MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0d Structured version   Unicode version

Theorem nnne0d 10656
Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnne0d  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem nnne0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnne0 10644 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1869    =/= wne 2619   0cc0 9541   NNcn 10611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612
This theorem is referenced by:  facne0  12472  bcn1  12499  bcm1k  12501  bcp1n  12502  bcp1nk  12503  bcval5  12504  bcpasc  12507  hashf1  12619  trireciplem  13913  trirecip  13914  geo2sum  13922  geo2lim  13924  mertenslem1  13933  fallfacval4  14089  bcfallfac  14090  bpolycl  14098  bpolysum  14099  bpolydiflem  14100  fsumkthpow  14102  efcllem  14125  ege2le3  14137  efcj  14139  efaddlem  14140  eftlub  14156  eirrlem  14249  ruclem7  14281  sqr2irrlem  14293  bitsp1  14397  bitscmp  14405  sadcp1  14422  sadaddlem  14433  bitsres  14440  bitsuz  14441  bitsshft  14442  smupp1  14447  gcdnncl  14474  gcdeq0  14478  mulgcd  14507  sqgcd  14519  lcmeq0  14558  lcmgcdlem  14564  lcmfeq0b  14596  lcmfunsnlem2lem1  14604  lcmfunsnlem2lem2  14605  prmind2  14628  isprm5  14644  divgcdodd  14646  qmuldeneqnum  14689  divnumden  14690  numdensq  14696  hashdvds  14716  phiprmpw  14717  pythagtriplem4  14762  pythagtriplem19  14776  pcprendvds2  14784  pcpremul  14786  pceulem  14788  pcdiv  14795  pcqmul  14796  pc2dvds  14821  pcaddlem  14826  pcadd  14827  pcmpt2  14831  pcmptdvds  14832  pcbc  14838  expnprm  14840  prmpwdvds  14841  pockthlem  14842  prmreclem1  14853  prmreclem3  14855  prmreclem4  14856  4sqlem5  14879  4sqlem8  14882  4sqlem9  14883  4sqlem10  14884  mul4sqlem  14890  4sqlem12  14893  4sqlem14OLD  14895  4sqlem15OLD  14896  4sqlem16OLD  14897  4sqlem17OLD  14898  4sqlem14  14901  4sqlem15  14902  4sqlem16  14903  4sqlem17  14904  prmone0  14986  oddvds  17189  sylow1lem1  17243  sylow1lem4  17246  sylow1lem5  17247  sylow2blem3  17267  sylow3lem3  17274  sylow3lem4  17275  gexexlem  17483  ablfacrplem  17691  ablfacrp2  17693  ablfac1lem  17694  ablfac1b  17696  ablfac1eu  17699  pgpfac1lem3a  17702  pgpfac1lem3  17703  prmirredlem  19056  znrrg  19128  fvmptnn04ifa  19866  chfacfscmulgsum  19876  chfacfpmmulgsum  19880  lebnumlem3  21983  lebnumlem3OLD  21986  lebnumii  21989  ovollb2lem  22433  uniioombllem4  22536  dyadovol  22543  dyaddisjlem  22545  opnmbllem  22551  mbfi1fseqlem3  22667  mbfi1fseqlem4  22668  mbfi1fseqlem5  22669  mbfi1fseqlem6  22670  tdeglem4  23001  dgrcolem1  23219  dgrcolem2  23220  dvply1  23229  vieta1lem1  23255  vieta1lem2  23256  elqaalem2  23265  elqaalem3  23266  elqaalem2OLD  23268  elqaalem3OLD  23269  aalioulem1  23280  aalioulem2  23281  aaliou3lem9  23298  taylfvallem1  23304  tayl0  23309  taylply2  23315  taylply  23316  dvtaylp  23317  taylthlem2  23321  pserdvlem2  23375  advlogexp  23592  cxpmul2  23626  cxpeq  23689  atantayl3  23857  leibpi  23860  log2cnv  23862  log2tlbnd  23863  birthdaylem2  23870  birthdaylem3  23871  amgmlem  23907  amgm  23908  emcllem2  23914  emcllem5  23917  fsumharmonic  23929  zetacvg  23932  dmgmdivn0  23945  lgamgulmlem2  23947  lgamgulmlem3  23948  lgamgulmlem4  23949  lgamgulmlem5  23950  lgamgulmlem6  23951  lgamgulm2  23953  lgamcvg2  23972  gamcvg  23973  gamcvg2lem  23976  ftalem2  23990  ftalem4  23992  ftalem5  23993  ftalem4OLD  23994  ftalem5OLD  23995  basellem1  23999  basellem2  24000  basellem4  24002  basellem5  24003  basellem8  24006  sgmval2  24062  efchtdvds  24078  ppieq0  24095  dvdsdivcl  24102  fsumdvdsdiaglem  24104  dvdsflf1o  24108  muinv  24114  dvdsmulf1o  24115  chpchtsum  24139  logfaclbnd  24142  logexprlim  24145  mersenne  24147  perfectlem2  24150  perfect  24151  dchrabs  24180  bcmono  24197  bclbnd  24200  bposlem1  24204  bposlem2  24205  bposlem3  24206  bposlem6  24209  lgsval2lem  24226  lgseisenlem4  24272  lgsquadlem1  24274  lgsquadlem2  24275  lgsquad2lem1  24278  2sqlem3  24286  2sqlem8  24292  chebbnd1  24302  rplogsumlem2  24315  rpvmasumlem  24317  dchrisumlem1  24319  dchrmusum2  24324  dchrvmasumlem1  24325  dchrvmasum2lem  24326  dchrvmasum2if  24327  dchrvmasumlem3  24329  dchrvmasumiflem1  24331  dchrisum0flblem2  24339  mulogsumlem  24361  mulogsum  24362  mulog2sumlem2  24365  vmalogdivsum2  24368  vmalogdivsum  24369  logsqvma  24372  selberglem3  24377  selberg  24378  logdivbnd  24386  selberg3lem1  24387  selberg4lem1  24390  pntrsumo1  24395  selberg3r  24399  selberg4r  24400  selberg34r  24401  pntsval2  24406  pntrlog2bndlem2  24408  pntrlog2bndlem3  24409  pntrlog2bndlem5  24411  pntrlog2bndlem6  24413  pntpbnd1a  24415  pntpbnd1  24416  pntpbnd2  24417  padicabvf  24461  padicabvcxp  24462  ostth2  24467  ostth3  24468  bcm1n  28371  numdenneg  28381  2sqmod  28410  qqhf  28792  qqhghm  28794  qqhrhm  28795  qqhre  28826  oddpwdc  29189  signshnz  29482  subfacval2  29912  subfaclim  29913  cvmliftlem7  30016  cvmliftlem10  30019  cvmliftlem11  30020  cvmliftlem13  30021  bcprod  30375  iprodgam  30379  faclimlem1  30380  faclim2  30385  nn0prpwlem  30977  poimirlem17  31877  poimirlem20  31880  poimirlem23  31883  opnmbllem0  31896  irrapxlem4  35595  irrapxlem5  35596  pellexlem2  35600  pellexlem6  35604  jm2.27c  35788  itgpowd  36025  hashnzfzclim  36535  bcccl  36552  bccp1k  36554  bccm1k  36555  binomcxplemwb  36561  binomcxplemrat  36563  binomcxplemfrat  36564  mccllem  37503  clim1fr1  37505  dvnxpaek  37643  dvnprodlem2  37648  itgsinexp  37657  stoweidlem1  37687  stoweidlem11  37697  stoweidlem25  37711  stoweidlem26  37712  stoweidlem37  37724  stoweidlem38  37725  stoweidlem42  37729  stoweidlem51  37738  wallispilem4  37756  wallispilem5  37757  wallispi2lem1  37759  wallispi2lem2  37760  wallispi2  37761  stirlinglem4  37765  stirlinglem5  37766  stirlinglem12  37773  stirlinglem13  37774  sqwvfourb  37919  etransclem15  37940  etransclem20  37945  etransclem21  37946  etransclem22  37947  etransclem23  37948  etransclem24  37949  etransclem25  37950  etransclem31  37956  etransclem32  37957  etransclem33  37958  etransclem34  37959  etransclem35  37960  etransclem38  37963  etransclem41  37966  etransclem44  37969  etransclem45  37970  etransclem47  37972  etransclem48OLD  37973  etransclem48  37974  divgcdoddALTV  38529  perfectALTVlem2  38562  perfectALTV  38563  eluz2n0  39612  expnegico01  39621  fllogbd  39677  digexp  39724
  Copyright terms: Public domain W3C validator