MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcan Structured version   Unicode version

Theorem nnmcan 7176
Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmcan  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  <->  B  =  C
) )

Proof of Theorem nnmcan
StepHypRef Expression
1 3anrot 970 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( B  e.  om  /\  C  e. 
om  /\  A  e.  om ) )
2 nnmword 7175 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( B  C_  C 
<->  ( A  .o  B
)  C_  ( A  .o  C ) ) )
31, 2sylanb 472 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( B  C_  C 
<->  ( A  .o  B
)  C_  ( A  .o  C ) ) )
4 3anrev 976 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( C  e.  om  /\  B  e. 
om  /\  A  e.  om ) )
5 nnmword 7175 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( C  C_  B 
<->  ( A  .o  C
)  C_  ( A  .o  B ) ) )
64, 5sylanb 472 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( C  C_  B 
<->  ( A  .o  C
)  C_  ( A  .o  B ) ) )
73, 6anbi12d 710 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( B 
C_  C  /\  C  C_  B )  <->  ( ( A  .o  B )  C_  ( A  .o  C
)  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B ) ) ) )
87bicomd 201 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( ( A  .o  B ) 
C_  ( A  .o  C )  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B
) )  <->  ( B  C_  C  /\  C  C_  B ) ) )
9 eqss 3472 . 2  |-  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C )  <->  ( ( A  .o  B )  C_  ( A  .o  C
)  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B ) ) )
10 eqss 3472 . 2  |-  ( B  =  C  <->  ( B  C_  C  /\  C  C_  B ) )
118, 9, 103bitr4g 288 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  <->  B  =  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3429   (/)c0 3738  (class class class)co 6193   omcom 6579    .o comu 7021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-oadd 7027  df-omul 7028
This theorem is referenced by:  mulcanpi  9173
  Copyright terms: Public domain W3C validator