MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Unicode version

Theorem nnrecred 10001
Description: The reciprocal of a natural number is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnrecred  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnrecre 9992 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947    / cdiv 9633   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  trireciplem  12596  trirecip  12597  geo2sum  12605  geo2lim  12607  ege2le3  12647  eftlub  12665  eirrlem  12758  prmreclem6  13244  lmnn  19169  bcthlem5  19234  opnmbllem  19446  mbfi1fseqlem4  19563  taylthlem2  20243  logtayl  20504  leibpi  20735  amgmlem  20781  emcllem1  20787  emcllem2  20788  emcllem3  20789  emcllem5  20791  harmoniclbnd  20800  harmonicubnd  20801  harmonicbnd4  20802  fsumharmonic  20803  ftalem4  20811  ftalem5  20812  basellem6  20821  basellem7  20822  basellem9  20824  chpchtsum  20956  logfaclbnd  20959  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem3  21146  dchrisum0fno1  21158  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  mulog2sumlem1  21181  vmalogdivsum2  21185  logdivbnd  21203  pntrsumo1  21212  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem5  21228  pntrlog2bndlem6  21230  pntpbnd2  21234  padicabvf  21278  minvecolem3  22331  minvecolem4  22335  lgamgulmlem1  24766  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem5  24770  lgamucov  24775  subfacval3  24828  cvmliftlem13  24936  bpolydiflem  26004  mblfinlem  26143  heiborlem7  26416  irrapxlem4  26778  stoweidlem30  27646  stoweidlem38  27654  stoweidlem44  27660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957
  Copyright terms: Public domain W3C validator