Theorem nnmcom 5297

Description: Multiplication of natural numbers is commutative. Theorem 4K(5) of [Enderton] p. 81. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnmcom	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) = (B .o A))

Proof of Theorem nnmcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . 5 |- (x = A -> (x .o B) = (A .o B))
2		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = A -> (B .o x) = (B .o A))
3	1, 2	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = A -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (A .o B) = (B .o A)))
4	3	imbi2d 674	. . 3 |- (x = A -> ((B e. om -> (x .o B) = (B .o x)) <-> (B e. om -> (A .o B) = (B .o A))))
5		opreq1 4889	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x .o B) = ((/) .o B))
6		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = (/) -> (B .o x) = (B .o (/)))
7	5, 6	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = (/) -> ((x .o B) = (B .o x) <-> ((/) .o B) = (B .o (/))))
8		opreq1 4889	. . . . 5 |- (x = y -> (x .o B) = (y .o B))
9		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = y -> (B .o x) = (B .o y))
10	8, 9	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = y -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (y .o B) = (B .o y)))
11		opreq1 4889	. . . . 5 |- (x = suc y -> (x .o B) = (suc y .o B))
12		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = suc y -> (B .o x) = (B .o suc y))
13	11, 12	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = suc y -> ((x .o B) = (B .o x) <-> (suc y .o B) = (B .o suc y)))
14		nnm0r 5280	. . . . 5 |- (B e. om -> ((/) .o B) = (/))
15		nnm0 5276	. . . . 5 |- (B e. om -> (B .o (/)) = (/))
16	14, 15	eqtr4d 1928	. . . 4 |- (B e. om -> ((/) .o B) = (B .o (/)))
17		nnmsucr 5295	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ B e. om) -> (suc y .o B) = ((y .o B) +o B))
18		nnmsuc 5278	. . . . . . . 8 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
19	18	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((y e. om /\ B e. om) -> (B .o suc y) = ((B .o y) +o B))
20	17, 19	eqeq12d 1899	. . . . . 6 |- ((y e. om /\ B e. om) -> ((suc y .o B) = (B .o suc y) <-> ((y .o B) +o B) = ((B .o y) +o B)))
21		opreq1 4889	. . . . . 6 |- ((y .o B) = (B .o y) -> ((y .o B) +o B) = ((B .o y) +o B))
22	20, 21	syl5bir 227	. . . . 5 |- ((y e. om /\ B e. om) -> ((y .o B) = (B .o y) -> (suc y .o B) = (B .o suc y)))
23	22	ex 402	. . . 4 |- (y e. om -> (B e. om -> ((y .o B) = (B .o y) -> (suc y .o B) = (B .o suc y))))
24	7, 10, 13, 16, 23	finds2 3981	. . 3 |- (x e. om -> (B e. om -> (x .o B) = (B .o x)))
25	4, 24	vtoclga 2352	. 2 |- (A e. om -> (B e. om -> (A .o B) = (B .o A)))
26	25	imp 377	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) = (B .o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  suc csuc 3659  omcom 3949  (class class class)co 4884   +o coa 5174   .o comu 5175

This theorem is referenced by:  mulcompi 6176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180

Copyright terms: Public domain