MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Unicode version

Theorem nnrecred 10354
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrecred  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrecre 10345 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   RRcr 9268   1c1 9270    / cdiv 9980   NNcn 10309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310
This theorem is referenced by:  trireciplem  13306  trirecip  13307  geo2sum  13315  geo2lim  13317  ege2le3  13357  eftlub  13375  eirrlem  13468  prmreclem6  13964  lmnn  20615  bcthlem5  20680  opnmbllem  20922  mbfi1fseqlem4  21037  taylthlem2  21723  logtayl  21989  leibpi  22221  amgmlem  22267  emcllem1  22273  emcllem2  22274  emcllem3  22275  emcllem5  22277  harmoniclbnd  22286  harmonicubnd  22287  harmonicbnd4  22288  fsumharmonic  22289  ftalem4  22297  ftalem5  22298  basellem6  22307  basellem7  22308  basellem9  22310  chpchtsum  22442  logfaclbnd  22445  rplogsumlem2  22618  rpvmasumlem  22620  dchrmusum2  22627  dchrvmasumlem3  22632  dchrisum0fno1  22644  mulogsumlem  22664  mulogsum  22665  mulog2sumlem1  22667  vmalogdivsum2  22671  logdivbnd  22689  pntrsumo1  22698  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem5  22714  pntrlog2bndlem6  22716  pntpbnd2  22720  padicabvf  22764  minvecolem3  24099  minvecolem4  24103  lgamgulmlem1  26862  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  lgamgulmlem5  26866  lgamucov  26871  subfacval3  26924  cvmliftlem13  27032  bpolydiflem  28043  opnmbllem0  28268  heiborlem7  28557  irrapxlem4  29008  stoweidlem30  29668  stoweidlem38  29676  stoweidlem44  29682
  Copyright terms: Public domain W3C validator