MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmsucr Structured version   Unicode version

Theorem nnmsucr 7275
Description: Multiplication with successor. Exercise 16 of [Enderton] p. 82. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnmsucr  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) )

Proof of Theorem nnmsucr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6293 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  B ) )
2 oveq2 6293 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  B
) )
3 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
42, 3oveq12d 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .o  x
)  +o  x )  =  ( ( A  .o  B )  +o  B ) )
51, 4eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x ) )  <->  ( A  e. 
om  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) ) ) )
7 oveq2 6293 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( suc 
A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  (/) ) )
8 oveq2 6293 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
9 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  x  =  (/) )
108, 9oveq12d 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x )  +o  x )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) )
117, 10eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( suc  A  .o  x
)  =  ( ( A  .o  x )  +o  x )  <->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) ) )
12 oveq2 6293 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  y ) )
13 oveq2 6293 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
14 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
1513, 14oveq12d 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  +o  x )  =  ( ( A  .o  y )  +o  y ) )
1612, 15eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y ) ) )
17 oveq2 6293 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  A  .o  x )  =  ( suc  A  .o  suc  y ) )
18 oveq2 6293 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
19 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  ->  x  =  suc  y )
2018, 19oveq12d 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  +o  x
)  =  ( ( A  .o  suc  y
)  +o  suc  y
) )
2117, 20eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( suc  A  .o  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  x )  <-> 
( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) )
22 peano2 6705 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
23 nnm0 7255 . . . . . . 7  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  (/) )
25 nnm0 7255 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
2624, 25eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
27 peano1 6704 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
28 nnmcl 7262 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
2927, 28mpan2 671 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  (/) )  e.  om )
30 nna0 7254 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  (/) )  e. 
om  ->  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
3129, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  .o  (/) )  +o  (/) )  =  ( A  .o  (/) ) )
3226, 31eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  (/) )  =  ( ( A  .o  (/) )  +o  (/) ) )
33 oveq1 6292 . . . . . 6  |-  ( ( suc  A  .o  y
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  y )  -> 
( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( ( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A ) )
34 peano2b 6701 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
35 nnmsuc 7257 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A ) )
3634, 35sylanb 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A ) )
37 nnmcl 7262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  y
)  e.  om )
38 peano2b 6701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  <->  suc  y  e. 
om )
39 nnaass 7272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  suc  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4038, 39syl3an3b 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  y )  +o  A
)  +o  suc  y
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4137, 40syl3an1 1261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
42413expb 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
4342anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  A )  +o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
44 nnmsuc 7257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
4544oveq1d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  A
)  +o  suc  y
) )
46 nnaass 7272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  y  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  -> 
( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
4734, 46syl3an3b 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  om  /\  y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  y )  +o  y
)  +o  suc  A
)  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
4837, 47syl3an1 1261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
49483expb 1197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( y  e.  om  /\  A  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o  suc  A ) ) )
5049an42s 825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  /\  ( A  e.  om  /\  y  e.  om )
)  ->  ( (
( A  .o  y
)  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o  suc  A ) ) )
5150anidms 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
52 nnacom 7267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  =  ( y  +o  A ) )
53 suceq 4943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  =  ( y  +o  A )  ->  suc  ( A  +o  y
)  =  suc  (
y  +o  A ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  suc  ( A  +o  y )  =  suc  ( y  +o  A
) )
55 nnasuc 7256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
56 nnasuc 7256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  A )  =  suc  (
y  +o  A ) )
5756ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  suc  A )  =  suc  (
y  +o  A ) )
5854, 55, 573eqtr4d 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  ( y  +o  suc  A
) )
5958oveq2d 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( y  +o 
suc  A ) ) )
6051, 59eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( A  .o  y )  +o  ( A  +o  suc  y ) ) )
6143, 45, 603eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  y
)  +o  suc  A
) )
6236, 61eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y )  <->  ( ( suc  A  .o  y )  +o  suc  A )  =  ( ( ( A  .o  y )  +o  y )  +o 
suc  A ) ) )
6333, 62syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) )
6463expcom 435 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( suc  A  .o  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  y )  ->  ( suc  A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  suc  y )  +o  suc  y ) ) ) )
6511, 16, 21, 32, 64finds2 6713 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  x
)  =  ( ( A  .o  x )  +o  x ) ) )
666, 65vtoclga 3177 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  .o  B
)  =  ( ( A  .o  B )  +o  B ) ) )
6766impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  B )  =  ( ( A  .o  B
)  +o  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   (/)c0 3785   suc csuc 4880  (class class class)co 6285   omcom 6685    +o coa 7128    .o comu 7129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-oadd 7135  df-omul 7136
This theorem is referenced by:  nnmcom  7276
  Copyright terms: Public domain W3C validator