Theorem nnlim 3964

Description: A natural number is not a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
nnlim	|- (A e. om -> -. Lim A)

Proof of Theorem nnlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnord 3959	. . 3 |- (A e. om -> Ord A)
2		ordirr 3676	. . 3 |- (Ord A -> -. A e. A)
3	1, 2	syl 12	. 2 |- (A e. om -> -. A e. A)
4		elomg 3953	. . . . 5 |- (A e. om -> (A e. om <-> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x))))
5	4	ibi 652	. . . 4 |- (A e. om -> (Ord A /\ A.x(Lim x -> A e. x)))
6	5	simprd 352	. . 3 |- (A e. om -> A.x(Lim x -> A e. x))
7		limeq 3669	. . . . 5 |- (x = A -> (Lim x <-> Lim A))
8		eleq2 1958	. . . . 5 |- (x = A -> (A e. x <-> A e. A))
9	7, 8	imbi12d 688	. . . 4 |- (x = A -> ((Lim x -> A e. x) <-> (Lim A -> A e. A)))
10	9	cla4gv 2364	. . 3 |- (A e. om -> (A.x(Lim x -> A e. x) -> (Lim A -> A e. A)))
11	6, 10	mpd 29	. 2 |- (A e. om -> (Lim A -> A e. A))
12	3, 11	mtod 123	1 |- (A e. om -> -. Lim A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  Ord word 3656  Lim wlim 3658  omcom 3949

This theorem is referenced by:  omssnlim 3965  omssnlimOLD 3966  limom 3967  nnsuc 3969

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950

Copyright terms: Public domain