MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmsucr Unicode version

Theorem nnmsucr 6827
Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmsucr  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) )

Proof of Theorem nnmsucr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  B ) )
2 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  B
) )
3 id 20 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
42, 3oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .o  x
)  +o  x )  =  ( ( A  .o  B )  +o  B ) )
51, 4eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) ) )
65imbi2d 308 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x ) )  <->  ( A  e. 
om  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) ) ) )
7 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc 
A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  (/) ) )
8 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
9 id 20 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  x  =  (/) )
108, 9oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x )  +o  x )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) )
117, 10eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( suc  A  .o  x
)  =  ( ( A  .o  x )  +o  x )  <->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) ) )
12 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  y ) )
13 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
14 id 20 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
1513, 14oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  +o  x )  =  ( ( A  .o  y )  +o  y ) )
1612, 15eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y ) ) )
17 oveq2 6048 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  suc  y ) )
18 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
19 id 20 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
2018, 19oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  +o  x
)  =  ( ( A  .o  suc  y
)  +o  suc  y
) )
2117, 20eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) )
22 peano2 4824 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
23 nnm0 6807 . . . . . . 7  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  (/) )
25 nnm0 6807 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2624, 25eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
27 peano1 4823 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
28 nnmcl 6814 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
2927, 28mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
30 nna0 6806 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  (/) )  e. 
om  ->  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
3129, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  (/) )  +o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
3226, 31eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) )
33 oveq1 6047 . . . . . 6  |-  ( ( suc  A  .o  y
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  y )  -> 
( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( ( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A ) )
34 peano2b 4820 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
35 nnmsuc 6809 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A ) )
3634, 35sylanb 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A ) )
37 nnmcl 6814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  y
)  e.  om )
38 peano2b 4820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  <->  suc  y  e. 
om )
39 nnaass 6824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4038, 39syl3an3b 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  y )  +o  A
)  +o  suc  y
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4137, 40syl3an1 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
42413expb 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4342anidms 627 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
44 nnmsuc 6809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
4544oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  A
)  +o  suc  y
) )
46 nnaass 6824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  y  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  -> 
( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
4734, 46syl3an3b 1222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  y )  +o  y
)  +o  suc  A
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
4837, 47syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
49483expb 1154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o  suc  A ) ) )
5049an42s 801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o  suc  A ) ) )
5150anidms 627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
52 nnacom 6819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  =  ( y  +o  A ) )
53 suceq 4606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  =  ( y  +o  A )  ->  suc  ( A  +o  y
)  =  suc  (
y  +o  A ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  suc  ( A  +o  y )  =  suc  ( y  +o  A
) )
55 nnasuc 6808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
56 nnasuc 6808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  A )  =  suc  (
y  +o  A ) )
5756ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  A )  =  suc  (
y  +o  A ) )
5854, 55, 573eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  ( y  +o  suc  A
) )
5958oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
6051, 59eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
6143, 45, 603eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  y
)  +o  suc  A
) )
6236, 61eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  <->  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o 
suc  A ) ) )
6333, 62syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) )
6463expcom 425 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) ) )
6511, 16, 21, 32, 64finds2 4832 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  x
)  =  ( ( A  .o  x )  +o  x ) ) )
666, 65vtoclga 2977 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  B
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  B ) ) )
6766impcom 420 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   (/)c0 3588   suc csuc 4543   omcom 4804  (class class class)co 6040    +o coa 6680    .o comu 6681
This theorem is referenced by:  nnmcom  6828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-omul 6688
  Copyright terms: Public domain W3C validator