MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0 Structured version   Unicode version

Theorem nnne0 10575
Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnne0  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )

Proof of Theorem nnne0
StepHypRef Expression
1 0nnn 10574 . . 3  |-  -.  0  e.  NN
2 eleq1 2515 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  ( A  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
31, 2mtbiri 303 . 2  |-  ( A  =  0  ->  -.  A  e.  NN )
43necon2ai 2678 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   0cc0 9495   NNcn 10543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544
This theorem is referenced by:  nndivre  10578  nndiv  10583  nndivtr  10584  nnne0d  10587  zdiv  10940  zdivadd  10941  zdivmul  10942  elq  11195  qmulz  11196  qre  11198  qaddcl  11209  qnegcl  11210  qmulcl  11211  qreccl  11213  rpnnen1lem5  11223  fzo1fzo0n0  11846  quoremz  11964  quoremnn0ALT  11966  intfracq  11968  fldiv  11969  fldiv2  11970  modmulnn  11995  modidmul0  12004  expnnval  12151  expneg  12156  digit2  12281  facdiv  12347  facndiv  12348  bcm1k  12375  bcp1n  12376  bcval5  12378  hashnncl  12418  cshwidxmod  12756  divcnv  13647  harmonic  13652  expcnv  13657  ef0lem  13796  ruclem6  13950  sqrt2irr  13964  dvdsval3  13972  nndivdvds  13974  dvdseq  14015  divalg2  14045  divalgmod  14046  ndvdssub  14047  modgcd  14156  gcddiv  14169  gcdeq  14172  sqgcd  14178  eucalgf  14194  eucalginv  14195  qredeq  14229  qredeu  14230  isprm6  14232  divgcdodd  14242  divnumden  14263  divdenle  14264  phimullem  14291  pythagtriplem10  14326  pythagtriplem8  14329  pythagtriplem9  14330  pythagtriplem19  14339  pccl  14355  pcdiv  14358  pcqcl  14362  pcdvds  14369  pcndvds  14371  pcndvds2  14373  pceq0  14376  pcneg  14379  pcz  14386  pcmpt  14393  fldivp1  14398  pcfac  14400  infpnlem2  14411  cshwshashlem1  14562  mulgnn  16127  mulgnegnn  16131  oddvdsnn0  16547  odmulgeq  16558  gexnnod  16587  cply1coe0  18320  cply1coe0bi  18321  qsssubdrg  18456  prmirredlem  18501  prmirredlemOLD  18504  znf1o  18568  znhash  18575  znidomb  18578  znunithash  18581  znrrg  18582  m2cpm  19220  m2cpminvid2lem  19233  fvmptnn04ifc  19331  vitali  22000  mbfi1fseqlem3  22102  dvexp2  22335  plyeq0lem  22585  abelthlem9  22813  logtayllem  23018  logtayl  23019  logtaylsum  23020  logtayl2  23021  cxpexp  23027  cxproot  23049  root1id  23106  root1eq1  23107  cxpeq  23109  atantayl  23246  atantayl2  23247  leibpilem2  23250  leibpi  23251  birthdaylem2  23260  birthdaylem3  23261  dfef2  23278  emcllem2  23304  emcllem3  23305  basellem4  23335  basellem5  23336  basellem8  23339  basellem9  23340  mumullem2  23432  dvdsflip  23436  fsumdvdscom  23439  chtublem  23464  dchrelbas4  23496  bclbnd  23533  lgsval4a  23571  lgsabs1  23587  lgssq  23588  lgssq2  23589  dchrmusumlema  23656  dchrmusum2  23657  dchrvmasumiflem1  23664  dchrvmaeq0  23667  dchrisum0flblem1  23671  dchrisum0flblem2  23672  dchrisum0re  23676  ostthlem1  23790  ostth1  23796  cyclnspth  24609  clwwisshclwwlem  24784  gxpval  25239  gxmodid  25259  ipasslem4  25727  ipasslem5  25728  divnumden2  27587  qqhval2  27941  qqhnm  27949  signstfveq0  28512  zetacvg  28535  lgam1  28584  subfacp1lem6  28607  circum  29018  fz0n  29088  divcnvlin  29096  iprodgam  29101  faclim  29147  nndivsub  29898  heiborlem4  30286  heiborlem6  30288  pellexlem1  30741  congrep  30887  jm2.20nn  30915  hashgcdlem  31133  phisum  31135  proot1ex  31137  lcmgcdlem  31188  hashnzfzclim  31203  nnne1ge2  31435  mccllem  31559  clim1fr1  31561  dvnxpaek  31693  dvnprodlem2  31698  wallispilem5  31805  wallispi2lem1  31807  stirlinglem1  31810  stirlinglem3  31812  stirlinglem4  31813  stirlinglem5  31814  stirlinglem7  31816  stirlinglem10  31819  stirlinglem12  31821  stirlinglem14  31823  stirlinglem15  31824  fouriersw  31968  nnsgrpnmnd  32459
  Copyright terms: Public domain W3C validator