MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecl Structured version   Unicode version

Theorem nnrecl 10814
Description: There exists a positive integer whose reciprocal is less than a given positive real. Exercise 3 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnrecl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  A )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem nnrecl
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR )
2 gt0ne0 10038 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
31, 2rereccld 10392 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
4 arch 10813 . . 3  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  A )  <  n
)
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  A
)  <  n )
6 recgt0 10407 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
73, 6jca 532 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  A ) ) )
8 nnre 10563 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
9 nngt0 10585 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  n )
108, 9jca 532 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
11 ltrec 10446 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1  /  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  A ) )  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
( ( 1  /  A )  <  n  <->  ( 1  /  n )  <  ( 1  / 
( 1  /  A
) ) ) )
127, 10, 11syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A )  < 
n  <->  ( 1  /  n )  <  (
1  /  ( 1  /  A ) ) ) )
13 recn 9599 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
1514, 2recrecd 10338 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
1615breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( 1  /  n )  <  (
1  /  ( 1  /  A ) )  <-> 
( 1  /  n
)  <  A )
)
1716adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  n )  < 
( 1  /  (
1  /  A ) )  <->  ( 1  /  n )  <  A
) )
1812, 17bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  A )  < 
n  <->  ( 1  /  n )  <  A
) )
1918rexbidva 2965 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( E. n  e.  NN  ( 1  /  A )  <  n  <->  E. n  e.  NN  (
1  /  n )  <  A ) )
205, 19mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819   E.wrex 2808   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    < clt 9645    / cdiv 10227   NNcn 10556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557
This theorem is referenced by:  qbtwnre  11423  met1stc  21149  met2ndci  21150  bcthlem4  21891  ismbf3d  22186  itg2seq  22274  itg2gt0  22292
  Copyright terms: Public domain W3C validator