Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnlogbexp Structured version   Unicode version

Theorem nnlogbexp 27648
Description: Identity law for general logarithm with integer base. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
nnlogbexp  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( Blogb ( B ^ M
) )  =  M )

Proof of Theorem nnlogbexp
StepHypRef Expression
1 rnlogblem 27643 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )
21adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )
32simp1d 1003 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR+ )
43rpcnd 11249 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =  0
)  ->  B  e.  CC )
62simp2d 1004 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  =/=  0 )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =  0
)  ->  B  =/=  0 )
82simp3d 1005 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  =/=  1 )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =  0
)  ->  B  =/=  1 )
10 logb1 27647 . . . 4  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 )  ->  ( Blogb 1 )  =  0 )
115, 7, 9, 10syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =  0
)  ->  ( Blogb 1 )  =  0 )
12 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =  0
)  ->  M  = 
0 )
1312oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =  0
)  ->  ( B ^ M )  =  ( B ^ 0 ) )
145exp0d 12261 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =  0
)  ->  ( B ^ 0 )  =  1 )
1513, 14eqtrd 2503 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =  0
)  ->  ( B ^ M )  =  1 )
1615oveq2d 6293 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =  0
)  ->  ( Blogb ( B ^ M ) )  =  ( Blogb 1 ) )
1711, 16, 123eqtr4d 2513 . 2  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =  0
)  ->  ( Blogb ( B ^ M ) )  =  M )
184adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  B  e.  CC )
196adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  B  =/=  0 )
208adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  B  =/=  1 )
21 eldifpr 4039 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( CC  \  { 0 ,  1 } )  <->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )
2218, 19, 20, 21syl3anbrc 1175 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  B  e.  ( CC  \  { 0 ,  1 } ) )
233adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  B  e.  RR+ )
24 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  M  e.  ZZ )
2623, 25rpexpcld 12290 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( B ^ M )  e.  RR+ )
2726rpcnne0d 11256 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( ( B ^ M )  e.  CC  /\  ( B ^ M )  =/=  0 ) )
28 eldifsn 4147 . . . . 5  |-  ( ( B ^ M )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( B ^ M )  e.  CC  /\  ( B ^ M
)  =/=  0 ) )
2927, 28sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( B ^ M )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
30 logbval 27636 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( CC 
\  { 0 ,  1 } )  /\  ( B ^ M )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( Blogb ( B ^ M ) )  =  ( ( log `  ( B ^ M ) )  /  ( log `  B
) ) )
3122, 29, 30syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( Blogb ( B ^ M ) )  =  ( ( log `  ( B ^ M ) )  /  ( log `  B
) ) )
3224zred 10957 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
3332adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  M  e.  RR )
3423, 33logcxpd 22835 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( log `  ( B  ^c  M ) )  =  ( M  x.  ( log `  B ) ) )
3518, 19, 25cxpexpzd 22815 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( B  ^c  M )  =  ( B ^ M ) )
3635fveq2d 5863 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( log `  ( B  ^c  M ) )  =  ( log `  ( B ^ M ) ) )
3734, 36eqtr3d 2505 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( M  x.  ( log `  B
) )  =  ( log `  ( B ^ M ) ) )
3837oveq1d 6292 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( ( M  x.  ( log `  B ) )  / 
( log `  B
) )  =  ( ( log `  ( B ^ M ) )  /  ( log `  B
) ) )
3933recnd 9613 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  M  e.  CC )
4018, 19logcld 22681 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( log `  B )  e.  CC )
41 logne0 22710 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  1 )  ->  ( log `  B )  =/=  0 )
4223, 20, 41syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( log `  B )  =/=  0
)
4339, 40, 42divcan4d 10317 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( ( M  x.  ( log `  B ) )  / 
( log `  B
) )  =  M )
4431, 38, 433eqtr2d 2509 . 2  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  ->  ( Blogb ( B ^ M ) )  =  M )
4517, 44pm2.61dane 2780 1  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( Blogb ( B ^ M
) )  =  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657    \ cdif 3468   {csn 4022   {cpr 4024   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    x. cmul 9488    / cdiv 10197   2c2 10576   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073   RR+crp 11211   ^cexp 12124   logclog 22665    ^c ccxp 22666  logbclogb 27634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001  df-log 22667  df-cxp 22668  df-logb 27635
This theorem is referenced by:  dya2ub  27869
  Copyright terms: Public domain W3C validator