MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0d Structured version   Unicode version

Theorem nnne0d 10571
Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem nnne0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnne0 10559 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762    =/= wne 2657   0cc0 9483   NNcn 10527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528
This theorem is referenced by:  facne0  12321  bcn1  12348  bcm1k  12350  bcp1n  12351  bcp1nk  12352  bcval5  12353  bcpasc  12356  hashf1  12461  trireciplem  13627  trirecip  13628  geo2sum  13636  geo2lim  13638  mertenslem1  13647  efcllem  13666  ege2le3  13678  efcj  13680  efaddlem  13681  eftlub  13696  eirrlem  13789  ruclem7  13821  sqr2irrlem  13833  bitsp1  13931  bitscmp  13938  sadcp1  13955  sadaddlem  13966  bitsres  13973  bitsuz  13974  bitsshft  13975  smupp1  13980  gcdeq0  14009  mulgcd  14034  sqgcd  14046  prmind2  14078  isprm5  14103  divgcdodd  14110  qmuldeneqnum  14130  divnumden  14131  numdensq  14137  hashdvds  14155  phiprmpw  14156  pythagtriplem4  14193  pythagtriplem19  14207  pcprendvds2  14215  pcpremul  14217  pceulem  14219  pcdiv  14226  pcqmul  14227  pc2dvds  14252  pcaddlem  14257  pcadd  14258  pcmpt2  14262  pcmptdvds  14263  pcbc  14269  expnprm  14271  prmpwdvds  14272  pockthlem  14273  prmreclem1  14284  prmreclem3  14286  prmreclem4  14287  4sqlem5  14310  4sqlem8  14313  4sqlem9  14314  4sqlem10  14315  mul4sqlem  14321  4sqlem12  14324  4sqlem14  14326  4sqlem15  14327  4sqlem16  14328  4sqlem17  14329  oddvds  16362  sylow1lem1  16409  sylow1lem4  16412  sylow1lem5  16413  sylow2blem3  16433  sylow3lem3  16440  sylow3lem4  16441  gexexlem  16646  ablfacrplem  16901  ablfacrp2  16903  ablfac1lem  16904  ablfac1b  16906  ablfac1eu  16909  pgpfac1lem3a  16912  pgpfac1lem3  16913  prmirredlem  18285  prmirredlemOLD  18288  znrrg  18366  fvmptnn04ifa  19113  chfacfscmulgsum  19123  chfacfpmmulgsum  19127  lebnumlem3  21193  lebnumii  21196  ovollb2lem  21629  uniioombllem4  21725  dyadovol  21732  dyaddisjlem  21734  opnmbllem  21740  mbfi1fseqlem3  21854  mbfi1fseqlem4  21855  mbfi1fseqlem5  21856  mbfi1fseqlem6  21857  tdeglem4  22188  dgrcolem1  22399  dgrcolem2  22400  dvply1  22409  vieta1lem1  22435  vieta1lem2  22436  elqaalem2  22445  elqaalem3  22446  aalioulem1  22457  aalioulem2  22458  aaliou3lem9  22475  taylfvallem1  22481  tayl0  22486  taylply2  22492  taylply  22493  dvtaylp  22494  taylthlem2  22498  pserdvlem2  22552  advlogexp  22759  cxpmul2  22793  cxpeq  22854  atantayl3  22993  leibpi  22996  log2cnv  22998  log2tlbnd  22999  birthdaylem2  23005  birthdaylem3  23006  amgmlem  23042  amgm  23043  emcllem2  23049  emcllem5  23052  fsumharmonic  23064  ftalem2  23070  ftalem4  23072  ftalem5  23073  basellem1  23077  basellem2  23078  basellem4  23080  basellem5  23081  basellem8  23084  sgmval2  23140  efchtdvds  23156  ppieq0  23173  dvdsdivcl  23180  fsumdvdsdiaglem  23182  dvdsflf1o  23186  muinv  23192  dvdsmulf1o  23193  chpchtsum  23217  logfaclbnd  23220  logexprlim  23223  mersenne  23225  perfectlem2  23228  perfect  23229  dchrabs  23258  bcmono  23275  bclbnd  23278  bposlem1  23282  bposlem2  23283  bposlem3  23284  bposlem6  23287  lgsval2lem  23304  lgseisenlem4  23350  lgsquadlem1  23352  lgsquadlem2  23353  lgsquad2lem1  23356  2sqlem3  23364  2sqlem8  23370  chebbnd1  23380  rplogsumlem2  23393  rpvmasumlem  23395  dchrisumlem1  23397  dchrmusum2  23402  dchrvmasumlem1  23403  dchrvmasum2lem  23404  dchrvmasum2if  23405  dchrvmasumlem3  23407  dchrvmasumiflem1  23409  dchrisum0flblem2  23417  mulogsumlem  23439  mulogsum  23440  mulog2sumlem2  23443  vmalogdivsum2  23446  vmalogdivsum  23447  logsqvma  23450  selberglem3  23455  selberg  23456  logdivbnd  23464  selberg3lem1  23465  selberg4lem1  23468  pntrsumo1  23473  selberg3r  23477  selberg4r  23478  selberg34r  23479  pntsval2  23484  pntrlog2bndlem2  23486  pntrlog2bndlem3  23487  pntrlog2bndlem5  23489  pntrlog2bndlem6  23491  pntpbnd1a  23493  pntpbnd1  23494  pntpbnd2  23495  padicabvf  23539  padicabvcxp  23540  ostth2  23545  ostth3  23546  bcm1n  27256  numdenneg  27263  qqhf  27591  qqhghm  27593  qqhrhm  27594  qqhre  27622  oddpwdc  27921  signshnz  28176  zetacvg  28185  dmgmdivn0  28198  lgamgulmlem2  28200  lgamgulmlem3  28201  lgamgulmlem4  28202  lgamgulmlem5  28203  lgamgulmlem6  28204  lgamgulm2  28206  lgamcvg2  28225  gamcvg  28226  gamcvg2lem  28229  subfacval2  28259  subfaclim  28260  cvmliftlem7  28364  cvmliftlem10  28367  cvmliftlem11  28368  cvmliftlem13  28369  iprodgam  28690  fallfacval4  28730  bcfallfac  28731  faclimlem1  28733  faclim2  28738  bpolycl  29379  bpolysum  29380  bpolydiflem  29381  fsumkthpow  29383  opnmbllem0  29616  nn0prpwlem  29706  irrapxlem4  30354  irrapxlem5  30355  pellexlem2  30359  pellexlem6  30363  jm2.27c  30544  itgpowd  30778  clim1fr1  31100  ioodvbdlimc1lem2  31219  ioodvbdlimc2lem  31221  itgsinexp  31229  stoweidlem1  31258  stoweidlem11  31268  stoweidlem25  31282  stoweidlem26  31283  stoweidlem37  31294  stoweidlem38  31295  stoweidlem42  31299  stoweidlem51  31308  wallispilem4  31325  wallispilem5  31326  wallispi2lem1  31328  wallispi2lem2  31329  wallispi2  31330  stirlinglem4  31334  stirlinglem5  31335  stirlinglem12  31342  stirlinglem13  31343  sqwvfourb  31487
  Copyright terms: Public domain W3C validator