MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnre Unicode version

Theorem nnre 9963
Description: A natural number is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnre  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nnre
StepHypRef Expression
1 nnssre 9960 . 2  |-  NN  C_  RR
21sseli 3304 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   RRcr 8945   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  nnrei  9965  nn2ge  9981  nnge1  9982  nngt1ne1  9983  nnle1eq1  9984  nngt0  9985  nnnlt1  9986  nndivre  9991  nnrecgt0  9993  nnsub  9994  nnunb  10173  arch  10174  nnrecl  10175  bndndx  10176  nnnegz  10241  elnnz  10248  elz2  10254  gtndiv  10303  prime  10306  btwnz  10328  indstr  10501  qre  10535  rpnnen1lem1  10556  rpnnen1lem2  10557  rpnnen1lem3  10558  rpnnen1lem5  10560  nnrp  10577  qbtwnre  10741  quoremz  11191  quoremnn0  11192  quoremnn0ALT  11193  intfracq  11195  fldiv  11196  modmulnn  11220  nnlesq  11439  digit2  11467  digit1  11468  facdiv  11533  facndiv  11534  faclbnd  11536  faclbnd3  11538  faclbnd4lem4  11542  faclbnd5  11544  bcval5  11564  seqcoll  11667  isercolllem1  12413  harmonic  12593  efaddlem  12650  rpnnen2lem9  12777  rpnnen2  12780  sqr2irr  12803  nndivdvds  12813  dvdsle  12850  dvdseq  12852  fzm1ndvds  12856  divalg2  12880  divalgmod  12881  ndvdsadd  12883  modgcd  12991  gcdmultiple  13005  gcdmultiplez  13006  gcdeq  13007  sqgcd  13013  dvdssqlem  13014  isprm3  13043  qredeq  13061  qredeu  13062  isprm5  13067  divdenle  13096  phibndlem  13114  eulerthlem2  13126  oddprm  13144  pythagtriplem10  13149  pythagtriplem12  13155  pythagtriplem14  13157  pythagtriplem16  13159  pythagtriplem19  13162  pclem  13167  pc2dvds  13207  pcmpt  13216  fldivp1  13221  pcbc  13224  infpnlem1  13233  infpn2  13236  prmreclem1  13239  prmreclem3  13241  vdwlem3  13306  ram0  13345  mulgnegnn  14855  odmodnn0  15133  gexdvds  15173  sylow3lem6  15221  prmirredlem  16728  znidomb  16797  ovolunlem1a  19345  ovoliunlem2  19352  ovolicc2lem3  19368  ovolicc2lem4  19369  iundisj2  19396  dyadss  19439  volsup2  19450  volivth  19452  vitali  19458  ismbf3d  19499  mbfi1fseqlem3  19562  mbfi1fseqlem4  19563  mbfi1fseqlem5  19564  itg2seq  19587  itg2gt0  19605  itg2cnlem1  19606  plyeq0lem  20082  dgreq0  20136  dgrcolem2  20145  elqaalem2  20190  elqaalem3  20191  logtayllem  20503  leibpi  20735  birthdaylem3  20745  basellem1  20816  basellem2  20817  basellem3  20818  basellem6  20821  basellem9  20824  prmorcht  20914  dvdsdivcl  20919  dvdsflsumcom  20926  muinv  20931  vmalelog  20942  chtublem  20948  logfac2  20954  logfaclbnd  20959  pcbcctr  21013  bcmono  21014  bposlem1  21021  bposlem5  21025  bposlem6  21026  bpos  21030  lgsval4a  21055  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  dchrisum0re  21160  dchrisum0lem1  21163  logdivbnd  21203  ostth2lem1  21265  ostth2lem3  21282  gxnn0neg  21804  gxmodid  21820  nmounbseqi  22231  nmounbseqiOLD  22232  nmobndseqi  22233  nmobndseqiOLD  22234  ubthlem1  22325  minvecolem3  22331  lnconi  23489  iundisj2f  23983  esumpmono  24422  zetacvg  24752  eldmgm  24759  subfaclim  24827  subfacval3  24828  snmlff  24969  fz0n  25155  nndivsub  26111  nndivlub  26112  mblfinlem  26143  nn0prpwlem  26215  nn0prpw  26216  fzmul  26334  incsequz  26342  nnubfi  26344  nninfnub  26345  irrapxlem1  26775  irrapxlem2  26776  pellexlem1  26782  pellexlem5  26786  pellqrex  26832  monotoddzzfi  26895  jm2.24nn  26914  congabseq  26929  acongrep  26935  acongeq  26938  expdiophlem1  26982  idomrootle  27379  idomodle  27380  hashgcdlem  27384  fmuldfeq  27580  stoweidlem14  27630  stoweidlem17  27633  stoweidlem20  27636  stoweidlem49  27665  stoweidlem60  27676  wallispilem3  27683  wallispilem4  27684  wallispilem5  27685  wallispi  27686  wallispi2lem1  27687  wallispi2lem2  27688  stirlinglem1  27690  stirlinglem3  27692  stirlinglem4  27693  stirlinglem6  27695  stirlinglem7  27696  stirlinglem10  27699  stirlinglem11  27700  stirlinglem12  27701  stirlinglem13  27702  stirlingr  27706  0mnnnnn0  27971  fzo1fzo0n0  27988  swrdccatin12lem3c  28023  swrdccatin12lem3  28024  swrdccatin12lem4  28025  swrdccatin12  28026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957
  Copyright terms: Public domain W3C validator