MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Unicode version

Theorem nnrecred 10366
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrecred  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrecre 10357 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6090   RRcr 9280   1c1 9282    / cdiv 9992   NNcn 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322
This theorem is referenced by:  trireciplem  13323  trirecip  13324  geo2sum  13332  geo2lim  13334  ege2le3  13374  eftlub  13392  eirrlem  13485  prmreclem6  13981  lmnn  20773  bcthlem5  20838  opnmbllem  21080  mbfi1fseqlem4  21195  taylthlem2  21838  logtayl  22104  leibpi  22336  amgmlem  22382  emcllem1  22388  emcllem2  22389  emcllem3  22390  emcllem5  22392  harmoniclbnd  22401  harmonicubnd  22402  harmonicbnd4  22403  fsumharmonic  22404  ftalem4  22412  ftalem5  22413  basellem6  22422  basellem7  22423  basellem9  22425  chpchtsum  22557  logfaclbnd  22560  rplogsumlem2  22733  rpvmasumlem  22735  dchrmusum2  22742  dchrvmasumlem3  22747  dchrisum0fno1  22759  mulogsumlem  22779  mulogsum  22780  mulog2sumlem1  22782  vmalogdivsum2  22786  logdivbnd  22804  pntrsumo1  22813  pntrlog2bndlem2  22826  pntrlog2bndlem5  22829  pntrlog2bndlem6  22831  pntpbnd2  22835  padicabvf  22879  minvecolem3  24276  minvecolem4  24280  lgamgulmlem1  27014  lgamgulmlem2  27015  lgamgulmlem3  27016  lgamgulmlem5  27018  lgamucov  27023  subfacval3  27076  cvmliftlem13  27184  bpolydiflem  28196  opnmbllem0  28425  heiborlem7  28714  irrapxlem4  29164  stoweidlem30  29823  stoweidlem38  29831  stoweidlem44  29837
  Copyright terms: Public domain W3C validator