MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcl Structured version   Unicode version

Theorem nnmulcl 10559
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6292 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  1 ) )
21eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) )
32imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) ) )
4 oveq2 6292 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  y ) )
54eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  y )  e.  NN ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  y
)  e.  NN ) ) )
7 oveq2 6292 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  ( y  +  1 ) ) )
87eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
98imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
10 oveq2 6292 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  B ) )
1110eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  B )  e.  NN ) )
1211imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN ) ) )
13 nncn 10544 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
14 mulid1 9593 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
1514eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  1 )  e.  NN  <->  A  e.  NN ) )
1615biimprd 223 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) )
1713, 16mpcom 36 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN )
18 nnaddcl 10558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  y
)  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  y )  +  A
)  e.  NN )
1918ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  x.  y
)  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  y )  +  A )  e.  NN )
20 nncn 10544 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
21 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
22 adddi 9581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) ) )
2321, 22mp3an3 1313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) ) )
2414oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  y
)  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2623, 25eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2713, 20, 26syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2827eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN  <->  ( ( A  x.  y
)  +  A )  e.  NN ) )
2919, 28syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  x.  y )  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
3029exp4b 607 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( A  x.  y
)  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) ) )
3130pm2.43b 50 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( A  x.  y
)  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
3231a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  y
)  e.  NN )  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 10554 . 2  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  B )  e.  NN ) )
3433impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   NNcn 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-nn 10537
This theorem is referenced by:  nnmulcli  10560  nndivtr  10577  nnmulcld  10583  nn0mulcl  10832  qaddcl  11198  qmulcl  11200  modmulnn  11981  nnexpcl  12147  nnsqcl  12205  expmulnbnd  12266  faccl  12331  facdiv  12333  faclbnd3  12338  faclbnd4lem3  12341  faclbnd5  12344  bcrpcl  12354  trirecip  13637  pcmptcl  14269  prmreclem1  14293  prmreclem6  14298  4sqlem12  14333  vdwlem3  14360  vdwlem9  14366  vdwlem10  14367  mulgnnass  15980  ovolunlem1a  21670  ovolunlem1  21671  mbfi1fseqlem3  21887  mbfi1fseqlem4  21888  elqaalem2  22478  elqaalem3  22479  log2cnv  23031  log2tlbnd  23032  log2ublem2  23034  log2ub  23036  basellem1  23110  basellem2  23111  basellem3  23112  basellem4  23113  basellem5  23114  basellem6  23115  basellem7  23116  basellem8  23117  basellem9  23118  efnnfsumcl  23132  efchtdvds  23189  mumullem1  23209  mumullem2  23210  fsumdvdscom  23217  dvdsflf1o  23219  chtublem  23242  pcbcctr  23307  bclbnd  23311  bposlem1  23315  bposlem2  23316  bposlem3  23317  bposlem4  23318  bposlem5  23319  bposlem6  23320  lgseisenlem1  23380  lgseisenlem2  23381  lgseisenlem3  23382  lgseisenlem4  23383  lgsquadlem1  23385  lgsquadlem2  23386  chebbnd1lem1  23410  chebbnd1lem3  23412  dchrisumlem1  23430  mulogsum  23473  pntrsumo1  23506  pntrsumbnd  23507  ostth2lem1  23559  subfaclim  28300  fprodnncl  28692  nnrisefaccl  28746  jm2.17a  30530  jm2.17b  30531  jm2.17c  30532  acongrep  30550  acongeq  30553  jm2.27a  30579  jm2.27c  30581  lcmgcdlem  30840
  Copyright terms: Public domain W3C validator