Theorem nnmsucr 7275

Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmsucr	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) )

Proof of Theorem nnmsucr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6293	. . . . 5 |- ( x = B -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o B ) )
2		oveq2 6293	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) )
3		id 22	. . . . . 6 |- ( x = B -> x = B )
4	2, 3	oveq12d 6303	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o B ) +o B ) )
5	1, 4	eqeq12d 2489	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) )
6	5	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) ) <-> ( A e. om -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) ) )
7		oveq2 6293	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o (/) ) )
8		oveq2 6293	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
9		id 22	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> x = (/) )
10	8, 9	oveq12d 6303	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) )
11	7, 10	eqeq12d 2489	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) ) )
12		oveq2 6293	. . . . 5 |- ( x = y -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o y ) )
13		oveq2 6293	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
14		id 22	. . . . . 6 |- ( x = y -> x = y )
15	13, 14	oveq12d 6303	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o y ) +o y ) )
16	12, 15	eqeq12d 2489	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) ) )
17		oveq2 6293	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o suc y ) )
18		oveq2 6293	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
19		id 22	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> x = suc y )
20	18, 19	oveq12d 6303	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) )
21	17, 20	eqeq12d 2489	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) )
22		peano2 6705	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> suc A e. om )
23		nnm0 7255	. . . . . . 7 |- ( suc A e. om -> ( suc A .o (/) ) = (/) )
24	22, 23	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = (/) )
25		nnm0 7255	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
26	24, 25	eqtr4d 2511	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = ( A .o (/) ) )
27		peano1 6704	. . . . . . 7 |- (/) e. om
28		nnmcl 7262	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ (/) e. om ) -> ( A .o (/) ) e. om )
29	27, 28	mpan2 671	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) e. om )
30		nna0 7254	. . . . . 6 |- ( ( A .o (/) ) e. om -> ( ( A .o (/) ) +o (/) ) = ( A .o (/) ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A .o (/) ) +o (/) ) = ( A .o (/) ) )
32	26, 31	eqtr4d 2511	. . . 4 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) )
33		oveq1 6292	. . . . . 6 |- ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( ( suc A .o y ) +o suc A ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) )
34		peano2b 6701	. . . . . . . 8 |- ( A e. om <-> suc A e. om )
35		nnmsuc 7257	. . . . . . . 8 |- ( ( suc A e. om /\ y e. om ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( suc A .o y ) +o suc A ) )
36	34, 35	sylanb 472	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( suc A .o y ) +o suc A ) )
37		nnmcl 7262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o y ) e. om )
38		peano2b 6701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om <-> suc y e. om )
39		nnaass 7272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om /\ suc y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
40	38, 39	syl3an3b 1266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
41	37, 40	syl3an1 1261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
42	41	3expb 1197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
43	42	anidms 645	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
44		nnmsuc 7257	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
45	44	oveq1d 6300	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) +o suc y ) = ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) )
46		nnaass 7272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ y e. om /\ suc A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
47	34, 46	syl3an3b 1266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
48	37, 47	syl3an1 1261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
49	48	3expb 1197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( y e. om /\ A e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
50	49	an42s 825	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
51	50	anidms 645	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
52		nnacom 7267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o y ) = ( y +o A ) )
53		suceq 4943	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o y ) = ( y +o A ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
55		nnasuc 7256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
56		nnasuc 7256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( y +o suc A ) = suc ( y +o A ) )
57	56	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( y +o suc A ) = suc ( y +o A ) )
58	54, 55, 57	3eqtr4d 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( y +o suc A ) )
59	58	oveq2d 6301	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
60	51, 59	eqtr4d 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
61	43, 45, 60	3eqtr4d 2518	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) +o suc y ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) )
62	36, 61	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) <-> ( ( suc A .o y ) +o suc A ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) ) )
63	33, 62	syl5ibr 221	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) )
64	63	expcom 435	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) ) )
65	11, 16, 21, 32, 64	finds2 6713	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) ) )
66	6, 65	vtoclga 3177	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) )
67	66	impcom 430	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   (/)c0 3785   suc csuc 4880  (class class class)co 6285   omcom 6685   +o coa 7128   .o comu 7129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-oadd 7135  df-omul 7136

This theorem is referenced by:  nnmcom  7276