MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnncan2 Structured version   Unicode version

Theorem nnncan2 9900
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 1-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnncan2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  C
)  -  ( B  -  C ) )  =  ( A  -  B ) )

Proof of Theorem nnncan2
StepHypRef Expression
1 subcl 9863 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  -  C
)  e.  CC )
213adant1 1023 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
3 sub32 9897 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  -  C
)  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( A  -  ( B  -  C
) )  -  C
)  =  ( ( A  -  C )  -  ( B  -  C ) ) )
42, 3syld3an2 1311 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  ( B  -  C )
)  -  C )  =  ( ( A  -  C )  -  ( B  -  C
) ) )
5 nnncan 9898 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  ( B  -  C )
)  -  C )  =  ( A  -  B ) )
64, 5eqtr3d 2463 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  C
)  -  ( B  -  C ) )  =  ( A  -  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867  (class class class)co 6296   CCcc 9526    - cmin 9849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-ltxr 9669  df-sub 9851
This theorem is referenced by:  nnncan2d  10010  fzmmmeqm  11819  swrdccatin2  12817  psrass1  18570  lawcos  23649
  Copyright terms: Public domain W3C validator