MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnnn0 Unicode version

Theorem nnnn0 10184
Description: A natural number is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )

Proof of Theorem nnnn0
StepHypRef Expression
1 nnssnn0 10180 . 2  |-  NN  C_  NN0
21sseli 3304 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   NNcn 9956   NN0cn0 10177
This theorem is referenced by:  nnnn0i  10185  elnnnn0b  10220  elnnnn0c  10221  elz2  10254  nn0ind-raph  10326  zindd  10327  quoremnn0ALT  11193  modmulnn  11220  expneg  11344  expcllem  11347  expcl2lem  11348  expeq0  11365  mulexpz  11375  expnlbnd  11464  expmulnbnd  11466  digit2  11467  digit1  11468  facdiv  11533  faclbnd  11536  faclbnd3  11538  faclbnd4lem3  11541  faclbnd4lem4  11542  faclbnd5  11544  faclbnd6  11545  bcval5  11564  iswrdi  11686  wrdeqcats1  11743  absexpz  12065  isercoll  12416  summolem3  12463  summolem2a  12464  climcndslem2  12585  climcnds  12586  harmonic  12593  arisum  12594  expcnv  12598  geo2sum  12605  geo2lim  12607  geoisum1  12611  geoisum1c  12612  0.999...  12613  mertenslem2  12617  ef0lem  12636  ege2le3  12647  efaddlem  12650  efexp  12657  xpnnenOLD  12764  rpnnen2lem2  12770  rpnnen2lem4  12772  ruclem12  12795  divalg2  12880  ndvdssub  12882  gcddiv  13004  gcdmultiple  13005  gcdmultiplez  13006  rpmulgcd  13010  rplpwr  13011  dvdssqlem  13014  eucalgf  13029  1nprm  13039  isprm6  13064  isprm5  13067  prmdvdsexp  13069  phicl2  13112  phibndlem  13114  phiprmpw  13120  crt  13122  eulerthlem2  13126  pythagtriplem10  13149  pythagtriplem6  13150  pythagtriplem7  13151  pythagtriplem12  13155  pythagtriplem14  13157  pclem  13167  pcexp  13188  pcid  13201  pcprod  13219  pcbc  13224  prmpwdvds  13227  infpnlem1  13233  infpnlem2  13234  prmunb  13237  prmreclem6  13244  1arith  13250  vdwapf  13295  0hashbc  13330  ram0  13345  ghmmulg  14973  odmodnn0  15133  dfod2  15155  submod  15158  prmirredlem  16728  prmirred  16730  znf1o  16787  znhash  16794  znfi  16795  znfld  16796  znidomb  16797  znunithash  16800  znrrg  16801  tgpmulg  18076  ovollb2lem  19337  ovoliunlem1  19351  ovoliunlem3  19353  uniioombllem3  19430  uniioombllem4  19431  opnmbllem  19446  mbfi1fseqlem1  19560  mbfi1fseqlem3  19562  mbfi1fseqlem4  19563  mbfi1fseqlem5  19564  mbfi1fseqlem6  19565  dvexp  19792  dvexp3  19815  plyco  20113  dgrcolem1  20144  plydivex  20167  aaliou3lem2  20213  aaliou3lem3  20214  aaliou3lem5  20217  aaliou3lem6  20218  aaliou3lem7  20219  aaliou3lem9  20220  radcnvlem2  20283  dvradcnv  20290  pserdv2  20299  abelthlem6  20305  abelthlem9  20309  logtayllem  20503  logtayl  20504  logtaylsum  20505  logtayl2  20506  cxproot  20534  root1id  20591  atantayl  20730  atantayl2  20731  leibpilem2  20734  leibpi  20735  birthdaylem2  20744  birthdaylem3  20745  dfef2  20762  basellem2  20817  basellem4  20819  basellem5  20820  basellem6  20821  basellem8  20823  isppw2  20851  vmappw  20852  sqf11  20875  vma1  20902  1sgm2ppw  20937  chtublem  20948  fsumvma2  20951  vmasum  20953  dchrelbas4  20980  dchrzrhcl  20982  dchrfi  20992  dchrhash  21008  pcbcctr  21013  bclbnd  21017  bposlem1  21021  lgsval4a  21055  lgsdchrval  21084  lgsdchr  21085  rplogsumlem2  21132  dchrisumlem2  21137  ostth2lem1  21265  ostth2lem3  21282  ostth3  21285  cusgrasize2inds  21439  cyclnspth  21571  gxcl  21806  ipval2  22156  ipasslem3  22287  ipasslem4  22288  ishashinf  24112  esumcst  24408  ballotlem1  24697  subfacp1lem6  24824  subfaclim  24827  subfacval3  24828  snmlff  24969  fallfacfwd  25303  0fallfac  25304  0risefac  25305  faclim2  25315  dvdspw  25317  mblfinlem  26143  nn0prpwlem  26215  nnubfi  26344  nninfnub  26345  geomcau  26355  heiborlem5  26414  heiborlem6  26415  heiborlem7  26416  heiborlem8  26417  bfplem1  26421  irrapxlem2  26776  pellexlem1  26782  pellexlem5  26786  pellqrex  26832  monotoddzzfi  26895  expmordi  26900  rpexpmord  26901  jm2.17c  26917  acongeq  26938  jm2.18  26949  jm2.23  26957  jm2.26lem3  26962  jm3.1  26981  expdiophlem1  26982  idomrootle  27379  idomodle  27380  hashgcdlem  27384  phisum  27386  proot1ex  27388  stoweidlem3  27619  stoweidlem7  27623  stoweidlem34  27650  wallispilem4  27684  wallispilem5  27685  wallispi2lem1  27687  wallispi2lem2  27688  stirlinglem2  27691  stirlinglem3  27692  stirlinglem4  27693  stirlinglem5  27694  stirlinglem7  27696  stirlinglem11  27700  stirlinglem14  27703  stirlinglem15  27704  stirlingr  27706  fzo1fzo0n0  27988  swrdccatin12lem3c  28023  swrdccatin12  28026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-v 2918  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-n0 10178
  Copyright terms: Public domain W3C validator