23063  ftalem5  23071  basellem1  23075  basellem2  23076  basellem3  23077  basellem4  23078  basellem5  23079  basellem6  23080  basellem8  23082  chtge0  23107  chtwordi  23151  vma1  23161  dvdsdivcl  23178  dvdsflf1o  23184  dvdsflsumcom  23185  fsumfldivdiaglem  23186  sgmmul  23197  chtublem  23207  fsumvma2  23210  logfac2  23213  chpchtsum  23215  chpub  23216  logfaclbnd  23218  logexprlim  23221  mersenne  23223  perfectlem2  23226  dchrelbas4  23239  bposlem1  23280  bposlem2  23281  bposlem3  23282  bposlem4  23283  bposlem5  23284  bposlem6  23285  bposlem7  23286  bposlem9  23288  lgslem1  23292  lgslem4  23295  lgsval2lem  23302  lgsdirprm  23325  lgsdir  23326  lgsne0  23329  lgsqrlem2  23338  lgseisenlem1  23345  lgseisenlem2  23346  lgseisenlem3  23347  lgseisenlem4  23348  lgseisen  23349  lgsquadlem1  23350  lgsquadlem2  23351  lgsquadlem3  23352  m1lgs  23358  2sqlem3  23362  2sqlem8  23368  2sqblem  23373  chebbnd1lem1  23375  chebbnd1lem3  23377  chtppilimlem1  23379  rplogsumlem1  23390  rplogsumlem2  23391  dchrisum0lem1a  23392  rpvmasumlem  23393  dchrisumlema  23394  dchrisumlem1  23395  dchrisumlem2  23396  dchrisumlem3  23397  dchrvmasumiflem1  23407  dchrisum0flblem2  23415  dchrisum0re  23419  dchrisum0lem1b  23421  dchrisum0lem1  23422  dirith2  23434  selbergb  23455  selberg2lem  23456  logdivbnd  23462  selberg3lem2  23464  selberg4lem1  23466  pntrsumo1  23471  pntrsumbnd2  23473  pntrlog2bndlem1  23483  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bndlem3  23485  pntrlog2bndlem4  23486  pntrlog2bndlem5  23487  pntpbnd1a  23491  pntpbnd1  23492  pntibndlem2a  23496  pntibndlem2  23497  pntlemg  23504  pntlemh  23505  pntlemj  23509  pntlemf  23511  ostth2lem1  23524  padicabvf  23537  padicabvcxp  23538  ostth2lem2  23540  ostth2lem3  23541  ostth2lem4  23542  ostth2  23543  ostth3  23544  eupap1  24638  ubthlem2  25313  minvecolem4  25322  iundisjf  26971  ssnnssfz  27115  iundisjfi  27119  esumcst  27561  oddpwdc  27783  eulerpartlems  27789  eulerpartlemgc  27791  fiblem  27827  dstfrvunirn  27903  dstfrvclim1  27906  ballotlemimin  27934  lgamgulmlem1  28061  lgamgulmlem2  28062  lgamgulmlem3  28063  lgamgulmlem4  28064  lgamgulmlem5  28065  lgamgulmlem6  28066  lgamucov  28070  lgamcvg2  28087  subfaclim  28122  subfacval3  28123  erdszelem7  28131  erdszelem8  28132  erdsze2lem2  28138  cvmliftlem2  28221  cvmliftlem6  28225  cvmliftlem7  28226  cvmliftlem8  28227  cvmliftlem9  28228  cvmliftlem10  28229  cvmliftlem13  28231  faclimlem2  28596  faclim2  28600  opnmbllem0  29478  mblfinlem2  29480  nn0prpwlem  29568  incsequz  29695  nninfnub  29698  irrapxlem3  30215  irrapxlem4  30216  irrapxlem5  30217  pellexlem2  30221  pellexlem6  30225  pell14qrgt0  30250  pell14qrgapw  30267  pellfundgt1  30274  rmspecsqrnq  30297  ltrmxnn0  30342  jm3.1lem1  30416  jm3.1lem3  30418  dgraa0p  30556  rfcnnnub  30808  nnxrd  30816  fzisoeu  30896  sumnnodd  30991  ioodvbdlimc1lem2  31081  ioodvbdlimc2lem  31083  stoweidlem1  31120  stoweidlem3  31122  stoweidlem11  31130  stoweidlem17  31136  stoweidlem20  31139  stoweidlem25  31144  stoweidlem26  31145  stoweidlem34  31153  stoweidlem38  31157  stoweidlem42  31161  stoweidlem44  31163  stoweidlem51  31170  stoweidlem59  31178  stoweidlem60  31179  wallispi  31189  wallispi2  31192  stirlinglem3  31195  stirlinglem4  31196  stirlinglem8  31200  stirlinglem10  31202  stirlinglem12  31204  stirlinglem15  31207  dirkertrigeqlem2  31218  dirkertrigeqlem3  31219  dirkercncflem2  31223  dirkercncflem4  31225  fourierdlem11  31237  fourierdlem14  31240  fourierdlem15  31241  fourierdlem20  31246  fourierdlem31  31257  fourierdlem64  31290  fourierdlem93  31319  fourierdlem95  31321  fourierdlem103  31329  fourierdlem104  31330  fourierdlem112  31338  sqwvfourb  31349  numclwwlk5  31831  numclwwlk7  31833  ztprmneprm  31875  pgrple2abel  31898
  Copyright terms: Public domain W3C validator