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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nnmsucr | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) |
Ref | Expression |
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nnmsucr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 6296 |
. . . . 5
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2 | oveq2 6296 |
. . . . . 6
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3 | id 22 |
. . . . . 6
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4 | 2, 3 | oveq12d 6306 |
. . . . 5
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5 | 1, 4 | eqeq12d 2465 |
. . . 4
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6 | 5 | imbi2d 318 |
. . 3
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7 | oveq2 6296 |
. . . . 5
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8 | oveq2 6296 |
. . . . . 6
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9 | id 22 |
. . . . . 6
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10 | 8, 9 | oveq12d 6306 |
. . . . 5
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11 | 7, 10 | eqeq12d 2465 |
. . . 4
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12 | oveq2 6296 |
. . . . 5
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13 | oveq2 6296 |
. . . . . 6
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14 | id 22 |
. . . . . 6
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15 | 13, 14 | oveq12d 6306 |
. . . . 5
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16 | 12, 15 | eqeq12d 2465 |
. . . 4
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17 | oveq2 6296 |
. . . . 5
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18 | oveq2 6296 |
. . . . . 6
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19 | id 22 |
. . . . . 6
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20 | 18, 19 | oveq12d 6306 |
. . . . 5
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21 | 17, 20 | eqeq12d 2465 |
. . . 4
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22 | peano2 6710 |
. . . . . . 7
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23 | nnm0 7303 |
. . . . . . 7
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24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . . 6
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25 | nnm0 7303 |
. . . . . 6
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26 | 24, 25 | eqtr4d 2487 |
. . . . 5
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27 | peano1 6709 |
. . . . . . 7
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28 | nnmcl 7310 |
. . . . . . 7
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29 | 27, 28 | mpan2 676 |
. . . . . 6
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30 | nna0 7302 |
. . . . . 6
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31 | 29, 30 | syl 17 |
. . . . 5
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32 | 26, 31 | eqtr4d 2487 |
. . . 4
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33 | oveq1 6295 |
. . . . . 6
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34 | peano2b 6705 |
. . . . . . . 8
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35 | nnmsuc 7305 |
. . . . . . . 8
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36 | 34, 35 | sylanb 475 |
. . . . . . 7
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37 | nnmcl 7310 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | peano2b 6705 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | nnaass 7320 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 38, 39 | syl3an3b 1305 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 37, 40 | syl3an1 1300 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 41 | 3expb 1208 |
. . . . . . . . 9
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43 | 42 | anidms 650 |
. . . . . . . 8
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44 | nnmsuc 7305 |
. . . . . . . . 9
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45 | 44 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . 8
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46 | nnaass 7320 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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47 | 34, 46 | syl3an3b 1305 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | 37, 47 | syl3an1 1300 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | 48 | 3expb 1208 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 49 | an42s 835 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 50 | anidms 650 |
. . . . . . . . 9
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52 | nnacom 7315 |
. . . . . . . . . . . 12
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53 | suceq 5487 |
. . . . . . . . . . . 12
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54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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55 | nnasuc 7304 |
. . . . . . . . . . 11
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56 | nnasuc 7304 |
. . . . . . . . . . . 12
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57 | 56 | ancoms 455 |
. . . . . . . . . . 11
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58 | 54, 55, 57 | 3eqtr4d 2494 |
. . . . . . . . . 10
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59 | 58 | oveq2d 6304 |
. . . . . . . . 9
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60 | 51, 59 | eqtr4d 2487 |
. . . . . . . 8
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61 | 43, 45, 60 | 3eqtr4d 2494 |
. . . . . . 7
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62 | 36, 61 | eqeq12d 2465 |
. . . . . 6
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63 | 33, 62 | syl5ibr 225 |
. . . . 5
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64 | 63 | expcom 437 |
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65 | 11, 16, 21, 32, 64 | finds2 6718 |
. . 3
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66 | 6, 65 | vtoclga 3112 |
. 2
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67 | 66 | impcom 432 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-iun 4279 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-om 6690 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-oadd 7183 df-omul 7184 |
This theorem is referenced by: nnmcom 7324 |
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