MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcl Structured version   Unicode version

Theorem nnmulcl 10554
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnmulcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnmulcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  1 ) )
21eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) )
32imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) ) )
4 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  y ) )
54eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  y )  e.  NN ) )
65imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  y
)  e.  NN ) ) )
7 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  ( y  +  1 ) ) )
87eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
98imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
10 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  B ) )
1110eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  x.  x
)  e.  NN  <->  ( A  x.  B )  e.  NN ) )
1211imbi2d 314 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN ) ) )
13 nncn 10539 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
14 mulid1 9582 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
1514eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  1 )  e.  NN  <->  A  e.  NN ) )
1615biimprd 223 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN ) )
1713, 16mpcom 36 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  1 )  e.  NN )
18 nnaddcl 10553 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  x.  y
)  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  y )  +  A
)  e.  NN )
1918ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  x.  y
)  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  y )  +  A )  e.  NN )
20 nncn 10539 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
21 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
22 adddi 9570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) ) )
2321, 22mp3an3 1311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) ) )
2414oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  x.  y
)  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2524adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  y )  +  ( A  x.  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2623, 25eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2713, 20, 26syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  x.  (
y  +  1 ) )  =  ( ( A  x.  y )  +  A ) )
2827eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN  <->  ( ( A  x.  y
)  +  A )  e.  NN ) )
2919, 28syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  x.  y )  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
3029exp4b 605 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( A  x.  y
)  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) ) )
3130pm2.43b 50 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( A  x.  y
)  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
3231a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  x.  y
)  e.  NN )  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
333, 6, 9, 12, 17, 32nnind 10549 . 2  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  x.  B )  e.  NN ) )
3433impcom 428 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   NNcn 10531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10532
This theorem is referenced by:  nnmulcli  10555  nndivtr  10573  nnmulcld  10579  nn0mulcl  10828  qaddcl  11199  qmulcl  11201  modmulnn  11995  nnexpcl  12161  nnsqcl  12219  expmulnbnd  12280  faccl  12345  facdiv  12347  faclbnd3  12352  faclbnd4lem3  12355  faclbnd5  12358  bcrpcl  12368  trirecip  13756  fprodnncl  13844  pcmptcl  14494  prmreclem1  14518  prmreclem6  14523  4sqlem12  14558  vdwlem3  14585  vdwlem9  14591  vdwlem10  14592  mulgnnass  16369  ovolunlem1a  22073  ovolunlem1  22074  mbfi1fseqlem3  22290  mbfi1fseqlem4  22291  elqaalem2  22882  elqaalem3  22883  log2cnv  23472  log2tlbnd  23473  log2ublem2  23475  log2ub  23477  basellem1  23552  basellem2  23553  basellem3  23554  basellem4  23555  basellem5  23556  basellem6  23557  basellem7  23558  basellem8  23559  basellem9  23560  efnnfsumcl  23574  efchtdvds  23631  mumullem1  23651  mumullem2  23652  fsumdvdscom  23659  dvdsflf1o  23661  chtublem  23684  pcbcctr  23749  bclbnd  23753  bposlem1  23757  bposlem2  23758  bposlem3  23759  bposlem4  23760  bposlem5  23761  bposlem6  23762  lgseisenlem1  23822  lgseisenlem2  23823  lgseisenlem3  23824  lgseisenlem4  23825  lgsquadlem1  23827  lgsquadlem2  23828  chebbnd1lem1  23852  chebbnd1lem3  23854  dchrisumlem1  23872  mulogsum  23915  pntrsumo1  23948  pntrsumbnd  23949  ostth2lem1  24001  subfaclim  28896  nnrisefaccl  29382  jm2.17a  31137  jm2.17b  31138  jm2.17c  31139  acongrep  31157  acongeq  31160  jm2.27a  31186  jm2.27c  31188  lcmgcdlem  31453
  Copyright terms: Public domain W3C validator