Theorem nnmsucr 5295

Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmsucr	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B))

Proof of Theorem nnmsucr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = B -> (suc A .o x) = (suc A .o B))
2		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = B -> (A .o x) = (A .o B))
3		id 73	. . . . . 6 |- (x = B -> x = B)
4	2, 3	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (x = B -> ((A .o x) +o x) = ((A .o B) +o B))
5	1, 4	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = B -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B)))
6	5	imbi2d 674	. . 3 |- (x = B -> ((A e. om -> (suc A .o x) = ((A .o x) +o x)) <-> (A e. om -> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B))))
7		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = (/) -> (suc A .o x) = (suc A .o (/)))
8		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = (/) -> (A .o x) = (A .o (/)))
9		id 73	. . . . . 6 |- (x = (/) -> x = (/))
10	8, 9	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (x = (/) -> ((A .o x) +o x) = ((A .o (/)) +o (/)))
11	7, 10	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = (/) -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o (/)) = ((A .o (/)) +o (/))))
12		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = y -> (suc A .o x) = (suc A .o y))
13		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = y -> (A .o x) = (A .o y))
14		id 73	. . . . . 6 |- (x = y -> x = y)
15	13, 14	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (x = y -> ((A .o x) +o x) = ((A .o y) +o y))
16	12, 15	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = y -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o y) = ((A .o y) +o y)))
17		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = suc y -> (suc A .o x) = (suc A .o suc y))
18		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (x = suc y -> (A .o x) = (A .o suc y))
19		id 73	. . . . . 6 |- (x = suc y -> x = suc y)
20	18, 19	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (x = suc y -> ((A .o x) +o x) = ((A .o suc y) +o suc y))
21	17, 20	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = suc y -> ((suc A .o x) = ((A .o x) +o x) <-> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y)))
22		nnm0 5276	. . . . 5 |- (A e. om -> (A .o (/)) = (/))
23		peano1 3971	. . . . . . 7 |- (/) e. om
24		nnmcl 5283	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ (/) e. om) -> (A .o (/)) e. om)
25	23, 24	mpan2 760	. . . . . 6 |- (A e. om -> (A .o (/)) e. om)
26		nna0 5275	. . . . . 6 |- ((A .o (/)) e. om -> ((A .o (/)) +o (/)) = (A .o (/)))
27	25, 26	syl 12	. . . . 5 |- (A e. om -> ((A .o (/)) +o (/)) = (A .o (/)))
28		peano2 3972	. . . . . 6 |- (A e. om -> suc A e. om)
29		nnm0 5276	. . . . . 6 |- (suc A e. om -> (suc A .o (/)) = (/))
30	28, 29	syl 12	. . . . 5 |- (A e. om -> (suc A .o (/)) = (/))
31	22, 27, 30	3eqtr4rd 1939	. . . 4 |- (A e. om -> (suc A .o (/)) = ((A .o (/)) +o (/)))
32		nnmsuc 5278	. . . . . . . 8 |- ((suc A e. om /\ y e. om) -> (suc A .o suc y) = ((suc A .o y) +o suc A))
33		peano2b 3968	. . . . . . . 8 |- (A e. om <-> suc A e. om)
34	32, 33	sylanb 498	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (suc A .o suc y) = ((suc A .o y) +o suc A))
35		nnmsuc 5278	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A .o suc y) = ((A .o y) +o A))
36	35	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A .o suc y) +o suc y) = (((A .o y) +o A) +o suc y))
37		nnacom 5288	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o y) = (y +o A))
38		suceq 3729	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A +o y) = (y +o A) -> suc (A +o y) = suc (y +o A))
39	37, 38	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> suc (A +o y) = suc (y +o A))
40		nnasuc 5277	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o suc y) = suc (A +o y))
41		nnasuc 5277	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. om /\ A e. om) -> (y +o suc A) = suc (y +o A))
42	41	ancoms 484	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (y +o suc A) = suc (y +o A))
43	39, 40, 42	3eqtr4d 1937	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A +o suc y) = (y +o suc A))
44	43	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A .o y) +o (A +o suc y)) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
45		nnaass 5292	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A .o y) e. om /\ A e. om /\ suc y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
46		peano2b 3968	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. om <-> suc y e. om)
47	45, 46	syl3an3b 1135	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A .o y) e. om /\ A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
48		nnmcl 5283	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A .o y) e. om)
49	47, 48	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
50	49	3expb 1068	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ (A e. om /\ y e. om)) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
51	50	anidms 480	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = ((A .o y) +o (A +o suc y)))
52		nnaass 5292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A .o y) e. om /\ y e. om /\ suc A e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
53	52, 33	syl3an3b 1135	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A .o y) e. om /\ y e. om /\ A e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
54	53, 48	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ y e. om /\ A e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
55	54	3expb 1068	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ (y e. om /\ A e. om)) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
56	55	an42s 567	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. om /\ y e. om) /\ (A e. om /\ y e. om)) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
57	56	anidms 480	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o y) +o suc A) = ((A .o y) +o (y +o suc A)))
58	44, 51, 57	3eqtr4d 1937	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A .o y) +o A) +o suc y) = (((A .o y) +o y) +o suc A))
59	36, 58	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A .o suc y) +o suc y) = (((A .o y) +o y) +o suc A))
60	34, 59	eqeq12d 1899	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y) <-> ((suc A .o y) +o suc A) = (((A .o y) +o y) +o suc A)))
61		opreq1 4889	. . . . . 6 |- ((suc A .o y) = ((A .o y) +o y) -> ((suc A .o y) +o suc A) = (((A .o y) +o y) +o suc A))
62	60, 61	syl5bir 227	. . . . 5 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((suc A .o y) = ((A .o y) +o y) -> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y)))
63	62	expcom 403	. . . 4 |- (y e. om -> (A e. om -> ((suc A .o y) = ((A .o y) +o y) -> (suc A .o suc y) = ((A .o suc y) +o suc y))))
64	11, 16, 21, 31, 63	finds2 3981	. . 3 |- (x e. om -> (A e. om -> (suc A .o x) = ((A .o x) +o x)))
65	6, 64	vtoclga 2352	. 2 |- (B e. om -> (A e. om -> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B)))
66	65	impcom 378	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (suc A .o B) = ((A .o B) +o B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  suc csuc 3659  omcom 3949  (class class class)co 4884   +o coa 5174   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  nnmcom 5297  nnmcomOLD 5298

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain