MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmord Unicode version

Theorem nnmord 6516
Description: Ordering property of multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 22-Jan-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmord  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) )

Proof of Theorem nnmord
StepHypRef Expression
1 nnmordi 6515 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
21ex 425 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
32com23 74 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( (/)  e.  C  ->  ( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
43imp3a 422 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
543adant1 978 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
6 ne0i 3368 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  ->  ( C  .o  B )  =/=  (/) )
7 nnm0r 6494 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
8 oveq1 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =  (/)  ->  ( C  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
98eqeq1d 2261 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  (/)  ->  ( ( C  .o  B )  =  (/)  <->  ( (/)  .o  B
)  =  (/) ) )
107, 9syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( C  =  (/)  ->  ( C  .o  B )  =  (/) ) )
1110necon3d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  (
( C  .o  B
)  =/=  (/)  ->  C  =/=  (/) ) )
126, 11syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  C  =/=  (/) ) )
1312adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  ->  C  =/=  (/) ) )
14 nnord 4555 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  om  ->  Ord  C )
15 ord0eln0 4339 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
C  ->  ( (/)  e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
1614, 15syl 17 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  om  ->  ( (/) 
e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
1716adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/)  e.  C  <->  C  =/=  (/) ) )
1813, 17sylibrd 227 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  ->  (/)  e.  C ) )
19183adant1 978 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  (/) 
e.  C ) )
20 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B
) )
2120a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  =  B  ->  ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B ) ) )
22 nnmordi 6515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
23223adantl2 1117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) )
2421, 23orim12d 814 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  (
( C  .o  A
)  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) ) )
2524con3d 127 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( -.  (
( C  .o  A
)  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) )  ->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
26 simpl3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  C  e.  om )
27 simpl1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  A  e.  om )
28 nnmcl 6496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  .o  A
)  e.  om )
2926, 27, 28syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  A )  e.  om )
30 simpl2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  B  e.  om )
31 nnmcl 6496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  .o  B
)  e.  om )
3226, 30, 31syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( C  .o  B )  e.  om )
33 nnord 4555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  .o  A )  e.  om  ->  Ord  ( C  .o  A
) )
34 nnord 4555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  .o  B )  e.  om  ->  Ord  ( C  .o  B
) )
35 ordtri2 4320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  ( C  .o  A )  /\  Ord  ( C  .o  B
) )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  <->  -.  (
( C  .o  A
)  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B
)  e.  ( C  .o  A ) ) ) )
3633, 34, 35syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  .o  A
)  e.  om  /\  ( C  .o  B
)  e.  om )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B )  <->  -.  ( ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B )  \/  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A ) ) ) )
3729, 32, 36syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
)  <->  -.  ( ( C  .o  A )  =  ( C  .o  B
)  \/  ( C  .o  B )  e.  ( C  .o  A
) ) ) )
38 nnord 4555 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
39 nnord 4555 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
40 ordtri2 4320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
4138, 39, 40syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
4227, 30, 41syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
4325, 37, 423imtr4d 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B
)  ->  A  e.  B ) )
4443ex 425 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( (/) 
e.  C  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  A  e.  B )
) )
4544com23 74 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  -> 
( (/)  e.  C  ->  A  e.  B )
) )
4619, 45mpdd 38 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  ->  A  e.  B )
)
4746, 19jcad 521 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B )  -> 
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C ) ) )
485, 47impbid 185 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   (/)c0 3362   Ord word 4284   omcom 4547  (class class class)co 5710    .o comu 6363
This theorem is referenced by:  nnmword  6517  nnneo  6535  ltmpi  8408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369  df-omul 6370
  Copyright terms: Public domain W3C validator