MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnre Structured version   Unicode version

Theorem nnre 10316
Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnre  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnre
StepHypRef Expression
1 nnssre 10313 . 2  |-  NN  C_  RR
21sseli 3340 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   RRcr 9268   NNcn 10309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-nn 10310
This theorem is referenced by:  nnrei  10318  nn2ge  10334  nnge1  10335  nngt1ne1  10336  nnle1eq1  10337  nngt0  10338  nnnlt1  10339  nndivre  10344  nnrecgt0  10346  nnsub  10347  nnunb  10562  arch  10563  nnrecl  10564  bndndx  10565  0mnnnnn0  10599  nnnegz  10636  elnnz  10643  elz2  10650  gtndiv  10706  prime  10709  btwnz  10731  indstr  10910  qre  10945  rpnnen1lem1  10966  rpnnen1lem2  10967  rpnnen1lem3  10968  rpnnen1lem5  10970  nnrp  10987  qbtwnre  11156  fzo1fzo0n0  11571  elfzo0le  11573  fzonmapblen  11575  ubmelfzo  11586  ubmelm1fzo  11606  flltdivnn0lt  11660  quoremz  11677  quoremnn0  11678  quoremnn0ALT  11679  intfracq  11681  fldiv  11682  modmulnn  11708  modidmul0  11717  addmodid  11731  modifeq2int  11744  modaddmodup  11745  modaddmodlo  11746  nnlesq  11952  digit2  11980  digit1  11981  facdiv  12046  facndiv  12047  faclbnd  12049  faclbnd3  12051  faclbnd4lem4  12055  faclbnd5  12057  bcval5  12077  seqcoll  12199  lswcl  12253  lswccatn0lsw  12270  swrdn0  12307  cshwidxmod  12423  cshwidxm1  12426  repswcshw  12429  isercolllem1  13125  harmonic  13303  efaddlem  13360  rpnnen2lem9  13487  rpnnen2  13490  sqr2irr  13513  nndivdvds  13523  dvdsle  13560  dvdseq  13562  fzm1ndvds  13567  divalg2  13591  divalgmod  13592  ndvdsadd  13594  modgcd  13702  gcdmultiple  13716  gcdmultiplez  13717  gcdeq  13718  sqgcd  13724  dvdssqlem  13725  isprm3  13754  qredeq  13774  qredeu  13775  isprm5  13780  divdenle  13809  phibndlem  13827  eulerthlem2  13839  oddprm  13864  pythagtriplem10  13869  pythagtriplem12  13875  pythagtriplem14  13877  pythagtriplem16  13879  pythagtriplem19  13882  pclem  13887  pc2dvds  13927  pcmpt  13936  fldivp1  13941  pcbc  13944  infpnlem1  13953  infpn2  13956  prmreclem1  13959  prmreclem3  13961  vdwlem3  14026  ram0  14065  cshwshashlem1  14104  cshwshashlem2  14105  mulgnegnn  15616  odmodnn0  16022  gexdvds  16062  sylow3lem6  16110  prmirredlem  17758  prmirredlemOLD  17761  znidomb  17835  ovolunlem1a  20820  ovoliunlem2  20827  ovolicc2lem3  20843  ovolicc2lem4  20844  iundisj2  20871  dyadss  20915  volsup2  20926  volivth  20928  vitali  20934  ismbf3d  20973  mbfi1fseqlem3  21036  mbfi1fseqlem4  21037  mbfi1fseqlem5  21038  itg2seq  21061  itg2gt0  21079  itg2cnlem1  21080  plyeq0lem  21562  dgreq0  21616  dgrcolem2  21625  elqaalem2  21670  elqaalem3  21671  logtayllem  21988  leibpi  22221  birthdaylem3  22231  basellem1  22302  basellem2  22303  basellem3  22304  basellem6  22307  basellem9  22310  prmorcht  22400  dvdsdivcl  22405  dvdsflsumcom  22412  muinv  22417  vmalelog  22428  chtublem  22434  logfac2  22440  logfaclbnd  22445  pcbcctr  22499  bcmono  22500  bposlem1  22507  bposlem5  22511  bposlem6  22512  bpos  22516  lgsval4a  22541  lgsquadlem1  22577  lgsquadlem2  22578  dchrisum0re  22646  dchrisum0lem1  22649  logdivbnd  22689  ostth2lem1  22751  ostth2lem3  22768  gxnn0neg  23572  gxmodid  23588  nmounbseqi  23999  nmounbseqiOLD  24000  nmobndseqi  24001  nmobndseqiOLD  24002  ubthlem1  24093  minvecolem3  24099  lnconi  25259  iundisj2f  25755  esumpmono  26381  eulerpartlemb  26598  fibp1  26631  zetacvg  26848  eldmgm  26855  subfaclim  26923  subfacval3  26924  snmlff  27065  fz0n  27235  nndivsub  28150  nndivlub  28151  mblfinlem2  28270  nn0prpwlem  28358  nn0prpw  28359  fzmul  28477  incsequz  28485  nnubfi  28487  nninfnub  28488  irrapxlem1  29005  irrapxlem2  29006  pellexlem1  29012  pellexlem5  29016  pellqrex  29062  monotoddzzfi  29125  jm2.24nn  29144  congabseq  29159  acongrep  29165  acongeq  29168  expdiophlem1  29212  idomrootle  29402  idomodle  29403  hashgcdlem  29407  fmuldfeq  29606  stoweidlem14  29652  stoweidlem17  29655  stoweidlem20  29658  stoweidlem49  29687  stoweidlem60  29698  wallispilem3  29705  wallispilem4  29706  wallispilem5  29707  wallispi  29708  wallispi2lem1  29709  wallispi2lem2  29710  stirlinglem1  29712  stirlinglem3  29714  stirlinglem4  29715  stirlinglem6  29717  stirlinglem7  29718  stirlinglem10  29721  stirlinglem11  29722  stirlinglem12  29723  stirlinglem13  29724  stirlingr  29728  subsubelfzo0  30053  elfzom1p1elfzo  30058  fzonn0p1p1  30059  clwwlkel  30298  clwwlkf  30299  clwwlkf1  30301  wwlkext2clwwlk  30308  wwlksubclwwlk  30309  clwwisshclwwlem  30313  numclwlk2lem2f  30539
  Copyright terms: Public domain W3C validator