MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcan Unicode version

Theorem nnmcan 6518
Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmcan  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  <->  B  =  C
) )

Proof of Theorem nnmcan
StepHypRef Expression
1 3anrot 944 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( B  e.  om  /\  C  e. 
om  /\  A  e.  om ) )
2 nnmword 6517 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( B  C_  C 
<->  ( A  .o  B
)  C_  ( A  .o  C ) ) )
31, 2sylanb 460 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( B  C_  C 
<->  ( A  .o  B
)  C_  ( A  .o  C ) ) )
4 3anrev 950 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( C  e.  om  /\  B  e. 
om  /\  A  e.  om ) )
5 nnmword 6517 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( C  C_  B 
<->  ( A  .o  C
)  C_  ( A  .o  B ) ) )
64, 5sylanb 460 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( C  C_  B 
<->  ( A  .o  C
)  C_  ( A  .o  B ) ) )
73, 6anbi12d 694 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( B 
C_  C  /\  C  C_  B )  <->  ( ( A  .o  B )  C_  ( A  .o  C
)  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B ) ) ) )
87bicomd 194 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( ( A  .o  B ) 
C_  ( A  .o  C )  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B
) )  <->  ( B  C_  C  /\  C  C_  B ) ) )
9 eqss 3115 . 2  |-  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C )  <->  ( ( A  .o  B )  C_  ( A  .o  C
)  /\  ( A  .o  C )  C_  ( A  .o  B ) ) )
10 eqss 3115 . 2  |-  ( B  =  C  <->  ( B  C_  C  /\  C  C_  B ) )
118, 9, 103bitr4g 281 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  <->  B  =  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3078   (/)c0 3362   omcom 4547  (class class class)co 5710    .o comu 6363
This theorem is referenced by:  mulcanpi  8404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369  df-omul 6370
  Copyright terms: Public domain W3C validator