MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Unicode version

Theorem nnrecred 10577
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrecred  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrecre 10568 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    / cdiv 10202   NNcn 10531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532
This theorem is referenced by:  trireciplem  13755  trirecip  13756  geo2sum  13764  geo2lim  13766  ege2le3  13907  eftlub  13926  eirrlem  14019  prmreclem6  14523  lmnn  21868  bcthlem5  21933  opnmbllem  22176  mbfi1fseqlem4  22291  taylthlem2  22935  logtayl  23209  leibpi  23470  amgmlem  23517  emcllem1  23523  emcllem2  23524  emcllem3  23525  emcllem5  23527  harmoniclbnd  23536  harmonicubnd  23537  harmonicbnd4  23538  fsumharmonic  23539  ftalem4  23547  ftalem5  23548  basellem6  23557  basellem7  23558  basellem9  23560  chpchtsum  23692  logfaclbnd  23695  rplogsumlem2  23868  rpvmasumlem  23870  dchrmusum2  23877  dchrvmasumlem3  23882  dchrisum0fno1  23894  mulogsumlem  23914  mulogsum  23915  mulog2sumlem1  23917  vmalogdivsum2  23921  logdivbnd  23939  pntrsumo1  23948  pntrlog2bndlem2  23961  pntrlog2bndlem5  23964  pntrlog2bndlem6  23966  pntpbnd2  23970  padicabvf  24014  minvecolem3  25990  minvecolem4  25994  lgamgulmlem1  28835  lgamgulmlem2  28836  lgamgulmlem3  28837  lgamgulmlem5  28839  lgamucov  28844  subfacval3  28897  cvmliftlem13  29005  bpolydiflem  30044  opnmbllem0  30290  heiborlem7  30553  irrapxlem4  31000  hashnzfz2  31467  hashnzfzclim  31468  stoweidlem30  32051  stoweidlem38  32059  stoweidlem44  32065
  Copyright terms: Public domain W3C validator