MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0 Structured version   Unicode version

Theorem nnne0 10564
Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnne0  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem nnne0
StepHypRef Expression
1 0nnn 10563 . . 3  |-  -.  0  e.  NN
2 eleq1 2539 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
31, 2mtbiri 303 . 2  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  NN )
43necon2ai 2702 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   0cc0 9488   NNcn 10532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533
This theorem is referenced by:  nndivre  10567  nndiv  10572  nndivtr  10573  nnne0d  10576  zdiv  10927  zdivadd  10928  zdivmul  10929  elq  11180  qmulz  11181  qre  11183  qaddcl  11194  qnegcl  11195  qmulcl  11196  qreccl  11198  rpnnen1lem5  11208  fzo1fzo0n0  11828  quoremz  11945  quoremnn0ALT  11947  intfracq  11949  fldiv  11950  fldiv2  11951  modmulnn  11976  modidmul0  11985  expnnval  12132  expneg  12137  digit2  12261  facdiv  12327  facndiv  12328  bcm1k  12355  bcp1n  12356  bcval5  12358  hashnncl  12398  cshwidxmod  12731  divcnv  13621  harmonic  13626  expcnv  13631  ef0lem  13669  ruclem6  13822  sqrt2irr  13836  dvdsval3  13844  nndivdvds  13846  dvdseq  13885  divalg2  13915  divalgmod  13916  ndvdssub  13917  modgcd  14026  gcddiv  14039  gcdeq  14042  sqgcd  14048  eucalgf  14064  eucalginv  14065  qredeq  14099  qredeu  14100  isprm6  14102  divgcdodd  14112  divnumden  14133  divdenle  14134  phimullem  14161  pythagtriplem10  14196  pythagtriplem8  14199  pythagtriplem9  14200  pythagtriplem19  14209  pccl  14225  pcdiv  14228  pcqcl  14232  pcdvds  14239  pcndvds  14241  pcndvds2  14243  pceq0  14246  pcneg  14249  pcz  14256  pcmpt  14263  fldivp1  14268  pcfac  14270  infpnlem2  14281  cshwshashlem1  14431  mulgnn  15945  mulgnegnn  15949  oddvdsnn0  16361  odmulgeq  16372  gexnnod  16401  cply1coe0  18109  cply1coe0bi  18110  qsssubdrg  18242  prmirredlem  18287  prmirredlemOLD  18290  znf1o  18354  znhash  18361  znidomb  18364  znunithash  18367  znrrg  18368  m2cpm  19006  m2cpminvid2lem  19019  fvmptnn04ifc  19117  vitali  21754  mbfi1fseqlem3  21856  dvexp2  22089  plyeq0lem  22339  abelthlem9  22566  logtayllem  22765  logtayl  22766  logtaylsum  22767  logtayl2  22768  cxpexp  22774  cxproot  22796  root1id  22853  root1eq1  22854  cxpeq  22856  atantayl  22993  atantayl2  22994  leibpilem2  22997  leibpi  22998  birthdaylem2  23007  birthdaylem3  23008  dfef2  23025  emcllem2  23051  emcllem3  23052  basellem4  23082  basellem5  23083  basellem8  23086  basellem9  23087  mumullem2  23179  dvdsflip  23183  fsumdvdscom  23186  chtublem  23211  dchrelbas4  23243  bclbnd  23280  lgsval4a  23318  lgsabs1  23334  lgssq  23335  lgssq2  23336  dchrmusumlema  23403  dchrmusum2  23404  dchrvmasumiflem1  23411  dchrvmaeq0  23414  dchrisum0flblem1  23418  dchrisum0flblem2  23419  dchrisum0re  23423  ostthlem1  23537  ostth1  23543  cyclnspth  24304  clwwisshclwwlem  24479  gxpval  24934  gxmodid  24954  ipasslem4  25422  ipasslem5  25423  divnumden2  27273  qqhval2  27596  qqhnm  27604  signstfveq0  28171  zetacvg  28194  lgam1  28243  subfacp1lem6  28266  circum  28512  fz0n  28582  divcnvlin  28592  iprodgam  28699  faclim  28745  nndivsub  29496  heiborlem4  29911  heiborlem6  29913  pellexlem1  30367  congrep  30513  jm2.20nn  30543  hashgcdlem  30762  phisum  30764  proot1ex  30766  lcmgcdlem  30812  hashnzfzclim  30827  nnne1ge2  31058  clim1fr1  31143  wallispilem5  31369  wallispi2lem1  31371  stirlinglem1  31374  stirlinglem3  31376  stirlinglem4  31377  stirlinglem5  31378  stirlinglem7  31380  stirlinglem10  31383  stirlinglem12  31385  stirlinglem14  31387  stirlinglem15  31388  fouriersw  31532
  Copyright terms: Public domain W3C validator