Theorem nnmsuc 5278

Description: Multiplication with successor. Theorem 4J(A2) of [Enderton] p. 80.

Assertion

Ref	Expression
nnmsuc	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o suc B) = ((A .o B) +o A))

Proof of Theorem nnmsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsuc 5210	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o suc B) = ((A .o B) +o A))
2		nnon 3957	. 2 |- (A e. om -> A e. On)
3		nnon 3957	. 2 |- (B e. om -> B e. On)
4	1, 2, 3	syl2an 503	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o suc B) = ((A .o B) +o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949  (class class class)co 4884   +o coa 5174   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  nnmcl 5283  nnmclOLD 5284  nnmsucr 5295  nnmsucrOLD 5296  nnmcom 5297  nnmcomOLD 5298

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain