Theorem nnne0 10350

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 10349	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2501	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 303	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2654	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   0cc0 9278   NNcn 10318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319

This theorem is referenced by:  nndivre  10353  nndiv  10358  nndivtr  10359  nnne0d  10362  zdiv  10708  zdivadd  10709  zdivmul  10710  elq  10951  qmulz  10952  qre  10954  qaddcl  10965  qnegcl  10966  qmulcl  10967  qreccl  10969  rpnnen1lem5  10979  fzo1fzo0n0  11584  quoremz  11690  quoremnn0ALT  11692  intfracq  11694  fldiv  11695  fldiv2  11696  modmulnn  11721  modidmul0  11730  expnnval  11864  expneg  11869  digit2  11993  facdiv  12059  facndiv  12060  bcm1k  12087  bcp1n  12088  bcval5  12090  hashnncl  12130  cshwidxmod  12436  divcnv  13312  harmonic  13317  expcnv  13322  ef0lem  13360  ruclem6  13513  sqr2irr  13527  dvdsval3  13535  nndivdvds  13537  dvdseq  13576  divalg2  13605  divalgmod  13606  ndvdssub  13607  modgcd  13716  gcddiv  13729  gcdeq  13732  sqgcd  13738  eucalgf  13754  eucalginv  13755  qredeq  13788  qredeu  13789  isprm6  13791  divgcdodd  13801  divnumden  13822  divdenle  13823  phimullem  13850  pythagtriplem10  13883  pythagtriplem8  13886  pythagtriplem9  13887  pythagtriplem19  13896  pccl  13912  pcdiv  13915  pcqcl  13919  pcdvds  13926  pcndvds  13928  pcndvds2  13930  pceq0  13933  pcneg  13936  pcz  13943  pcmpt  13950  fldivp1  13955  pcfac  13957  infpnlem2  13968  cshwshashlem1  14118  mulgnn  15626  mulgnegnn  15630  oddvdsnn0  16040  odmulgeq  16051  gexnnod  16080  qsssubdrg  17831  prmirredlem  17876  prmirredlemOLD  17879  znf1o  17943  znhash  17950  znidomb  17953  znunithash  17956  znrrg  17957  vitali  21052  mbfi1fseqlem3  21154  dvexp2  21387  plyeq0lem  21637  abelthlem9  21864  logtayllem  22063  logtayl  22064  logtaylsum  22065  logtayl2  22066  cxpexp  22072  cxproot  22094  root1id  22151  root1eq1  22152  cxpeq  22154  atantayl  22291  atantayl2  22292  leibpilem2  22295  leibpi  22296  birthdaylem2  22305  birthdaylem3  22306  dfef2  22323  emcllem2  22349  emcllem3  22350  basellem4  22380  basellem5  22381  basellem8  22384  basellem9  22385  mumullem2  22477  dvdsflip  22481  fsumdvdscom  22484  chtublem  22509  dchrelbas4  22541  bclbnd  22578  lgsval4a  22616  lgsabs1  22632  lgssq  22633  lgssq2  22634  dchrmusumlema  22701  dchrmusum2  22702  dchrvmasumiflem1  22709  dchrvmaeq0  22712  dchrisum0flblem1  22716  dchrisum0flblem2  22717  dchrisum0re  22721  ostthlem1  22835  ostth1  22841  cyclnspth  23452  gxpval  23681  gxmodid  23701  ipasslem4  24169  ipasslem5  24170  divnumden2  26020  qqhval2  26347  qqhnm  26355  signstfveq0  26908  zetacvg  26931  lgam1  26980  subfacp1lem6  27003  circum  27248  fz0n  27318  divcnvlin  27328  iprodgam  27435  faclim  27481  nndivsub  28233  heiborlem4  28638  heiborlem6  28640  pellexlem1  29095  congrep  29241  jm2.20nn  29271  hashgcdlem  29490  phisum  29492  proot1ex  29494  clim1fr1  29699  wallispilem5  29789  wallispi2lem1  29791  stirlinglem1  29794  stirlinglem3  29796  stirlinglem4  29797  stirlinglem5  29798  stirlinglem7  29800  stirlinglem10  29803  stirlinglem12  29805  stirlinglem14  29807  stirlinglem15  29808  clwwisshclwwlem  30395