MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnpcan Structured version   Unicode version

Theorem nnpcan 9632
Description: Cancellation law for subtraction: ((a-b)-c)+b = a-c holds for complex numbers a,b,c. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
nnpcan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  -  C
)  +  B )  =  ( A  -  C ) )

Proof of Theorem nnpcan
StepHypRef Expression
1 subcl 9609 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
213adant3 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  -  B )  e.  CC )
3 addsub 9621 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  +  B
)  -  C )  =  ( ( ( A  -  B )  -  C )  +  B ) )
43eqcomd 2448 . . 3  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  -  C
)  +  B )  =  ( ( ( A  -  B )  +  B )  -  C ) )
52, 4syld3an1 1264 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  -  C
)  +  B )  =  ( ( ( A  -  B )  +  B )  -  C ) )
6 npcan 9619 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
763adant3 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  +  B )  =  A )
87oveq1d 6106 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  +  B
)  -  C )  =  ( A  -  C ) )
95, 8eqtrd 2475 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( ( A  -  B )  -  C
)  +  B )  =  ( A  -  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6091   CCcc 9280    + caddc 9285    - cmin 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-ltxr 9423  df-sub 9597
This theorem is referenced by:  cshwidxm1  12443  ltsubsubaddltsub  30467
  Copyright terms: Public domain W3C validator