Theorem nnne0 10366

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 10365	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2503	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 303	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2668	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   0cc0 9294   NNcn 10334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335

This theorem is referenced by:  nndivre  10369  nndiv  10374  nndivtr  10375  nnne0d  10378  zdiv  10724  zdivadd  10725  zdivmul  10726  elq  10967  qmulz  10968  qre  10970  qaddcl  10981  qnegcl  10982  qmulcl  10983  qreccl  10985  rpnnen1lem5  10995  fzo1fzo0n0  11600  quoremz  11706  quoremnn0ALT  11708  intfracq  11710  fldiv  11711  fldiv2  11712  modmulnn  11737  modidmul0  11746  expnnval  11880  expneg  11885  digit2  12009  facdiv  12075  facndiv  12076  bcm1k  12103  bcp1n  12104  bcval5  12106  hashnncl  12146  cshwidxmod  12452  divcnv  13328  harmonic  13333  expcnv  13338  ef0lem  13376  ruclem6  13529  sqr2irr  13543  dvdsval3  13551  nndivdvds  13553  dvdseq  13592  divalg2  13621  divalgmod  13622  ndvdssub  13623  modgcd  13732  gcddiv  13745  gcdeq  13748  sqgcd  13754  eucalgf  13770  eucalginv  13771  qredeq  13804  qredeu  13805  isprm6  13807  divgcdodd  13817  divnumden  13838  divdenle  13839  phimullem  13866  pythagtriplem10  13899  pythagtriplem8  13902  pythagtriplem9  13903  pythagtriplem19  13912  pccl  13928  pcdiv  13931  pcqcl  13935  pcdvds  13942  pcndvds  13944  pcndvds2  13946  pceq0  13949  pcneg  13952  pcz  13959  pcmpt  13966  fldivp1  13971  pcfac  13973  infpnlem2  13984  cshwshashlem1  14134  mulgnn  15645  mulgnegnn  15649  oddvdsnn0  16059  odmulgeq  16070  gexnnod  16099  qsssubdrg  17884  prmirredlem  17929  prmirredlemOLD  17932  znf1o  17996  znhash  18003  znidomb  18006  znunithash  18009  znrrg  18010  vitali  21105  mbfi1fseqlem3  21207  dvexp2  21440  plyeq0lem  21690  abelthlem9  21917  logtayllem  22116  logtayl  22117  logtaylsum  22118  logtayl2  22119  cxpexp  22125  cxproot  22147  root1id  22204  root1eq1  22205  cxpeq  22207  atantayl  22344  atantayl2  22345  leibpilem2  22348  leibpi  22349  birthdaylem2  22358  birthdaylem3  22359  dfef2  22376  emcllem2  22402  emcllem3  22403  basellem4  22433  basellem5  22434  basellem8  22437  basellem9  22438  mumullem2  22530  dvdsflip  22534  fsumdvdscom  22537  chtublem  22562  dchrelbas4  22594  bclbnd  22631  lgsval4a  22669  lgsabs1  22685  lgssq  22686  lgssq2  22687  dchrmusumlema  22754  dchrmusum2  22755  dchrvmasumiflem1  22762  dchrvmaeq0  22765  dchrisum0flblem1  22769  dchrisum0flblem2  22770  dchrisum0re  22774  ostthlem1  22888  ostth1  22894  cyclnspth  23529  gxpval  23758  gxmodid  23778  ipasslem4  24246  ipasslem5  24247  divnumden2  26099  qqhval2  26423  qqhnm  26431  signstfveq0  26990  zetacvg  27013  lgam1  27062  subfacp1lem6  27085  circum  27331  fz0n  27401  divcnvlin  27411  iprodgam  27518  faclim  27564  nndivsub  28315  heiborlem4  28725  heiborlem6  28727  pellexlem1  29182  congrep  29328  jm2.20nn  29358  hashgcdlem  29577  phisum  29579  proot1ex  29581  clim1fr1  29786  wallispilem5  29876  wallispi2lem1  29878  stirlinglem1  29881  stirlinglem3  29883  stirlinglem4  29884  stirlinglem5  29885  stirlinglem7  29887  stirlinglem10  29890  stirlinglem12  29892  stirlinglem14  29894  stirlinglem15  29895  clwwisshclwwlem  30482