Theorem nnmsucr 6827

Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmsucr	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) )

Proof of Theorem nnmsucr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( x = B -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o B ) )
2		oveq2 6048	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A .o x ) = ( A .o B ) )
3		id 20	. . . . . 6 |- ( x = B -> x = B )
4	2, 3	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o B ) +o B ) )
5	1, 4	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) )
6	5	imbi2d 308	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) ) <-> ( A e. om -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) ) )
7		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o (/) ) )
8		oveq2 6048	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o x ) = ( A .o (/) ) )
9		id 20	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> x = (/) )
10	8, 9	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) )
11	7, 10	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) ) )
12		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( x = y -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o y ) )
13		oveq2 6048	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o x ) = ( A .o y ) )
14		id 20	. . . . . 6 |- ( x = y -> x = y )
15	13, 14	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o y ) +o y ) )
16	12, 15	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) ) )
17		oveq2 6048	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( suc A .o x ) = ( suc A .o suc y ) )
18		oveq2 6048	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o x ) = ( A .o suc y ) )
19		id 20	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> x = suc y )
20	18, 19	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( A .o x ) +o x ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) )
21	17, 20	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) <-> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) )
22		peano2 4824	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> suc A e. om )
23		nnm0 6807	. . . . . . 7 |- ( suc A e. om -> ( suc A .o (/) ) = (/) )
24	22, 23	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = (/) )
25		nnm0 6807	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) = (/) )
26	24, 25	eqtr4d 2439	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = ( A .o (/) ) )
27		peano1 4823	. . . . . . 7 |- (/) e. om
28		nnmcl 6814	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ (/) e. om ) -> ( A .o (/) ) e. om )
29	27, 28	mpan2 653	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( A .o (/) ) e. om )
30		nna0 6806	. . . . . 6 |- ( ( A .o (/) ) e. om -> ( ( A .o (/) ) +o (/) ) = ( A .o (/) ) )
31	29, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( ( A .o (/) ) +o (/) ) = ( A .o (/) ) )
32	26, 31	eqtr4d 2439	. . . 4 |- ( A e. om -> ( suc A .o (/) ) = ( ( A .o (/) ) +o (/) ) )
33		oveq1 6047	. . . . . 6 |- ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( ( suc A .o y ) +o suc A ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) )
34		peano2b 4820	. . . . . . . 8 |- ( A e. om <-> suc A e. om )
35		nnmsuc 6809	. . . . . . . 8 |- ( ( suc A e. om /\ y e. om ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( suc A .o y ) +o suc A ) )
36	34, 35	sylanb 459	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( suc A .o y ) +o suc A ) )
37		nnmcl 6814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o y ) e. om )
38		peano2b 4820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om <-> suc y e. om )
39		nnaass 6824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om /\ suc y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
40	38, 39	syl3an3b 1222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
41	37, 40	syl3an1 1217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
42	41	3expb 1154	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
43	42	anidms 627	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
44		nnmsuc 6809	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A .o suc y ) = ( ( A .o y ) +o A ) )
45	44	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) +o suc y ) = ( ( ( A .o y ) +o A ) +o suc y ) )
46		nnaass 6824	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ y e. om /\ suc A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
47	34, 46	syl3an3b 1222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A .o y ) e. om /\ y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
48	37, 47	syl3an1 1217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ y e. om /\ A e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
49	48	3expb 1154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( y e. om /\ A e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
50	49	an42s 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. om /\ y e. om ) /\ ( A e. om /\ y e. om ) ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
51	50	anidms 627	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
52		nnacom 6819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o y ) = ( y +o A ) )
53		suceq 4606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +o y ) = ( y +o A ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> suc ( A +o y ) = suc ( y +o A ) )
55		nnasuc 6808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) )
56		nnasuc 6808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ A e. om ) -> ( y +o suc A ) = suc ( y +o A ) )
57	56	ancoms 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( y +o suc A ) = suc ( y +o A ) )
58	54, 55, 57	3eqtr4d 2446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A +o suc y ) = ( y +o suc A ) )
59	58	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) = ( ( A .o y ) +o ( y +o suc A ) ) )
60	51, 59	eqtr4d 2439	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) = ( ( A .o y ) +o ( A +o suc y ) ) )
61	43, 45, 60	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A .o suc y ) +o suc y ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) )
62	36, 61	eqeq12d 2418	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) <-> ( ( suc A .o y ) +o suc A ) = ( ( ( A .o y ) +o y ) +o suc A ) ) )
63	33, 62	syl5ibr 213	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) )
64	63	expcom 425	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( suc A .o y ) = ( ( A .o y ) +o y ) -> ( suc A .o suc y ) = ( ( A .o suc y ) +o suc y ) ) ) )
65	11, 16, 21, 32, 64	finds2 4832	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( suc A .o x ) = ( ( A .o x ) +o x ) ) )
66	6, 65	vtoclga 2977	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) ) )
67	66	impcom 420	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( suc A .o B ) = ( ( A .o B ) +o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   (/)c0 3588   suc csuc 4543   omcom 4804  (class class class)co 6040   +o coa 6680   .o comu 6681

This theorem is referenced by:  nnmcom  6828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-omul 6688