Theorem nnne0 9988

Description: A natural number is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	|- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Proof of Theorem nnne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nnn 9987	. . 3 |- -. 0 e. NN
2		eleq1 2464	. . 3 |- ( A = 0 -> ( A e. NN <-> 0 e. NN ) )
3	1, 2	mtbiri 295	. 2 |- ( A = 0 -> -. A e. NN )
4	3	necon2ai 2612	1 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   0cc0 8946   NNcn 9956

This theorem is referenced by:  nndivre  9991  nndiv  9996  nndivtr  9997  nnne0d  10000  zdiv  10296  zdivadd  10297  zdivmul  10298  elq  10532  qmulz  10533  qre  10535  qaddcl  10546  qnegcl  10547  qmulcl  10548  qreccl  10550  rpnnen1lem5  10560  quoremz  11191  quoremnn0  11192  quoremnn0ALT  11193  intfracq  11195  fldiv  11196  fldiv2  11197  modmulnn  11220  expnnval  11340  expneg  11344  digit2  11467  facdiv  11533  facndiv  11534  bcm1k  11561  bcp1n  11562  bcval5  11564  hashnncl  11600  divcnv  12588  harmonic  12593  expcnv  12598  ef0lem  12636  ruclem6  12789  sqr2irr  12803  dvdsval3  12811  nndivdvds  12813  dvdseq  12852  divalg2  12880  divalgmod  12881  ndvdssub  12882  modgcd  12991  gcddiv  13004  gcdeq  13007  sqgcd  13013  eucalgf  13029  eucalginv  13030  qredeq  13061  qredeu  13062  isprm6  13064  divgcdodd  13074  divnumden  13095  divdenle  13096  phimullem  13123  pythagtriplem10  13149  pythagtriplem8  13152  pythagtriplem9  13153  pythagtriplem19  13162  pccl  13178  pcdiv  13181  pcqcl  13185  pcdvds  13192  pcndvds  13194  pcndvds2  13196  pceq0  13199  pcneg  13202  pcz  13209  pcmpt  13216  fldivp1  13221  pcfac  13223  infpnlem2  13234  mulgnn  14851  mulgnegnn  14855  oddvdsnn0  15137  odmulgeq  15148  gexnnod  15177  qsssubdrg  16713  prmirredlem  16728  znf1o  16787  znhash  16794  znidomb  16797  znunithash  16800  znrrg  16801  vitali  19458  mbfi1fseqlem3  19562  dvexp2  19793  plyeq0lem  20082  abelthlem9  20309  logtayllem  20503  logtayl  20504  logtaylsum  20505  logtayl2  20506  cxpexp  20512  cxproot  20534  root1id  20591  root1eq1  20592  cxpeq  20594  atantayl  20730  atantayl2  20731  leibpilem2  20734  leibpi  20735  birthdaylem2  20744  birthdaylem3  20745  dfef2  20762  emcllem2  20788  emcllem3  20789  basellem4  20819  basellem5  20820  basellem8  20823  basellem9  20824  mumullem2  20916  dvdsflip  20920  fsumdvdscom  20923  chtublem  20948  dchrelbas4  20980  bclbnd  21017  lgsval4a  21055  lgsabs1  21071  lgssq  21072  lgssq2  21073  dchrmusumlema  21140  dchrmusum2  21141  dchrvmasumiflem1  21148  dchrvmaeq0  21151  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0flblem2  21156  dchrisum0re  21160  ostthlem1  21274  ostth1  21280  cyclnspth  21571  gxpval  21800  gxmodid  21820  ipasslem4  22288  ipasslem5  22289  divnumden2  24114  qqhval2  24319  qqhnm  24327  zetacvg  24752  lgam1  24801  subfacp1lem6  24824  circum  25064  fz0n  25155  divcnvlin  25165  iprodgam  25272  faclim  25313  nndivsub  26111  heiborlem4  26413  heiborlem6  26415  pellexlem1  26782  congrep  26928  jm2.20nn  26958  hashgcdlem  27384  phisum  27386  proot1ex  27388  clim1fr1  27594  wallispilem5  27685  wallispi2lem1  27687  stirlinglem1  27690  stirlinglem3  27692  stirlinglem4  27693  stirlinglem5  27694  stirlinglem7  27696  stirlinglem10  27699  stirlinglem12  27701  stirlinglem14  27703  stirlinglem15  27704  fzo1fzo0n0  27988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957