MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmword Structured version   Unicode version

Theorem nnmword 7321
Description: Weak ordering property of ordinal multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmword  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  ( C  .o  A
)  C_  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem nnmword
StepHypRef Expression
1 iba 503 . . . 4  |-  ( (/)  e.  C  ->  ( B  e.  A  <->  ( B  e.  A  /\  (/)  e.  C
) ) )
2 nnmord 7320 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( B  e.  A  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) )
323com12 1203 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( B  e.  A  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) )
41, 3sylan9bbr 701 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( B  e.  A  <->  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
54notbid 294 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
6 simpl1 1002 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  A  e.  om )
7 nnon 6691 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  A  e.  On )
9 simpl2 1003 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  B  e.  om )
10 nnon 6691 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  B  e.  On )
12 ontri1 5446 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
138, 11, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  -.  B  e.  A
) )
14 simpl3 1004 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  C  e.  om )
15 nnmcl 7300 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  .o  A
)  e.  om )
1614, 6, 15syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  om )
17 nnon 6691 . . . 4  |-  ( ( C  .o  A )  e.  om  ->  ( C  .o  A )  e.  On )
1816, 17syl 17 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  On )
19 nnmcl 7300 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  .o  B
)  e.  om )
2014, 9, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  B )  e.  om )
21 nnon 6691 . . . 4  |-  ( ( C  .o  B )  e.  om  ->  ( C  .o  B )  e.  On )
2220, 21syl 17 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  B )  e.  On )
23 ontri1 5446 . . 3  |-  ( ( ( C  .o  A
)  e.  On  /\  ( C  .o  B
)  e.  On )  ->  ( ( C  .o  A )  C_  ( C  .o  B
)  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
2418, 22, 23syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  A )  C_  ( C  .o  B
)  <->  -.  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
255, 13, 243bitr4d 287 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  C_  B 
<->  ( C  .o  A
)  C_  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    e. wcel 1844    C_ wss 3416   (/)c0 3740   Oncon0 5412  (class class class)co 6280   omcom 6685    .o comu 7167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-oadd 7173  df-omul 7174
This theorem is referenced by:  nnmcan  7322  nnmwordi  7323
  Copyright terms: Public domain W3C validator