MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnnn0 Structured version   Unicode version

Theorem nnnn0 10763
Description: A positive integer is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )

Proof of Theorem nnnn0
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 10759 . 2  |-  NN  C_  NN0
21sseli 3437 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   NNcn 10496   NN0cn0 10756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-v 3060  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-n0 10757
This theorem is referenced by:  nnnn0i  10764  elnnnn0b  10801  elnnnn0c  10802  elz2  10842  nn0ind-raph  10923  zindd  10924  fzo1fzo0n0  11809  ubmelfzo  11830  elfzom1elp1fzo  11832  fzo0sn0fzo1  11852  quoremnn0ALT  11935  modmulnn  11965  expneg  12128  expcllem  12131  expcl2lem  12132  expeq0  12150  mulexpz  12160  expnlbnd  12250  expmulnbnd  12252  digit2  12253  digit1  12254  facdiv  12319  faclbnd  12322  faclbnd3  12324  faclbnd4lem3  12327  faclbnd4lem4  12328  faclbnd5  12330  faclbnd6  12331  bcval5  12350  iswrdi  12509  swrdn0  12618  swrdtrcfv  12629  swrdccatwrd  12656  repswfsts  12716  repswlsw  12717  repswcshw  12743  relexpnnrn  12934  relexpaddg  12942  absexpz  13194  isercoll  13546  summolem3  13592  summolem2a  13593  climcndslem2  13720  climcnds  13721  harmonic  13729  arisum  13730  expcnv  13734  geo2sum  13741  geo2lim  13743  geoisum1  13747  geoisum1c  13748  0.999...  13749  mertenslem2  13753  fallfacfwd  13888  0fallfac  13889  0risefac  13890  ef0lem  13915  ege2le3  13926  efaddlem  13929  efexp  13937  rpnnen2lem2  14050  rpnnen2lem4  14052  ruclem12  14075  divalg2  14164  ndvdssub  14166  gcddiv  14288  gcdmultiple  14289  gcdmultiplez  14290  rpmulgcd  14294  rplpwr  14295  dvdssqlem  14298  eucalgf  14313  1nprm  14323  isprm6  14351  isprm5  14354  prmdvdsexp  14356  phicl2  14399  phibndlem  14401  phiprmpw  14407  crt  14409  eulerthlem2  14413  pythagtriplem10  14445  pythagtriplem6  14446  pythagtriplem7  14447  pythagtriplem12  14451  pythagtriplem14  14453  pclem  14463  pcexp  14484  pcid  14497  pcprod  14515  pcbc  14520  prmpwdvds  14523  infpnlem1  14529  infpnlem2  14530  prmunb  14533  prmreclem6  14540  1arith  14546  vdwapf  14591  0hashbc  14626  ram0  14641  cshwrepswhash1  14688  ghmmulg  16495  odmodnn0  16780  dfod2  16802  submod  16805  cply1mul  18547  cply1coe0  18553  cply1coe0bi  18554  prmirredlem  18722  prmirred  18724  znf1o  18780  znhash  18787  znfi  18788  znfld  18789  znidomb  18790  znunithash  18793  znrrg  18794  cpmatmcllem  19403  m2cpm  19426  m2cpminvid2lem  19439  fvmptnn04ifa  19535  chfacfisf  19539  chfacfisfcpmat  19540  chfacffsupp  19541  chfacfscmul0  19543  chfacfscmulfsupp  19544  chfacfscmulgsum  19545  chfacfpmmul0  19547  chfacfpmmulfsupp  19548  chfacfpmmulgsum  19549  chfacfpmmulgsum2  19550  cayhamlem1  19551  cpmadugsumlemF  19561  tgpmulg  20776  ovollb2lem  22083  ovoliunlem1  22097  ovoliunlem3  22099  uniioombllem3  22178  uniioombllem4  22179  opnmbllem  22194  mbfi1fseqlem1  22306  mbfi1fseqlem3  22308  mbfi1fseqlem4  22309  mbfi1fseqlem5  22310  mbfi1fseqlem6  22311  dvexp  22540  dvexp3  22563  plyco  22822  dgrcolem1  22854  plydivex  22877  aaliou3lem2  22923  aaliou3lem3  22924  aaliou3lem5  22927  aaliou3lem6  22928  aaliou3lem7  22929  aaliou3lem9  22930  radcnvlem2  22993  dvradcnv  23000  pserdv2  23009  abelthlem6  23015  abelthlem9  23019  logtayllem  23226  logtayl  23227  logtaylsum  23228  logtayl2  23229  cxproot  23257  root1id  23316  atantayl  23485  atantayl2  23486  leibpilem2  23489  leibpi  23490  birthdaylem2  23500  birthdaylem3  23501  dfef2  23518  basellem2  23628  basellem4  23630  basellem5  23631  basellem6  23632  basellem8  23634  isppw2  23662  vmappw  23663  sqf11  23686  vma1  23713  1sgm2ppw  23748  chtublem  23759  fsumvma2  23762  vmasum  23764  dchrelbas4  23791  dchrzrhcl  23793  dchrfi  23803  dchrhash  23819  pcbcctr  23824  bclbnd  23828  bposlem1  23832  lgsval4a  23866  lgsdchrval  23895  lgsdchr  23896  rplogsumlem2  23943  dchrisumlem2  23948  ostth2lem1  24076  ostth2lem3  24093  ostth3  24096  cusgrasize2inds  24775  cyclnspth  24929  clwwlkel  25091  clwwlkf  25092  clwwlkf1  25094  wwlksubclwwlk  25102  clwwisshclwwlem  25104  clwlkf1clwwlklem  25147  rusgra0edg  25253  clwlknclwlkdifnum  25259  clwwlkextfrlem1  25374  numclwwlkqhash  25398  numclwwlk2lem1  25400  numclwlk2lem2f  25401  numclwlk2lem2f1o  25403  gxcl  25561  ipval2  25911  ipasslem3  26042  ipasslem4  26043  ishashinf  27937  nn0min  27943  esumcst  28390  eulerpartlemb  28693  fibp1  28726  ballotlem1  28811  subfacp1lem6  29363  subfaclim  29366  subfacval3  29367  snmlff  29507  bcprod  29833  faclim2  29843  dvdspw  29845  nn0prpwlem  30538  opnmbllem0  31403  nnubfi  31506  nninfnub  31507  geomcau  31515  heiborlem5  31574  heiborlem6  31575  heiborlem7  31576  heiborlem8  31577  bfplem1  31581  irrapxlem2  35101  pellexlem1  35107  pellexlem5  35111  pellqrex  35157  monotoddzzfi  35220  expmordi  35225  rpexpmord  35226  jm2.17c  35242  acongeq  35263  jm2.18  35273  jm2.23  35281  jm2.26lem3  35286  jm3.1  35305  expdiophlem1  35306  idomrootle  35497  idomodle  35498  hashgcdlem  35502  phisum  35504  proot1ex  35506  rp-isfinite6  35591  cnvtrclfv  35684  cotrclrcl  35702  inductionexd  35959  binomcxplemnotnn0  36090  nnne1ge2  36834  dvnmptconst  37088  stoweidlem3  37135  stoweidlem7  37139  stoweidlem34  37166  wallispilem4  37200  wallispilem5  37201  wallispi2lem1  37203  wallispi2lem2  37204  stirlinglem2  37207  stirlinglem3  37208  stirlinglem4  37209  stirlinglem5  37210  stirlinglem7  37212  stirlinglem11  37216  stirlinglem14  37219  stirlinglem15  37220  stirlingr  37222  fourierdlem15  37254  fourierdlem21  37260  fourierdlem22  37261  fourierdlem92  37331  fourierdlem112  37351  fouriersw  37364  iccpartiltu  37669  iccpartigtl  37670  iccpartlt  37671  iccpartleu  37675  iccpartrn  37677  iccelpart  37680  iccpartiun  37681  iccpartdisj  37684  nnpw2evenALTV  37762  pfxn0  37861  cznabel  38253  cznrng  38254  ztprmneprm  38427  altgsumbc  38432  altgsumbcALT  38433  pw2m1lepw2m1  38618  nn0enne  38626  nno  38628  nn0o  38629  nneom  38634  logbpw2m1  38678  blennn  38686  blenpw2m1  38690  blengt1fldiv2p1  38704  dignn0ldlem  38713  dignnld  38714  dig2nn1st  38716  dignn0flhalflem1  38726  nn0sumshdiglemA  38730  nn0sumshdiglemB  38731
  Copyright terms: Public domain W3C validator