MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecre Structured version   Unicode version

Theorem nnrecre 10572
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
nnrecre  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )

Proof of Theorem nnrecre
StepHypRef Expression
1 1re 9595 . 2  |-  1  e.  RR
2 nndivre 10571 . 2  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  N
)  e.  RR )
31, 2mpan 670 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   RRcr 9491   1c1 9493    / cdiv 10206   NNcn 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537
This theorem is referenced by:  nnrecred  10581  rpnnen1lem5  11212  fldiv  11955  supcvg  13630  harmonic  13633  rpnnen2lem11  13819  prmreclem4  14296  prmreclem5  14297  prmreclem6  14298  prmrec  14299  met1stc  20787  pcoass  21287  bcthlem4  21529  vitali  21785  ismbf3d  21824  itg2seq  21912  itg2gt0  21930  plyeq0lem  22370  logtayllem  22796  cxproot  22827  cxpeq  22887  quartlem3  22946  leibpi  23029  emcllem4  23084  emcllem6  23086  basellem6  23115  mulogsumlem  23472  pntpbnd2  23528  ipasslem4  25453  ipasslem5  25454  minvecolem5  25501  subfaclim  28300  faclim  28776  stirlinglem1  31402
  Copyright terms: Public domain W3C validator