MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Unicode version

Theorem nnrecred 10581
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrecred  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrecre 10572 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   RRcr 9491   1c1 9493    / cdiv 10206   NNcn 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537
This theorem is referenced by:  trireciplem  13636  trirecip  13637  geo2sum  13645  geo2lim  13647  ege2le3  13687  eftlub  13705  eirrlem  13798  prmreclem6  14298  lmnn  21465  bcthlem5  21530  opnmbllem  21773  mbfi1fseqlem4  21888  taylthlem2  22531  logtayl  22797  leibpi  23029  amgmlem  23075  emcllem1  23081  emcllem2  23082  emcllem3  23083  emcllem5  23085  harmoniclbnd  23094  harmonicubnd  23095  harmonicbnd4  23096  fsumharmonic  23097  ftalem4  23105  ftalem5  23106  basellem6  23115  basellem7  23116  basellem9  23118  chpchtsum  23250  logfaclbnd  23253  rplogsumlem2  23426  rpvmasumlem  23428  dchrmusum2  23435  dchrvmasumlem3  23440  dchrisum0fno1  23452  mulogsumlem  23472  mulogsum  23473  mulog2sumlem1  23475  vmalogdivsum2  23479  logdivbnd  23497  pntrsumo1  23506  pntrlog2bndlem2  23519  pntrlog2bndlem5  23522  pntrlog2bndlem6  23524  pntpbnd2  23528  padicabvf  23572  minvecolem3  25496  minvecolem4  25500  lgamgulmlem1  28239  lgamgulmlem2  28240  lgamgulmlem3  28241  lgamgulmlem5  28243  lgamucov  28248  subfacval3  28301  cvmliftlem13  28409  bpolydiflem  29421  opnmbllem0  29655  heiborlem7  29944  irrapxlem4  30393  hashnzfz2  30854  hashnzfzclim  30855  stoweidlem30  31358  stoweidlem38  31366  stoweidlem44  31372
  Copyright terms: Public domain W3C validator