MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnnn0addcl Structured version   Unicode version

Theorem nnnn0addcl 10827
Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0addcl  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnnn0addcl
StepHypRef Expression
1 elnn0 10798 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 nnaddcl 10559 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
3 oveq2 6293 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( M  +  N )  =  ( M  + 
0 ) )
4 nncn 10545 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
54addid1d 9780 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  +  0 )  =  M )
63, 5sylan9eqr 2530 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  =  0 )  ->  ( M  +  N )  =  M )
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  =  0 )  ->  M  e.  NN )
86, 7eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  =  0 )  ->  ( M  +  N )  e.  NN )
92, 8jaodan 783 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )  ->  ( M  +  N )  e.  NN )
101, 9sylan2b 475 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6285   0cc0 9493    + caddc 9496   NNcn 10537   NN0cn0 10796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-ltxr 9634  df-nn 10538  df-n0 10797
This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  10828  elz2  10882  bcxmas  13613  vdwapf  14352  vdwlem5  14365  vdwlem8  14368  dec2nprm  14415  ovolunlem1  21735  nnrisefaccl  28994  faclim2  29026
  Copyright terms: Public domain W3C validator